СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ДЮГАМЕЛЯ — НЕЙМАНА
В случае, когда имеем нестационарное температурное поле Г (х, у, z, і), напряженное состояние в каждчй точке тела будет поменяться с течением времени, т. е. будем иметь задачу динамики
|
дахх |
Г ! Oj j? К |
і дтхг |
д2и |
|
дх |
1 ду |
1 дг |
Р dt2 ’ |
|
дтх!/ , |
і доуу | |
дТуг |
d2v |
|
дх |
1 ду 1 |
1 дг |
F dt2 > |
|
дтхг |
і дтУг |
І дагг |
d2w |
|
дх |
Г ду |
' дг |
~~ P dt2 ’ |
|
и нужно рассматривать не уравнения равновесий, а уравнения движения: |
|
(3.9) |
где р — масса единицы объема тела. Но Дюгамелем [140] было показано, что изменение температуры во времени во многих случаях происходит с достаточно малой скоростью и влиянием инерционных членов можно пренебречь, рассматривая движение как последовательность состояний равновесия (гипотеза Дюгамеля). Новые исследования [33, 34, 138] показали, что влияние инерционных членов оказывается существенным только в массивных телах [33, 341, а в других случаях незначительно. Поэтому будем пренебрегать влиянием ускорений. Тогда при отсутствии объемных сил уравнения равновесия будут иметь вид:
|
дгх |
|
ду да. |
|
дг дЪуг |
|
(3.10) |
|
ху |
|
дг дОгг |
|
дх 1 ду дг При упругих деформациях справедливы соотношения (3.7), (— + ■ * |
|
Г d2u |
И |
|
L dx2 1 |
1 — 2ц |
|
а(1+ц) д |
|
1 — 2ц |
|
d2w дхдг |
|
дОхх дх |
|
)~ |
|
+ |
|
d2v дхду d2w |
|
ду2 д2и дг2 |
|
дг ” У дг2 1 дхдг Подставив последние в первое из уравнений (3.10), получим д2и. д2и, d2v, d2w, |
|
f |
|
д2и |
|
2ц |
|
(Т — Т0) = 0. |
|
+ |
|
1 — 2ц дх2 |
|
д2и. д2и дх2 ду2 |
|
ду дтх2 |
|
дх дтхг |
|
дт. |
|
d2v |
|
дт |
|
дхду |
|
дх |
|
дах |
|
-=G( -=о(- |
|
дг2 ' дх2 d2w |
|
ду дТуг |
|
дх д2и |
|
дхдг |
|
УУ |
|
дтх |
|
(Т—Др)]; )= )• |
|
дх ду дх дг 2а (1 + ц) д 1 — 2ц дх |
|
— 0; = 0. |
|
дхду |
|
0; |
Аналогично можно получить еще два уравнения. Используя оператор Лапласа
дг, . д2 . , , д2 / ч а /
дхг ( ) + ду2 ^ дг2 ( ) — А ( ),
эти уравнения можно написать в виде:
|
+ |
1 — 2ц |
дх |
1 — 2ц |
дх |
|
+ |
1 |
де |
2а (1 4- ц) |
д |
|
1 — 2ц |
ду |
1 — 2ц |
ду |
|
|
+ |
1 |
де |
2а (1 + ц) |
д |
|
Дш |
|
(7’-7’0) = 0; (Т — Т0) = 0. |
|
Последние впервые были получены почти одновременно Нейманом и Дюгамелем и называются уравнениями Дугамеля— Неймана. Они отличаются от обычных уравнений теории упругости, например от уравнений Ляме, наличием членов, пропорциональных градиентам температуры. Таким образом, учет влияния неравномерного нагрева сводится к учету дополнительных массовых сил, пропорциональных градиентам температуры. |
