Современные светодиоды

Квантово-механическая модель рекомбинации

В книгах (Bebb, Williams, 1972; Agrawal, Dutta, 1986; Dutta, 1993; Thompson, 1980 et al.) О можно найти уравнения квантовой механики, подробно описывающие механизмы спонтанной рекомбинации, которую мы кратко рассмотрим. В квантовой механике интенсивность спонтан­ного излучения находят по интенсивности вынужденного излучения, определяемого золотым правилом квантовой механики, или прави­лом Ферми. Правило Ферми определяет вероятность переходов в еди­ницу времени (часто называемую скоростью переходов) из состояния j в состояние то под действием возмущения:

Wj^n = - ft I2 = ^ • H'mj2 ■ p(E = Ej + ftco), (3.1)

где H'mj — матричный элемент перехода. В одномерном случае (одна пространственная координата х) элемент матрицы, связывающий на­чальное состояние j с конечным т, описывается выражением

i’m (х) • А(х) ■ (х) dx> (3.2)

’) См. книги [1, 2].

где Н' — гамильтониан возмущений. При выводе правила Ферми предполагалось, что возбуждение, исходящее от фотона, является гармоническим, поэтому Н' описывается гармонической функцией: Н' = А(х) • [exp(iw0i) + exp(-iwoi)]. Из уравнения (3.2) следует, что для существования рекомбинации между электронами и дырками их волновые функции должны хотя бы частично перекрываться, посколь­ку пространственно разделенные электроны и дырки совершать акты рекомбинации не могут.

Квазиимпульсы электронов при оптических переходах между зоной проводимости и валентной зоной должны оставаться неизменными; это связано с очень малой величиной импульса фотонов (р = Л - к). Условия сохранения квазиимпульса иногда называют правилами отбора по волновому вектору к. Далее в этом разделе мы будем придерживать­ся уравнений квантовой механики в форме, приведенной Агравалом и Дуттой (Agrawal, Dutta, 1986). К их книге мы рекомендуем обра­щаться для получения более подробной информации.

Среднее значение матричного элемента для состояний, описывае­мых функциями Блоха Мь может быть выведено из зонной модели Кейна (Капе, 1957), в которой рассматриваются 4 зоны: зона про­водимости и три подзоны валентной зоны — подзона тяжелых дырок, подзона легких дырок и спин-орбитально отщепленная подзона (s-o - подзона). В объемных полупроводниках |Мь|2 определяется выражени­ем (Капе, 1957; Casey, Panish, 1978)

'"‘I" = .ім^А/ЗГ <3'3)

где те — масса свободного электрона, Eg — запрещенная зона, А — энергия спин-орбитального расщепления. Для GaAs при Eg = 1,424 эВ, А = 0,33 эВ, ml = 0,067те получим Мь2 = 1,3те • Ед.

Используя правила отбора по волновому вектору, найдем выраже­ние для суммарной скорости спонтанной излучательной рекомбинации в единице объема:

сел 4ir-n-e2-E т, г 2 (27г)3 0 ( V 1 v'

= v - v-E

fc {Ec) • fv (Ev) d% d3kv S (kc - kv) S (Ei - Ef - E), (3.4)

где fc a fv — функции распределения Ферми для электронов и дырок, п — показатель преломления, член 5 (кс — kv^j обеспечивает выполне­ние правил отбора по вектору к. Множитель 2 соответствует двум спиновым состояниям. В уравнении (3.4) знак суммы означает сум­мирование вдоль всех трех подзон валентной зоны (подзоны тяжелых

дырок, подзоны легких дырок и s-о-подзоны). Интегрирование уравне­ния (3.4) приводит к следующему результату:

|Мь|2 (^r)3/2v'F=r^c ^с) fv ^ ’ (3‘5)

где

Ес = (тг/т*е) • (Е - Ед),

Ес = (тТ/т*е) • (Е - Ед),

m*hh — эффективная масса тяжелой дырки. Уравнение (3.5) опреде­ляет скорость спонтанной рекомбинации для фотонов с энергией Е. Для получения суммарной скорости рекомбинации это выражение надо проинтегрировать во всем диапазоне допустимых энергий. Результи­рующее уравнение для суммарной скорости спонтанной излучательной рекомбинации пар электрон-тяжелая дырка в единице объема можно записать в виде

ОО

R= rsp (Е) dE — А ■ МЬ2 ■ I,

где

1 = jE^Eg ■ /с (Ес) ■ и (Ev) dE,

множитель А — константы, оставшиеся из уравнения (3.5). Аналогично можно вывести выражение для скорости рекомбинации пар электрон - легкая дырка. Оно будет абсолютно таким же, только в нем эффектив­ная масса тяжелой дырки w*hh должна быть заменена на эффективную массу легкой дырки rn*lh.

Для коэффициента поглощения излучения, выведенного из уравне­ний квантовой механики (Agrawal, Dutta, 1986), используя приведен­ные выше рассуждения, можно записать следующее выражение:

Xy/E^-[l-fe(Ec)-fv(Ev)]. (3.11)

Квантово-механическая модель рекомбинации является самой точной из всех существующих. Однако из-за ее сложности и трудоемкости расчетов по этой модели на практике она применяется довольно редко. Описанная в следующем разделе модель, базирующаяся на полуклас- сических представлениях, более удобна для работы.