СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

В условиях плоской деформации будет находиться средняя часть призматического тела большой длины, свободного от внеш­них сил и с одинаковым для всех его поперечных сечений неравно­мерным распределением температуры Т (х, у) = Т (х, у) — Т0. Если ось oz совместим с геометрической осью этого тела, то в этом случае получим, что

и = и{х, у) v = v(x, у)

dw dw

(3.42)

дх ду ~ dw.

= const = а;

49

dz ’

4 Г. Б Талыпов

При этом соотношения (3.7), если учесть (3.20), дадут:

®ХХ — ®ХХ (^» у)

Qyy = (Л'> у) •

= р (а** -J - ада) - j— 2(1 —J— р.) С? [а — а(Т — Т0)];

Тед — Тху (■*'? Р)>

Ttz = Т-уг ~

Третье из уравнений равновесия (3.10) удовлетворяется тожде­ственно, а первые два принимают вид:

дт

дох

■ху

0;

дх

ду

(3.44)

Зт

да

ху

уу

=0.

дх

ду

Последнее из уравнений (3.11) обращается в тождество, а в первых двух необходимо положить

(3-45)

и, следовательно, система уравнений Дюгамеля—Неймана в этом случае будет иметь вид:

. , 1 де

Аи

^г4г<т-т^=°-

2а (1 + Р> 3

1 — 2р дх 1 де

(3.46)

(Т—Т0) — о,

Av-

1 — 2р ду

1 — 2р ду

где е определено соотношением (3.45). Третье из уравнений (3.24) оказывается следствием двух первых, а второе и третье из урав­нений (3.25) обращаются в тождество. Таким образом, из шести уравнений Бельтрами в этом случае остаются три:

1 д2а

2а (1 р) G, гр т і

1 + р дх* ^ Н 1 о) ~Г

Аох

-Ь2аО^(Д-!Г0) = 0;

32а

1

Д(Г-Т0) +

Л а.

(a)

уу

1 + р ду*

+ 2аО^(Г-7’о) = 0;

32ст

(Т—Т0) — 0.

2 aG

Ат,

ху ' 1 + Р дхду

Имея в виду (3.43), получим

° — °хх + °уу + °zz — (1 + р) (ахх + °1/у) +

+ 2 (1 - j - р) G [а — а (Т — T^)].

дх ду

ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Д (Г — Т0) = 0;

ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Л (Г — То) = 0 ^

Л т« + - ЩЦ + аууї = °-

В силу (3.44) третье из этих уравнений удовлетворяется тожде­ственно. Складывая первые два, получим:

2а (1 + p)G

1 — р

Д (р хх + ®уу) 4

А{Т—7,о) = 0. (3.47)

Если удовлетворено это уравнение, то, как нетрудно убедиться, каждое из первых двух уравнений (б) удовлетворяется в отдель­ности в силу уравнений равновесия (3.44).

Уравнение (3.47) вместе с уравнением равновесия (3.44) пред­ставляют полную систему уравнений температурной задачи теории упругости в напряжениях при плоской деформации. Та же пол­ная система в компонентах перемещения дается уравнениями

(3.46).

Получающиеся в результате решения составляющие переме­щения или напряжения должны удовлетворять соответствующим условиям на поверхности. В частности, если поверхность тела свободна от усилий, то составляющие напряжения на этой по­верхности должны удовлетворять условиям:

ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

I W” — ®

Хху1 4- Oyytn = 0.

(в)

Как показывает формула (3.43), не зависит от г. Поэтому

условие аи = 0 на торцах г = ± цилиндрического тела не

может быть выполнено. Но можно потребовать выполнения этого условия в среднем по поперечному сечению цилиндра

\ozzdF = 0.

Из последнего условия будет найден параметр а. Рассмотрим два метода решения задачи.

Первый метод

Плоскую температурную задачу теории упругости можно свести [59] к решению уравнения Пуассона и бигармоничес - кого уравнения. Как известно, решение обычной плоской за­дачи теории упругости при отсутствии объемных сил сводится

51

к нахождению функции напряжений Эри ф, через которую напряжения определяются по формулам:

й2ф.__________ д2(р ' д2<р

— °УУ—~&Г’ Хху— дхду'

В плоской температурной задаче можно ввести функцию U — (Фі — Т'і). предполагая, что имеют место равенства:

d2U. дЮ. вЧ/ ,0

**— ду2 ’ ~ ах2 ’ Х*У ~~ дхду • W-4®)

Если подставить последние в уравнение равновесия (3.44), то они будут удовлетворены тождественно, а уравнение (3.47) при­мет вид

А Д Ф! - А А 7 + —У--',!1- СА(7-Г0) = 0.

і р,

Отсюда вытекает, что если функция 7 удовлетворяет уравнению Пуассона

Л 7 = ^±^9 {Т - Т0), (3.49)

1 Г

то функция фх должна быть бигармонической

ЛАфі = 0. (3.50)

Если найдены функции Т1 и ф1, как решения уравнений (3.49) и (3.50), то напряжения определяются по формулам (3.48). Эти напряжения должны удовлетворять условиям на поверхности (в). Перемещения определяются интегрированием уравнений Коши. Из соотношений (3.42), используя (3.20) и (3.43), для деформаций получим:

llr = ~W [°хх ~ Е(<К* + °уу) — 2«рС + 2а (1 + р) G (Т — Т0)];

’ll^ = - k'lGvy — ll(0xx + ayy) — 2atiG-f 2«(I+ E)G(7'—Г,,)];

dv, ди Хху

дх ' ду G '

Интегрирование первых двух уравнений дает:

и = ~2С 1 &хх — Е (°« + — 2аЕ° +

(3.51)

+ 2а (1 + р) G (Т — Г0)] dx + (у);

Ц 2(j | Е (^лх “Ь ^да) 2flpG

+ 2а(1 +- e)G(7’— 7,0)]d^ + f2(x).

Подставив (3.51) в третье из уравнений (г) и интегрируя, получим

її (У) — Ау В

/2 (х) = —Ах + С,

где А, В, С — произвольные постоянные интегрирования. Отсюда следует, что члены /у (у) и /2 (х) учитывают лишь жесткое смеще­ние всего тела и на относительные деформации не влияют. Таким образом, для определения деформации можно использовать фор­мулы (3.51) без членов /і (у) и f2 (х).

Второй метод

Если введем потенциал F {х, у) термоупругих перемещений, не зависящий от г:

dF

ду

dF

дг

dF

дх

= 0.

(3.52)

w ■■

и =

то система (3.46) будет приведена к одному уравнению

Р _ &F d*F А дх2 '

і - I - у. і — и

(Т-Т0).

(3.53)

а

В случае, когда имеем стационарное температурное поле и Т — Т0 = Т (х, у) удовлетворяет уравнению

д2Т, д2Т

ду2

0.

т. е. является гармонической функцией, из (3.53) получим, что функция F (х, у) должна удовлетворять уравнению

ДДЕ = 0, (3.54)

дх2 ду2 1 ду'1

т. е. она должна быть бигармонической функцией. При этом относительные деформации определятся по формулам:

d2F - d2F

• п. -

Уху — 2 дхду > Ухг ■

или, что то же, уравнению

dlF, 2 d*F

дх4

0.

Из (3.52) и (3.55) следует, что плоскости, перпендикулярные к оси z, сохраняют свои начальные положения.

Для соответствующих напряжений соотношения (3.28) дадут:

- d2F. - d*F

ахх — 2G ф2 , ОуУ — 2G дх2

дх2

d*F

= 0.

ё =^- = 0-

С22 ------ Л~2

‘'УУ

- ду2 ’

d2F

дх дг

дх2

(3.55)

d*F

= 0; ууг = 2

ду дг

(т-т0у,

(3.56)

, = — 2 aG

г =2 G-™--

1ху — ^ дхду *

Т = X = 0 xz lyz

Таким образом, если найдена функция F как решение урав­нения (3.53), то соответствующие смещения, деформации и на-

пряжения определяются по формулам (3.52), (3.55), (3.56). Полу - .ченное решение справедливо тогда, когда на боковой поверхности тела заданы компоненты напряжения, oy°J, гi°J, которые совпадают со значениями напряжений (3.56) на этой поверхности. В общем случае значения напряжений на поверхности тела могут не совпадать с их заданными значениями ахх, ofy, r(x°J. Напри­мер, на практике чаще всего встречаются задачи, когда боковая поверхность тела свободна от внешних усилий, т. е. ax°J = О, °уу = 0, гXJ = 0 всюду на этой поверхности. В таких случаях оказывается необходимым найти такое решение уравнений теории упругости, которое на торцовых плоскостях тела удовлетворяет

условиям w = 0, ххг = хуг = 0, на боковой поверхности напря­жения равны по величине и обратны по знаку тем, которые опре­деляются формулами (3.56) на этой поверхности. Это обычная задача теории упругости и в данном случае она решается при помощи функции напряжений Эри, которая удовлетворяет диф­ференциальному уравнению

и позволяет определить компоненты напряжения по формулам:

д . 9 д4ср __

дх4 дх* ду2 ' ду4 ~и

ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Если функция (р найдена, то напряжения, удовлетворяющие заданным условиям на боковой поверхности, определяются по формулам:

— -> Q2

(3.57)

°хх — ахх + °хх = - ЩЇ (ф — 2GF)-, °уу = °уу 4~ °уу — (ф 2GF)

^ху — Тед “Н тед — дхду ( ф “Ь 2G/7)',

О» = Оа + а„ = л (РФ — 2 GF) =

= Р (L + Оуу) - 2аС -1±£ (Т - Т0).

ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Для определения соответствующих деформаций используем фор­мулы (3.7), из которых следует что

О = Олл 4

[е — За(Т—Т0)]

или

ЄXX*

еУУ'

получим:

о ___

I

Р

о

екх —

20

1 + (X

с)

еУУ —

1

Р

сЛ

20 I /

°уу

1 + Р Р

а)

сЛ

егг —

20

>

1 +Р

°)

Уху

Хху

~~ G

; Ухг

-- 1

Используя теперь (3.57) и имея в виду, что

О = <УХХ + Оуу + c„ = (1 + р) Л Ф — 4G Д F-,

&F = -±!~a(T-T0),

получим:

d2F

дх2

= -w{-W— ^Лф)

d2F


*уу'

ду2

(3.58)

^■=ЖЗї{-'а+2Г')'

дх ду

&гг — Ухг = Ууг = 0.

уравнений Коши: ди

Перемещения найдутся путем интегрирования дифференциальных

dv ди, дь,0 спч

= е„„ — + — = уху. (3.59)

дх ~хх' ду уу’ ду 1 дх Рассмотрим частный случай. Если принять

Ф = 2 GF

как функцию напряжений Эри, то соотношения (3.57) дают:

охх — оуу — тху — 0,

оя = - 2 (1 - Р) G A F = — 2(1 + ц) Get (Г-Т0)-

е*х = ~2G Л - р) + - дрт = 0 р) Л F =

= (1+р)а (Т-Т0); еуи = { +р)а(7’ — 7’0); є2г == 0, уху — 0.

Таким образом, напряжения охх, оуу, хху в этом случае равны нулю везде, а в точках торцовых сечений возникают напряжения сжатия а„.

СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

Сварка монтажных стыков

Как отмечалось выше, при стыковании на монтаже двух сек­ций конструкции условия для выполнения сварки являются наиболее тяжелыми. Выполнение сварки всего сечения одно­временно— совершенно невозможно, а поэтому после наложения части швов …

Влияние методов выполнения шва

Если на общие деформации сварных конструкций большое влияние оказывает последовательность наложения отдельных швов, то на местные деформации и деформации из плоскости свариваемых листов существенное влияние оказывает метод выполнения каждого шва. …

Влияние последовательности наложения швов

Как отмечалось выше, при сварке сложных составных сече­ний и конструкций характер возникающих деформаций зависит от порядка наложения швов. Поэтому одним из основных средств борьбы с деформациями при изготовлении сварных конструкций …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов оборудования:

Внимание! На этом сайте большинство материалов - техническая литература в помощь предпринимателю. Так же большинство производственного оборудования сегодня не актуально. Уточнить можно по почте: Эл. почта: msd@msd.com.ua

+38 050 512 1194 Александр
- телефон для консультаций и заказов спец.оборудования, дробилок, уловителей, дражираторов, гереторных насосов и инженерных решений.