СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ НАГРЕВЕ
Пусть изотропное тело имеет начальную равномерную температуру Т0 и затем подвергается неравномерному нагреву до температуры Т (х, у, z). Выделим из этого тела бесконечно малую прямоугольную призму с ребрами dx, dy, dz. В пределах этого элемента температуру можем принять равномерной. Во всем последующем ограничимся случаем, когда перемещения и их производные малы. Если отвлечься сначала от действия всего остального тела на этот элемент, то последний при повышении его температуры от Тп до Т (х, у, z) получит одинаковую во всех направлениях относительную деформацию:
ду
|
dw. гг, гр. - ди dv „ = иг=*а<?-То)'> Уху = — + -^ = 0-, |
|
(3.1) |
|
dz _ ди. = 1F + |
|
п ~ dv, dw л — 0; ууг — , + д — 0, |
|
dw дх |
|
где и, v, w — составляющие вектора перемещения, вызываемого повышением температуры; а — коэффициент линейного расширения, который для однородного изотропного тела остается одним и тем же во всех направлениях при данной температуре в рассма триваемой точке. Примем также, что он остается постоянным, равным его среднему значению в рассматриваемом интервале температур. Деформацию, определяемую соотношениями (3.1), т. е. при условиях, когда температурное расширение ничем не стеснено и напряжения в выделенном элементе не возникают, будем называть тепловой деформацией. Но тепловому расширению выделенного элемента будут препятствовать связанные с ним части остального тела, в силу чего в этом элементе возникают дополнительные деформации: "* ди dv _ __ dw. Єхх~Ж’ eyy~~W; Єгг~Ж; |
|
(3.2) |
|
. dw ^ dy ’ |
|
-* ди. |
|
dv дх |
|
ди |
|
dw |
|
dv dz |
|
Чуг= |
|
Тл2 : |
|
dz |
|
дх |
|
которые могут быть упругими, упруго-пластическими или чисто пластическими. Если эти дополнительные деформации в рассматриваемой точке — упругие, то им будут соответствовать напряжения: |
|
вхх = 2G °уу ~ 2G ^ агг = 2 G ( |
|
'УУ |
|
1 —2ц |
|
(3.3) |
|
ezz~h |
|
■ 2ц Т„, = @Уу |
|
Тхи — @Уху> — GyX |
|
где |
|
е — ехх + еуу + б; |
|
Полные деформации при неравномерном нагреве определятся как суммы соответствующих тепловых (3.1) и дополнительных (3.2) деформаций: |
|
ди дх dv |
|
® XX Qx Є XX І &Х. |
|
ЄУУ — 0у ЄУУ єуу> dw. @zz — ~gz — ^гг * ^гг’ |
|
(3.4) |
|
— _і_ • — ~ду “•“Ж* |
|
їху |
|
ди, dw У«= яГ + |
|
dz dv, |
|
дх ’ dw ~ду |
|
) |
|
и должны удовлетворять уравнениям совместности деформаций: дЧхх, дЧуу д2уху. |
|
ду2 д2ехх |
|
дх2 d4zz |
|
дхду ’ Э2Ухг . |
|
ЙХЙ2 ’ Й2У уг. йцйг ’ |
|
(3.5) |
|
йц йг *еУУ. йхйг ’ й%гг йхйц ’ |
|
dx |
1 ду |
Й2 |
|
( ду у г |
дхг і |
йузд |
|
V дх |
ду Г |
йг ) |
|
(дУуг. |
духг |
дУху |
|
дг2 д%у |
|
&а |
|
ax V |
|
ЙЦ2 |
|
= 2 |
|
йг йх |
|
дх2 |
как при упругих, так и при упруго-пластических деформациях. Из (3.4), имея в виду (3.1), получим:
L = -%--a(T-T0y,
еуу = 1&-а(Т-ТоУ’
dw /ГТ1 rrf
|
(3.6) |
&2г = 777 ~~ а (Г Го),
■* ди. dv
~~ ~ду ~дх ~ УхУ'
ди, dw __
|
дх dw ~дУ |
У xz — д7 I лу Тхг’
02
dv. да;
Yw — 777- + “7)77 — Y*fz-
|
(3.7) |
Если эти деформации в рассматриваемой зоне — упругие, то для соответствующих напряжений по формулам (3.3) будем иметь:
|
. дх |
1 —2ц |
е— |
1 — 2ц |
|
' dv. |
Ц |
1 +ц |
|
|
. ду 1 |
1 —2ц |
1 — 2ц |
|
|
' dw. |
Ц |
е— |
1 4-й |
|
ахх = 2 G [ °уу = 2G |] огг = 2 G [ |
|
а |
|
а |
|
(Г-Г0)]'; (Г-Г0)]; |
|
^ ( ди. dv . Хху — G [ ду + дх ) > |
п ( ди . to . dz дх ) ’
v-o(£+£)-
где
|
(3.8) |
ди. to. to
Є дх ' ду ' дг '
Напряжения упругой зоны по (3.7) должны удовлетворять уравнениям равновесия сплошной среды, а деформации упругой зоны — уравнениям совместности деформаций по (3.5).
