СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Синтез системы чтения информации с диска является примером оптимизации и принятия компромиссных решений. Система должна точно позиционировать счи­тывающую головку и в то же время обладать способностью уменьшать влияние из­менения параметров и внешних ударов и вибраций. Механический рычаг и пластина могут резонировать на частотах, с которыми появляются внешние возмущения, например тряска портативного компьютера. К числу возмущений относятся также физические удары, износ или биения в подшипниках привода, изменение параметров элементов системы. В этом разделе мы исследуем реакцию системы на возмущения и ее поведение при изменении па­раметров. Кроме того, получим оценку установившейся ошибки при ступенчатом измене­нии задания и пронаблюдаем, как повлияет на переходную характеристику изменение ко­эффициента усиления усилителя Ка. Таким образом мы выполним шаги 6 и 7 процедуры синтеза, представленной на рис. 1.19.

Возмущение

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 4.32. В этой системе в качестве регуля­тора используется усилитель с настраиваемым коэффициентом усиления. С учетом пара­метров, приведенных в табл. 2.11, мы получим структурную схему, изображенную на рис. 4.33. Сначала определим установившуюся ошибку при единичном ступенчатом входном воздействии, R(s) = І/s, полагая D(s) = 0. Поскольку H(s) = 1, то

£(*)=

l + KeGj(j)G2(j)

Следовательно,

l

_і+ад(*)С72(*).

Теперь получим переходную характеристику системы при разных значениях коэф­фициента Ка. Передаточная функция замкнутой системы с учетом условия D(s) = 0 имеет вид:

Г(5) KaGl(sy02(s) _ 5000Ка

T(s) =

R(s) l + KaG{ (s)G2 (s) s3 + 1020s2 + 20000s + 5000KL

С помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 4.34(a), мы получим переходные ха­рактеристики системы при значениях Ка = 10 и Ка = 80. Эти характеристики изображены нарис. 4.34(б). Очевидно, что система быстрее отрабатывает задающее воздействие в слу­чае Ка = 80, но реакция имеет колебательный характер, что, по-видимому, неприемлемо.

6)

Теперь определим влияние возмущения D(s) = І/s, полагая R(s) = 0. Желательно, что­бы это влияние было незначительным. На основании рис. 4.33 имеем:

у (5) =------------------------- £>(*)■ (4.73)

1 + ВД(лХ72(*)

С помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 4.35(a), при Ка = 80 и D(s) = 1/s мы получим реакцию системы, изображенную на рис. 4.35(б). Чтобы еще сильнее умень­шить влияние возмущения, нам потребовалось бы взять коэффициент Ка больше, чем 80. Однако при этом реакция системы на сигнал r(t) = 1, t > 0 была бы сильно колебательной. В следующей главе мы попытаемся определить оптимальное значение Ка, предъявив определенные требования к быстродействию системы и величине перерегулирования.

Резюме

Основные мотивы использования обратной связи, несмотря на сопутствующие этому издержки и увеличение сложности системы, сводятся к следующему:

1. Уменьшение чувствительности системы к изменению параметров объекта управле­ния.

2. Возможность воздействовать на вид переходной характеристики.

3. Ослабление влияния внешних возмущений и шумов, возникающих внутри систе­мы.

4. Уменьшение установившейся ошибки системы.

Упражнения

У-4.1. В устройствах электропитания от солнечных батарей используются системы с обратной свя­зью, которые следят за положением Солнца с целью получения максимума отдачи мощности от батарей. Такая следящая системаможет быть представлена в виде рис. 4.3, где H(s) = 1 и

п л 100 G(s) =

TS + 1

причем номинальное значение т = 3 с. (а) Определите чувствительность системы к малым из­менениям т. (б) Определите постоянную времени замкнутой системы.

Ответы: S = —3s/(3s+ 101); тс = 3/101 с.

Рис. 4.2 (У) Шум

Цифровая аудиосистема

Усилитель

У-4.2. Цифровая аудиосистема проектируется так, чтобы минимизировать влияние возмущений и шума, как показано на рис. 4.2(У). В качестве аппроксимации можно принять G(s) = К2.

(а) Вычислите чувствительность системы к изменению Кг. (б) Оцените влияние возмущения на V0. (в) Какое значение К, вы бы выбрали, чтобы минимизировать влияние возмущения? У-4.3. На рис. 4.3(У), (а) показано, как можно ис­пользовать для сбора фруктов руку робота и телекамеру. Телекамера играет роль канала обратной связи, по которому сигнал поступа­ет в микрокомпьютер, управляющий рукой.

Объект имеет передаточную функцию

G(g)= К.

(s+ З)2

(а) Определите установившуюся ошибку за­хвата при ступенчатом изменении задания величиной А как функцию параметра К.

(б) Укажите, что для данной системы может играть роль возмущающего воздействия.

д

Ответ', (а) е,,гт =---------- .

уст І+КІ9

У-4.4. В дисководе компьютера позиционирова - Рис. 4.3 (У). Робот — сборщик фруктов ние головки записи/считывания над дорож­ками вращающегося магнитного диска осуществляется с помощью электродвигателя, как по­казано нарис. 4.4(У). Двигатель и головкамогут быть представлены передаточной функцией

G{s) = ——, s(xs + 1)

где т = 0,001 с. Контроллер определяет разность между желаемым и действительным положе­нием головки и вырабатывает сигнал ошибки, который затем усиливается усилителем с коэф­фициентом К. (а) Чему равна установившаяся ошибка при ступенчатом изменении желаемого положения? (б) Определите требуемое значение К, при котором установившаяся ошибка со­ставит 0,1 мм, если входной сигнал изменяется линейно со скоростью 10 см/с.

= 0; К= 100.

уст

Рис. 4.8 (У)

Замкнутая +

система R(s) —КО'

управления J

(г) Вычислите реакцию y(t) на воздействие R(s) = І/s, если К = К2 = 1 и 1 < К, < 10. Выберите значение соответствующее максимальному быстродействию системы.

У-4.8. Рассмотрите замкнутую систему управления, изображенную на рис. 4.8(У). (а) Определите установившуюся ошибку при ступенчатом входном воздействии как функцию коэффициента усиления К. (б) Определите максимальное перерегулирование на переходной характеристике при 40 < К < 400. (в) Постройте графики зависимости перерегулирования и установившейся ошибки от параметра К.

Задачи

3-4.1. Передаточная функция проточного бака, полученная в задаче 2.12, может быть записана в виде

Ag200 . ____

Ag,(s) ті - + l’

1

где т = RC. Здесь R ■— ко) істанта, эквивалентная гидравлическому сопротивлению выходного от­верстия, так что 1/R = (/2)кНц Ьг, а С — площадь поперечного сечения бака. Так как Н = RAQ2. то передаточная функция, связывающая изменение уровня жидкости с приращением входного потока, имеет вид:

раметра R и коэффициента обратной связи К: (б) способность к уменьшению влияния возму­щений по уровню ДH(s); (в) установившуюся ошибку по уровню при ступенчатом изменении входного потока Д{2|(я)-

3-4.2. На морских судах очень важно создать пассажирам комфортные условия за счет ослабления качки, обусловленной волнами. Большинство систем стабилизации используют для этого специ-

альные плавники или подводные крылья, посредством которых судну сообщается стабилизиру­ющий момент. Принцип действия такой системы стабилизации поясняется рис. 4.2(3). Бортовую качку судна можно рассматривать как колебания маятника с отклонением от вертикали в 0 гра­дусов и периодом 3 с. Качке судна в этом случае соответствует передаточная функция

С(*) = -5------ ^-------- 2 ’

s + + ы„

где сов = 3 рад/с и С, = 0.20. При таком малом значении коэффициента затухания Q колебания продолжаются в течение нескольких периодов, а их амплитуда может достигать 18° при обыч­ных морских волнах. Определите и сравните следующие показатели для разомкнутой и зам­кнутой систем: (а) чувствительность к изменению коэффициентов исполнительного устройст­ва Ка и датчика качки Kt; (б) способность уменьшать влияние ступенчатых возмущений со стороны волн. Учтите, что желаемое значение угла 0 равно нулю.

3-4.3. В промышленности и химической технологии одной из наиболее важных переменных, подле­жащих управлению, является температура. Простой пример системы регулирования темпера­туры приведен на рис. 4.3(3). Температура Т внутри объекта создается нагревателем с сопро­тивлением R. В линейном приближении теплоотдача от объекта в окружающую среду пропор­циональна разности температур (Т— Тс). Последнее справедливо в случае, когда разность тем­ператур относительно невелика и когда накоплением энергии нагревателем и стенками объекта можно пренебречь. Предполагается также, что напряжение, подводимое к нагревате­лю, е1г пропорционально желаемому значению еф т. е. eh = kEh = klrEbe(t), где Ка — коэффици-

ент передачи исполнительного устройства. Тогда для линеаризованной системы без обратной связи можно записать уравнение:

Г(*) = -

XS + 1

где

т = МС/рА, М — масса внутри объекта, А — площадь поверхности объекта,

р — коэффициент теплопередачи. С — удельная теплоемкость,

к{ — размерный коэффициент, етп — выходное напряжение термопары.

Определите и сравните следующие показатели разомкнутой и замкнутой систем: (а) чувстви­тельность к изменению коэффициента К = k{kcfib; (б) способность уменьшать влияние ступен­чатого изменения температуры окружающей среды ATe(s) (в) установившуюся ошибку регу­лятора температуры при ступенчатом изменении входного сигнала ed.

3-4.4. Система управления имеет два прямых пути передачи сигнала, как показано на рис. 4.4(3).

(а) Определите передаточную функцию T(s) = Y(s)/R(s). (б) Используя выражение (4.16). опре­делите чувствительность (в) Зависит ли чувствительность от U(s) или от M(s)r>

Рис. 4.4 (3)

Система с двумя прямыми путями

3-4.5. В радиоастрономии и системах слежения за спутниками используются большие антенны, ра­ботающие в микроволновом диапазоне. На такую антенну, имеющую диаметр 18 м, действует возмущающий момент, создаваемый сильными порывами ветра. Предположим, что ошибка в положении антенны не должна превышать 0,1 ° при скорости ветра 60 км/ч. Экспериментально установлено, что ветер такой силы создает возмущающий момент 27600 кгм, что эквивалентно напряжению на входе электромашинного усилителя, равному 10 В. Следящая система управ­ления антенной изображена на рис. 4.5(3), где возмущение представлено сигналом TJs). Пере­даточная функция антенны, приводного двигателя и электромашинного усилителя имеет вид:

w Vа/ — 9 9 9

s(s + 2Q<4tls + ш„)

где шв = 15 и Q = 0,707. Усилитель мощности имеет передаточную функцию G,(s) = KJ(ts+l). где т = 0,15 с. (а) Определите чувствительность системы к изменению параметра Ка. (б) На си­стему действует возмущение TJs) = 10/s. Полагая R(s) = 0, определите требуемое значение ко­эффициента Ка, при котором установившаяся ошибка не будет превышать 0,1°. (в) При том же возмущении TJs) = 10/s и R(s) = 0 определите ошибку системы, если она является разомкну­той (К, = 0).

3-4.6. Легковые автомобили, движущиеся по автоматизированным автострадам будущего, должны будут оснащаться системами автоматического управления скоростью. Модель такой системы с обратной связью изображена на рис. 4.6(3), где также показано возмущение AD(s) в виде мо­мента нагрузки из-за подъема дороги. В различных моделях автомобилей коэффициент пере­дачи двигателя Ке варьируется в диапазоне от 10 до 1000. Постоянная времени двигателя хе = 20 с. (а) Определите чувствительность системы к изменению параметра Ке. (б) Определи­те влияние момента нагрузки на скорость, (в) Определите величину постоянного угла подъема AD(s) = Дd/s, при котором автомобиль остановится, т. е. скорость F(s) станет равна нулю, и вы­разите эту величину в зависимости от коэффициентов передачи элементов системы. Учтите, что поскольку угол подъема — постоянный, то достаточно исследовать установившийся про­цесс. Предположите, что R(s) = 30/s км/ч и что КеКх з> 1. Если KJK, = 2, то при каком угле подъема Ad автомобиль остановится?

3-4.7. В роботах обратная связь используется для управления углом поворота в каждом сочленении. Изменение нагрузки, обусловленное переносимыми объектами, в конечном счете приводит к изменению положения руки робота. Таким образом, рука робота будет отклоняться от желае­мой траектории за счет нагрузки, переносимой захватом. Система управления может быть представлена в виде рис. 4.7(3), где момент нагрузки TL(s) = D/s. Предположим, что в исход­ном состоянии R(s) = 0. (а) Определите влияние TL(s) на >’(s). (б) Определите чувствительность замкнутой системы к изменению параметра к2. (в) Чему будет равна установившаяся ошибка, если R(s) = І/s и TL(s) = 0?

3-4.8. Большие перепады температур часто приводят к отказу электронных схем. Для уменьшения влияния низкой температуры окружающей среды используется система с обратной связью, включающая в себя нагревательный элемент. Структурная схема такой системы изображена на рис. 4.8(3). Влияние понижения температуры окружающей среды отражено ступенчатым

возмущением D(s). Действительному значению температуры электронной схемы еиогветству - ет У(і). Динамика изменения температуры схемы характеризуется передаточной функцией

ЮО

G(s) = —--------------- .

s2 + 20s + 100

(а) Определите чувствительность системы к изменению параметра К. (б) Оцените влияние воз­мущения £>(s) на выходную переменную y(s).

3-4.9. В качестве чувствительных элементов часто применяются датчики, в состав которых входит излучатель света (светодиод). Световой поток излучателя, который зависит от протекающего через него тока, изменяет сопротивление фоторезистора. Светодиод и фоторезистор находятся в одном корпусе с четырьмя выводами. Такой прибор обладает большим коэффициентом уси­ления и обеспечивает полную электрическую развязку. На рис. 4.9(3), (я) изображена схема с обратной связью, использующая этот прибор, а на рис. 4.9(3), (б) приведена нелинейная зави­симость сопротивления от тока для прибора Рейтон СК1116. Эта зависимость может быть опи­сана выражением

0,175

lg* =

(і - 0,005)'

где і—ток, протекающий через излучатель. Рабочей точке соответствуют значения е0 = 35 В и е; = 2,0 В. (а) Определите передаточную функцию замкнутой системы, (б) Определите чувст­вительность системы к изменению параметра К.

3-4.10. В бумажном производстве очень важно поддерживать постоянное натяжение полосы бумаги между двумя рулонами, с одного из которых бумага сматывается, а на другой наматывается. Это натяжение меняется в зависимости от толщины рулонов, поэтому необходимо управлять скоро­стью вращения двигателя на приемной стороне, как показано на рис. 4.10(3). Если скорость дви­гателя не регулировать, то по мере перемотки бумаги скорость v0 падает, что приводит к умень­шению натяжения. Для измерения натяжения бумаги используется комбинация из трех роликов и пружины. Упругая сила равна к$>, а линейный дифференциальный трансформатор, выпрями-

тель и усилитель можно описать уравнением е0 = - к^у. Таким образом, степень натяжения опи­сывается соотношением 2T(s) = ку, где у— отклонение от равновесного состояния, a T(s) - вер­тикальная составляющая отклонения натяжения от эталонного значения. Двигатель имеет по­стоянную времени т = LJR„, а линейная скорость приемного рулона в два раза больше угловой скорости двигателя, т. е. v0(t) = 2ы0(/). Тогда двигатель можно описать уравнением

Е0 (і) = [tsco0 (s) + со0 (і)] + к, АГ (4

т

где АТ — возмущение по натяжению бумаги, (а) Изобразите структурную схему замкнутой си­стемы с учетом возмущения AT(s). (б) В полученной структурной схеме учтите дополнительно возмущение со стороны скорости разматываемого рулона ДК,(«). (в) Определите чувствитель­ность системы к изменению постоянной электродвигателя Кт. (г) Определите установившую­ся ошибку по натяжению, вызванную ступенчатым изменением скорости AV{s) = Als.

3-4.11. При производстве бумаги очень важно поддерживать постоянную плотность исходной мас­сы перед тем, как она поступает на сушку и протяжку. На рис. 4.11(3), (а) приведена схема управления плотностью бумажной массы. Плотность определяется количеством добавляемой в смеситель воды. Структурная схема данной системы изображена на рис. 4.11 (3), (б). Предпо­ложим, что H(s) = 1 и

ад=-^-, c(s)=- 1

4s + 1

Вода

-R(s) - заданное значение плотности

Определите (а) передаточную функцию замкнутой системы T(s) = Y(s)/R(s), (б) чувствитель­ность SJK и (в) установившуюся ошибку при ступенчатом изменении заданного значения плот­ности R(s) = A/s. (г) Вычислите значение К, при котором установившаяся ошибка будет состав­лять 1% от заданного значения плотности.

3-4.12. На рис. 4.12(3) изображены

структурные схемы двух систем с обратной связью, (а) Определите передаточные функции T,(s) и T2(s) для этих систем в замкнутом состоянии, (б) Покажите, что при КХ=К2 = 100 Г, = Тг = 100. (в) Сравните чувствительности двух систем по отношению к парамет­ру К, при номинальных значени­ях Кх = К2 = 100.

3-4.13. Передаточная функция некото­рой замкнутой системы представ­лена в виде

G,(s) + kG2(s)

G3(s) + kGi(s)

(а) Используя выражение (4.16), покажите, что

k(G2C, - G, G4)

(G3 + kGA ) (G, + kG2)

(б) С помощью того же выражения определите чувствительность системы, граф которой изоб­ражен на рис. 4.13(3).

Рис. 4.13 (3)

Система с обратной связью

Рис. 4.14 (3)

Система управления скоростью сверхзвукового самолета

3-4.14. Проектируемый сверхзвуковой самолет должен лететь со скоростью 6000 км /ч на высоте 30 км и пересекать. Тихий океан за 2 часа. Система управления скоростью такого самолета может быть представлена в виде модели, изображенной на рис. 4.14(3). Определите чувствительность передаточной функции замкнутой системы T(s) к малым изменениям параметра а.

3-4.15. На рис. 4.15(3) изображена структурная схема системы управления курсом движения совре­менного морского судна. При К = 5кК = 25 определите в установившемся режиме эффект, со­здаваемый ветром постоянной силы, т. е. возмущением D(s) = І/s. (а) Решите задачу в предпо­ложении, что положение руля R(s) = 0, т. е. оно не изменяется, (б) После этого покажите, что за счет изменения положения руля отклонение судна от заданного курса можно свести к нулю.

3-4.16. На рис. 4.16(3) изображена модель системы, состоящей из двух баков, где Т0 есть температу­ра жидкости, втекающей в первый бак, а Т2 — температура жидкости, вытекаюшей из второго бака Последний снабжен нагревателем, тепловой мощностью которого, Q, можно управлять. Значения постоянных времени т, = 10 с и т2 = 50 с. (а) Получите выражение для T2(s) в зависи-

Возмущение, создаваемое ветром

D(s)

мости от T0(s) и T2c{s). (б) В случае, когда заданное значение температуры T2(^s) меняется скач­ком от T2lfs) = A/s до TtJs) ~ 2A/s, причем Tn(s) = Als, определите переходную характеристику T2(t) при Gc(s) = К = 500. (в) Для условий из п. (б) определите установившуюся ошибку еи, считая, что E(s) = T2lf s) - T2(s).

3-4.17. Захват робота, изображенный нарис. 4.17(3), (а), должен управляться таким образом, чтобы он замыкался на заданный угол 0. Это осуществляется с помощью системы, включающей дви­гатель постоянного тока, которая схематически изображена на рис. 4.17(3), (б). Модель данной системы управления представлена на рис. 4.17(3), (в), где Кт = 30, R,= 1 Ом, К/= К, = 1. J = 0,1 иі=1. (а) Определите реакцию системы, 0(0, на ступенчатое изменение 0,/f) при К = 20.

(б) Полагая 0t/(f) = 0, оцените эффект, создаваемый возмущением по нагрузке TJs) = A/s.

(в) Определите установившуюся ошибку еи. при входном сигнале r(t) = /, t > 0. (Предположи­те, что Та = 0.)

Усилитель

мощности

Двигатель

Сигнал обратной связи

б)

TJL s)

е)

в»

Задачи повышенной сложности

ГІ-4.1. Нарис. 4.1(П), (а) изображена система регулирования уровня жидкости в баке. Задача состо­ит в поддержании постоянного уровня h вне зависимости от возмущения qv На том же рисунке ниже приведена структурная схема системы для малых отклонений переменных от состояния равновесия, так что заданное значение htf t) = 0. Получите выражение для ошибки в виде E(s) и найдите ее установившееся значение в случае единичного ступенчатого возмущения, если (а) G(s) = К и (б) G(s) = K/s.

П-4.2. Для управления движением плеча руки робота используется двигатель постоянного тока, управляемый по цепи якоря, причем вал двигателя соединен с редуктором. На рис. 4.2(П) изображена структурная схема системы управления, на которой указано возмущение в виде момента нагрузки D(s) Определите установившуюся ошибку, если заданное значение угла по­ворота 6js) = A/s, Gc(s) = А' и возмущение отсутствует. Определите также установившуюся ошибку, если 0» = 0. а возмущение D(s) = M/s, в случаях (a) Gc(s) = К и (б) Gc(s) = K/s. П-4.3. Рабочий орган станка должен перемещаться по траектории, задаваемой уравнением

r(t) = (2 - f + 0,5г)и(/),

где u(t) — единичная ступенчатая функция. На рис. 4.3(П) изображена структурная схема сис­темы управления перемещением рабочего органа.

(а) Определите установившуюся ошибку при заданном сигнале r(t) в случае, когда D(s) = 0.

(б) На основании п. (а) изобразите график e(t) для 0 < г < 10 с.

Влияние

Рис. 4.3 (П). Система управления положением рабочего органа

(в) В случае r(t) = 0 определите установившуюся ошибку при D(s) = 1/s.

(г) На основании п. (в) изобразите график e(t) для 0 <1< 10 с.

П-4.4. На рис 4.4(П) приведена структурная схема двигателя постоянного тока с управлением по цепи якоря и тахометрической обратной связью. Параметры системы: Кт — 10, J = 1 и Ra — 1.

(а) Определите значение К, при котором установившаяся ошибка при отработке линейного входного воздействия v(/) = /, / > 0 не будет превышать значения 0,1 (в предположении, что D(s) = 0).

(б) При коэффициенте К, найденном в п. (а), получите выражение и изобразите график для ошибки e(t) при действии линейного возмущения d(t) = 1, 0 < / < 5 с.

П-4.5. В настоящее время создана и прошла испытания система, регулирующая среднее артериаль­ное давление во время анестезии. Было показано, что уровень артериального давления являет­ся показателем глубины анестезии во время хирургической операции. На рис. 4.5(П) изобра­жена структурная схема такой системы, где хирургическое вмешательство учтено в виде воз­мущения D(s).

(а) Полагая R(s) = 0, определите установившуюся ошибку, вызванную возмущением D(s)~l/s.

Рис. 4.5 (П). Система регулирования кровяного давления

(б) Полагая D(s) = 0, определите установившуюся ошибку в случае линейного входного воз­действия r{t) = t, t> 0.

(в) Выберите некоторое значение К < 10 и изобразите реакцию системы >(/) на единичное сту­пенчатое возмущение (считая r(t) = 0).

П-4.6. На рис. 4.6(П) изображена электрическая цепь с опере­жением по фазе, с которой мы встретимся в гл. 10.

(а) Определите передаточную функцию G(s) = Vn(s)/V(s).

(б) Определите чувствительность G(s) по отношению к параметру С.

(в) Найдите и изобразите графически реакцию v0(<) на ступенчатое входное воздействие V(s) = 1/s.

П-4.7. На рис. 4.7(П) изображена структурная схема системы с обратной связью с учетом возмущения D(s) и шума дат­чика N(s). Необходимо уменьшить влияние шума и воз­мущения. Полагая R(s) = 0, определите:

(а) Влияние возмущения на выход системы Y{s);

(б) Влияние шума датчика на 7(s).

(в) Выберите наилучшее значение К из диапазона 1 < А'< 100. при котором влияние шума и возмущения на установившуюся ошибку будет минимальным. В данном случае примите D(s) = A/s и A'(s) = В/s.

П-4.8. На рис. 4.8(П) изображена структурная схема системы управления рабочим органом станка.

(а) Определите передаточную функцию T(s) = Y(s)/R(s).

(б) Определите чувствительность S.

(в) Выберите К из диапазона 1 < К < 50, при котором влияние возмущения на 7(s) и чувствите­льность S будут минимальны.

Задачи на синтез систем

СС-4.1. В задаче СС-2.1 был описан привод скользящей части стола металлообрабатывающего станка. Положение скользящей части, х, измеряется с помощью емкостного датчика, как по­казано на рис. 4.1(СС), который обладает высокой точностью и линейной характеристикой. Изобразите модель системы с обратной связью и определите ее реакцию на ступенчатое входное воздействие в случае, когда H(s)= 1, а регулятор является обычным усилителем. Gc(s) = Ка. Решение получите для нескольких значений коэффициента Кя.

С-4.1. Замкнутая система управления скоростью подвержена влиянию возмущения по нагрузке, как показано на рис. 4.1(C). Заданное значение скорости со/г) =100 рад/с, а возмущение представ­лено единичной ступенькой, D(s) = І/s. При отсутствии нагрузки установившееся значение скорости равно 100 рад/с. (а) Определите влияние нагрузки в установившемся режиме и

(б) изобразите графически реакцию со(/) на ступенчатое возмущение при нескольких значени­ях коэффициента К из диапазона 10 < .К < 25. Установите наиболее подходящее значение ко­эффициента К.

eo(s)

Действительная

скорость

С-4.2. Управление углом крена самолета осуществляется с помощью момента, создаваемого элеро­нами. На рис. 4.2(C) изображена линейная модель системы управления углом крена небольшо­го тренировочного самолета: на схеме системы q(l) есть поток жидкости, втекающей в гидро­цилиндр, и

1

G(s) =

s~ + 4s + 9

Цель управления состоит в под держании небольшого угла крена 0, возникающего за счет дей­ствия возмущений. Полагая 0^/) = 0. выберите значение КК,. позволяющее снизить влияние возмущения и одновременно получить приемлемый вид переходного процесса, если возмуще­ние имеет ступенчатый характер. Для получения желаемого вида переходного процесса задай­тесь ограничением КК, < 35.

Рис. 4.2 (С)

Система управления углом крена самолета

том изменении задания r(t) установившаяся ошибка будет равна нулю. Для получения прием­лемого вида переходной характеристики воспользуйтесь ограничением К < 10.

С-4.5. Для генерирования коротких импуль­

Задачи, решаемые с помощью MATLAB

М-4.1. Разомкнутая система имеет передаточную функцию

G(s) = -7 .

s2 + 2s + 25

При единичном ступенчатом входном воздействии желаемое установившееся значение выход­ной переменной равно 1. С помощью функции step покажите, что установившаяся ошибка в этом случае равна 0,8.

М-4.2. Система с передаточной функцией G(s) = 50/s(s+l) охвачена единичной отрицательной об­ратной связью. С помощью MATLAB получите переходную характеристику системы и опре-

делите максимальное относительное перерегулирование. Чему равна установившаяся ошиб­ка?

М-4.3. Система в замкнутом состоянии имеет передаточную функцию

TV л 10А'

T(s) = ~i----------- •

s +20s + К

Получите семейство переходных характеристик (при единичном ступенчатом воздействии) для К = 10, 100 и 500. Изобразите их на одном графике и оформите в виде таблицы основные результаты: относительное перерегулирование, время установления, установившуюся ошиб­ку.

М-4.4. Рассмотрите замкнутую систему управления, изображенную на рис. 4.4(М). Подготовьте программу MATLAB, которая позволяла бы найти значение к. при котором относительное пе­ререгулирование при единичном ступенчатом воздействии было бы более 1%, но менее 10%. Программа должна вычислять передаточную функцию замкнутой системы T(s) = Y(s)/R(s) и строить график переходной характеристики. По графику убедитесь, что установившаяся ошибка равна нулю.

М-4.5. На рис. 4.5(М) изображена замкнутая система управления. Регулятор имеет коэффициент усиления К = 2. Номинальное значение параметра объекта а = 1. Это значение принято только для решения задачи синтеза, т. к. действительное значение этого параметра точно не известно. В данной задаче целью исследований является определение чувствительности замкнутой сис­темы к параметру а. (а) Полагая а = 1, покажите аналитически, что при единичном ступенча­том входном воздействии г(?) установившееся значение y(t) = 2. Убедитесь, что реакция на данное воздействие спустя 4 с отличается от установившегося значения не более чем на 2%.

(б) О чувствительности системы к изменению параметра а можно судить по виду переходной характеристики. Постройте графики этой характеристики при значениях а = 0,5: 2; 5 и сделай­те соответствующие выводы.

М-4.6. На рис. 4.6(М), (а), изображена механическая система с вращательным движением. У пругий момент, обусловленный скручиванием оси. равен —А0; момент трения, создаваемый тормоз­ным устройством, равен —Ш. возмущающий момент равен d(t); входной момент равен г(1) мо­мент инерции механической системы равен J. Передаточная функция данной системы имеет вид:

У J

G(s) = —z-----------------

s + (Ъ! J)s + к/ J

Замкнутая система управления механической системой изображена на рис. 4.6(М), (б). Для расчетов примите заданное значение угла 6rf= 0°, к = 5, b = 0,9 и J= 1.

(а) С помощью MATLAB, полагая r{t) = 0, определите реакцию 0(/) разомкнутой системы на единичное ступенчатое возмущение d(t).

(б) С помощью MATLAB, при коэффициенте усиления регулятора К0 = 50 определите реак­цию 0(/) замкнутой системы на единичное ступенчатое возмущение d(t).

(в) Изобразите на одном графике две полученные кривые. Обсудите полученные результаты и сделайте вывод о преимуществах использования обратной связи для уменьшения влияния воз­мущения.

М-4.7. На рис. 4.7(М) изображена система управления с отрицательной обратной связью. Допус­тим, что целью синтеза является выбор регулятора Gc(s) минимальной сложности, причем сис­тема должна отрабатывать единичное ступенчатое входное воздействие с нулевой установив­шейся ошибкой.

(а) В качестве первой попытки рассмотрите простой пропорциональный регулятор Gc(s) = К, где К — фиксированный коэффициент усиления. Полагая К = 2. с помошью MATLAB по­стройте график реакции системы на единичную ступеньку и определите величину установив­шейся ошибки.

(б) Далее рассмотрите более сложный регулятор,

Cc(s)=KQ + ^1,

S

где К0 = 2 и К{ = 20. Такой регулятор известен под названием ПИ-регулятор (пропорциональ­но-интегральный). Постройте график реакции системы на единичную ступеньку и определите величину установившейся ошибки.

(в) Сравните результаты пп. (а) и (б) и сделайте выводы относительно компромисса между сложностью регулятора и способностью систем минимизировать установившуюся ошибку.

Рис. 4.7 (М). Простая одноконтурная система управления

Ключевые термины и понятия

Замкнутая система. Система, в которой производится измерение выходного сигнала, сравнение его с желаемым значением и образование сигнала ошибки, воздействующего на исполнитель­ное устройство.

Переходная характеристика. Реакция системы на входное воздействие как функция времени.

Разомкнутая система. Система без обратной связи, в которой выходной сигнал является непосред­ственной реакцией на входной сигнал.

Сигнал возмущения. Нежелательный входной сигнал, оказывающий влияние на выходной сигнал системы.

Сигнал ошибки. Разность между желаемым выходным сигналом R(s) и действительным выходным сигналом Y(s), т. е. £(.v) = R(s) - У(х).

Установившаяся ошибка. Ошибка, остающаяся спустя достаточно большой промежуток времени, достаточный для полного затухания переходного процесса.

Чувствительность системы. Отношение изменения передаточной функции системы к малому из­менению передаточной функции (или параметра) объекта управления.