СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Высококачественные диски имеют до 5000 дорожек на см. Ширина дорожек обыч­но порядка 1 мкм. Поэтому предъявляются очень жесткие требования к точности позиционирования считывающей головки и к ее перемещению от одной дорожки к другой. В этой главе мы разработаем модель дисковода в переменных состояния, которая будет учитывать эффект изгиба пластины.

Рассмотрим еще раз конструкцию считывающего устройства, изображенную на рис. 2.65. Поскольку для быстрого перемещения головки необходимо иметь малую массу рычага, то нам придется учесть эффект изгиба пластины, изготовленной из очень тонкой упругой стальной ленты. Еще раз отметим, что нам необходимо с высокой точностью управлять положением головки y(t), как это показано на рис. 3.34(g) (шаг 2 процедуры синтеза на рис. 1.19). Прежде всего мы попытаемся разработать модель системы, изобра­женной на рис. 3.34(a). Обозначим массу двигателя через Мх, а массу головки через М2- Изгиб пластины будем характеризовать коэффициентом упругости к. Сила u(t), приводя­щая в движение массу Мх, создается двигателем постоянного тока. Если пластина являет­ся абсолютно жесткой (не подверженной изгибу), то мы получим упрощенную модель, изображенную на рис. 3.34(6). Типичные параметры этой системы с двумя массами при­ведены в табл. 3.3.

Рис. 3.34. (а) Модель системы с двумя массами и упругой пластиной.

(б) Упрощенная модель с жесткой пластиной

Сначала мы получим передаточную функцию упрощенной модели на рис. 3.34(6) (шаг 5 процедуры синтеза на рис. 1.19). Учтем, что М= Мх+Мг = 20,5 г = 0,0205 кг. Тогда мы имеем:

M^ + bl^- = u(t). dt2 dt

Следовательно, передаточная функция модели

Y(s) 1

U(s) S (Ms + )

С учетом параметров в табл. 3.3 получим:

Y(s)_ 1 _______

U(s) s (0,0205s + 0,410) s (s + 20)'

Структурная схема считывающего устройства с учетом обмотки электродвигателя приве­дена на рис. 3.35. При R = 1 Ом, L = 1 мГн и Кт = 125 мы имеем:

7(s) 5000

G(s) = -

F(s) s(s+ 20) (s+ 1000)

что совпадает с передаточной функцией, полученной в гл. 2.

(3.131)

Рис. 3.35

Структурная схема считывающего устройства с жесткой пластиной

Теперь получим модель в переменных состояния для системы с двумя массами, изоб­раженной на рис. 3.34(a). Дифференциальные уравнения имеют следующий вид:

для массы Мх М, —^ + ЪХ — + k(q - у) = u(t), dt2

d2 у

для массы М2: М2 —~ + b2 — + к (у - q) = 0.

Выберем в качестве переменных состояния Х = q их2=у. Тогда

dq dy

— И Хл =—.

dt dt

Уравнение состояния в векторно-матричной форме:

х = Ах + В и,

где

Заметим, что выходом является y(t) =х4. Кроме того, пренебрегая индуктивностью обмот­ки двигателя (L = 0, имеем и(1) = Kniv(t). Выбрав значение к= 10и используя остальные па­раметры из табл. 3.3, получим:

Реакция переменной у при v{t) = 1 В, t > 0 изображена на рис. 3.36. Характер процесса яв­ляется сильно колебательным, поэтому ясно, что необходимо иметь пластину с большой жесткостью, т. е. выбирать к > 100.

Рис 3.36

Реакция переменной у на ступенчатое входное воздействие в модели с двумя массами при к = 10

% Параметры модели к=10;

М1=0.02; М2=0.0005;

Ы=410е-03; Ь2=4.1е-03:

t=£0:0.001:1.5]; Ч-------

% Модель в переменных состояния А=[0 0 1 0; 0 0 0 1; - К/М1 кУМ1 - Ы/М1 0; кУМ2 - кУМ2 0 -Ь2/М2];

В=[0;0;1/М1;0]; С=[0 0 0 1]; D=[0]; sys=ss(A, B,C. D);

% Вычисление переходной характеристики step(sys. t), grid

xlabel( Время (с)'), уІаЬеІ(‘Скорость (м/с)')

Резюме

В этой главе мы рассмотрели метод описания и анализа систем во временной области. Были введены понятия состояния и переменных состояния системы. Показано, что в каче­стве переменных состояния целесообразно выбирать такие переменные, которые характе­ризуют накопление энергии в системе; в то же время было замечено, что набор переменных состояния не является единственным. Рассмотрено дифференциальное уравнение состоя­ния и способы получения его решения (t). Было продемонстрировано, что передаточную функцию (или дифференциальное уравнение) системы можно представить двумя различ­ными конфигурациями сигнального графа. Затем было показано, как по этим сигнальным графам можно легко записать дифференциальное уравнение состояния. Проиллюстриро­вано применение к сигнальным графам формулы Мейсона и показано, как с ее помощью можно определить переходную матрицу состояния, а с помощью последней — временные характеристики системы. Рассмотрен также дискретный способ получения временных ха­рактеристик нелинейных и нестационарных систем. Установлено, что дискретная аппрок­симация временных характеристик и переходной матрицы состояния линейных систем хо­рошо поддается программированию и решению задач на цифровом компьютере. Обсужде­но и проиллюстрировано на примерах применение MATLAB для преобразования одного вида модели системы (передаточной функции) в другой (уравнение состояния) и вычисле­ния переходной матрицы состояния. В заключительной части главы была разработана мо­дель в переменных состояния для системы чтения информации с диска.

Упражнения

У-3.1. Укажите, что бы вы приняли в качестве переменных состояния для цепи, изобра­женной на рис. 3.1 (У).

У-3.2. Дифференциальное уравнение, описы­вающее движение одного сочленения Vl руки робота, имеет вид:

Yt = - *iv(0 - к2><*) + кАЧ ~

Рис. 3.1 (У). RLC-цепь

где v(/) — скорость, y(t) — положение, а »(0 — ток в обмотке двигателя, управля­ющего сочленением. Запишите уравнения состояния и определите соответствующие матрицы для случая к, = к2 = 1.

У-3.3. Система описывается уравнением состояния (3.16), где

ГО 11

4-і - і ■

Определите корни характеристического уравнения системы.

Ответ', s = -1/2 ± j'JbIZ У-3.4. Получите в переменных состояния описание системы, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

d* V d2 у dy

j - + 4 —+ 6^-+ 8у=10и(0. di dt2 dt

У-3.5. На рис. 3.5(У) изображена структурная схема системы. Запишите уравнения со­стояния для этой системы в форме (3.16) и (3.17).

У-3.6. Система описывается уравнением (3.16), где

О Г

О О

А =

(а) Определите матрицу Ф(г). (б) Определите х(/) при начальных условиях л,(0) =^2(0) = 1. Ответ: (б) = (1 + /), х2 = 1, / > 0.

У-3.7. Рассмотрите систему из пружины и массы, изображенную на рис. 3.3, где М= 1 кг, к= 100 Н/м, Ь = 20Н/м/с.

(а) Запишите векторно-матричное уравнение состояния.

(б) Определите корни характеристического уравнения данной системы.

У-3.8. Посадка на борт небольшого судна в условиях неблагоприятных погодных условий затрудне­на из-за качки. Динамика качки описывается матрицей А:

Определите корни характеристического уравнения.

У-3.9. На рис. 3.9(У) изображена элект­рическая цепь, находящаяся в ре­жиме свободного движения. В ка­честве физических переменных состояния выбраны заряды на і Ф конденсаторах, т. е. xl=ql и х2 = д2- (а) Изобразите сигнальный граф с физическими переменными состояния и запишите вектор-

но-матричное дифференциальное уравнение, (б) Перейдите к диагональной (канонической) форме графа и соответствующему дифференциальному уравнению. Учтите, что і, = dqxldt = dxt/dt и i2 = dx2ldt. В качестве выходной переменной примите ток i2.

У-3.10. Система управления посадкой летательного аппарата описывается двумя переменными со­стояния, и матрица А имеет вид:

_ 0 б'

-1 -5

А =

(а) Вычислите корни характеристического уравнения.

(б) Определите переходную матрицу состояния Ф(/). Ответ: (a) s = -3, -2.

У-3.11. Составьте описание в форме фазовой переменной для системы, заданной передаточной функцией

Y(s) 4 (s + 3)

R(s) (s+2)(s+4)

У-3.12. Получите модель в переменных состояния для электрической цепи, изображенной на рис. 3.12(У). Определите реакцию цепи на единичное ступенчатое входное воздействие, считая нача­льные значения тока и напряжения на конденса­торе нулевыми.

У-3.13. Система описывается двумя дифференциа­льными уравнениями:

dy

v у — 2и+ aw = 0.

dt

dW L Л Гі

by+ 4 и = О,

dt

где w и у есть функции времени, a u(t) — входное воздействие, (а) Выберите переменные со­стояния. (б) Запишите матричное дифференциальное уравнение и определите элементы мат­риц. (в) Определите корни характеристического уравнения системы как функцию параметров а и Ь.

Ответ', (в) s = — 1/2 ± V1 - 4аЪ /2 У-3.14. Опишите в пространстве состояний радиоактивное вещество с массой М, которая пополня­ется со скоростью r(t) = Ku(t), где К = const. Поясните смысл переменных состояния.

Рис. 3.15 (У). Система с двумя массами Рис. 3.16 (У). Две связанные тележки

У-3.15. Рассмотрите систему с двумя взаимосвязанными массами, изображенную на рис. 3.15(У). Коэффициент трения скольжения каждой массы равен Ь. Запишите векторно-матричное урав­нение состояния.

У-3.16. На рис. 3.16(У) изображены две тележки, трением качения которых можно пренебречь. Внешняя сила равна u(t). Выходом является положение тележки 2, т. е. y(t) = g(t). Запишите векторно-матричное уравнение состояния.

У-3.17. Запишите векторно-матричное дифференциальное уравнение состояния для цепи, представ­ленной на рис. 3.17(У).

У-3.18. Запишите векторно-матричное дифференциальное уравнение состояния для цепи, изобра­женной на рис. 3.18(У). В качестве переменных состояния примите xt = х2 = i2 nx3 = v.

Rt

^ф C2=bu2 ©и, фу„

Рис. 3.18 (У). RLC-цепь

У-3.19. Система с одним входом и одним выходом описывается уравнениями

у=[ 10 0] х.

Определите передаточную функцию G(s) = Y(s)IU(s).

Ответ: G(s) = —z---------- .

s + 4s + З

Задачи

3-3.1. На рис. 3.1(3) изображена RLC-пеиь. (а) Выберите переменные состояния, (б) Запишите сис­тему дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния,

(в) Запишите векторно-матричное уравнение состояния.

3-3.2. На рис. 3.2(3) изображена схема уравновешенного моста. В качестве переменных состояния примите (хь х2) = (vc, і,), (а) Покажите, что для данной схемы матрицы А и В имеют вид:

3-3.3. На рис. 3.3(3) изображена электрическая цепь, в которой переменными состояния являются х, = iL и х2 — vc. (а) Получите диф­ференциальное уравнение состояния.

[О 1/L

Ответ (частично): А =

-1/С -1/ЛС 3-3.4. Система имеет передаточную функцию

r(s)_

R(s) s3 + 2s2 + 3s + 10 '

+ 2s + 5

Изобразите модель системы в виде сигнального графа и запишите векторно-матричное урав­нение состояния для двух вариантов конфигурации графа: (а) в форме фазовой переменной и

(б) в виде структуры с многомерным входом.

3-3.5. На рис. 3.5(3) изображена замкнутая система управления, (а) Определите передаточную фун­кцию системы T(s) = Y(s)/R(s). (б) Изобразите сигнальный граф для случая, когда он представ­лен в форме фазовой переменной, и запишите матричное дифференциальное уравнение состо­яния. (в) Изобразите сигнальный граф и запишите матричное дифференциальное уравнение состояния относительно физических переменных, указанных на рис. 3.5(3).

3-3.6. Запишите матричное уравнение состояния для электрической цепи, изображенной на рис. 3.6(3). Переменными СОСТОЯНИЯ ЯВЛЯЮТСЯ Х, = V|, Х2= V2 И х3 = І.

I

:0.25 мкФ v,

Рис. 3.6 (3). /?ІС-цепь

3-3.7. На рис. 3.7(3) изображена си­стема автоматического регу­лирования глубины погруже­ния подводного исследовате­льского робота. Глубина по­гружения измеряется датчиком давления. Установ­ленный на корме привод име­ет коэффициент передачи К = 1 при вертикальной скоро­сти 25 м/с. Передаточная фун­кция робота

Датчик

давления

H(s)

1 f

s2+ 1

а передаточная функция датчика в цепи обратной связи H(s) = 2s+ 1.

(а) Запишите уравнение состояния, (б) Определите, является ли система устойчивой.

3-3.8. На рис. 3.8(3) схематически изображен процесс мягкой посадки лунного модуля. Примите в качестве переменных состояния я, = у, х2 = dy/dt, хъ = т, а в качестве управляющего воздейст­вия и = dm/dt. Гравитационная постоянная Луны обозначена через g. Запищите уравнения со­стояния для этой системы. Является ли данная модель линейной?

3-3.9. В системах управления скоростью часто при­меняются элементы, принцип действия которых основан на использовании потока жидкости или газа. В таких системах совершенно отсутствуют движущиеся механические части. Они способ­ны поддерживать заданное значение скорости с точностью до 0,5% за счет использования регу­лируемого ответвления потока и золотникового исполнительного устройства. Такие системы обладают также малой чувствительностью к возмущениям и высокой надежностью в широ­ком диапазоне температур, электромагнитного и ядерного излучения, ускорений и вибрации.

Усиление в системе достигается за счет использования форсунки с отклонением потока. Сис­тема подобного рода может управлять паровой турбиной мощностью 500 кВт со скоростью 12000 об/мин. Структурная схема такой системы изображена на рис. 3.9(3).

Параметры системы заданы безразмерными единицами: Л = 0,1, ./ = 1 и А', = 0,5. (а) Определи­те передаточную функцию замкнутой системы 7’(.у) = co(s)/R(s). (б) Запишите векторно-матрич - ное дифференциальное уравнение состояния, (в) Определите характеристическое уравнение системы, использовав для этого матрицу А.

3-3.10. На рис. 3.10(3) изображена двухко­

ординатная система управления. Ко­эффициенты передачи по каналам со­ответственно равны Кх и К2, а пере­менные состояния обозначены на ри­сунке.

(а) Запишите дифференциальное уравнение состояния, (б) Получите характеристическое уравнение систе­мы, использовав для этого матрицу А. (в) Определите переходную матри­цу состояния при Кх = 1 и К2 = 2.

3-3.11. Система описывается уравнением (3.16), где

1 -2

Известно, что u(t) = 0, ^(О) =х2(0) = 10. Определите *,(<) и x2(t). 3-3.12. Система описывается передаточной функцией

J» S(s+5)

s3 + 12s2 + Us + 48 '

(а) Представьте систему в форме фазовой переменной, (б) Определите канонический вид мат­ричного уравнения состояния, (в) Определите переходную матрицу состояния Ф(/).

3-3.13. Рассмотрите еще раз RLC-цепь из задачи 3.1, полагая Л = 2,5, L= 1/4 и С= 1/6.

(а) С помощью матрицы А определите характеристическое уравнение системы и исследуйте ее устойчивость, (б) Определите переходную матрицу состояния цепи, (в) Определите реакцию системы, если начальное значение тока через индуктивность равно 0.1 A. vc.(0) = 0 и v(/) = 0.

(г) Повторите п. (в), если все начальные условия равны нулю, a v(/) = Е = const при t > 0.

3-3.14. Получите векторно-матричное уравнение состояния для системы, имеющей передаточную функцию

т_______________________________

R(s) s3 + 9s2 + 26s + 24

s + Is+2

3-3.15. Изобразите сигнальный граф и запишите матричное уравнение состояния для системы с пе­редаточной функцией

гм-М 3(;*6)--------------------------- _

ад s3 + ios2+ 3is+ зо

представив ее (а) в форме фазовой переменной и (6) в канонической (диагональной) форме. 3-3.16. На рис. 3.16(3), (а) изображена система распределения в капсулы радиоактивной жидкости. Движение поддона с капсулами в горизонтальном направлении осуществляется с помощью линейного привода. Структурная схема системы управления этим движением приведена на рис. 3.16(3), (б). Полагая К = 500. (а) представьте систему в переменных состояния и (б) вычис­лите ее реакцию на единичное ступенчатое входное воздействие, (в) Определите корни харак­теристического уравнения замкнутой системы.

Рис. 3.16 (3)

Автоматическое распределительное устройство

3-3.17. Динамические характеристики подводной лодки существенно отличаются от аналогичных характеристик самолета, ракеты или надводного корабля. Это различие объясняется в первую очередь наличием момента в вертикальной плоскости, возникающего за счет выталкивающей силы. Поэтому представляет интерес рассмотреть задачу управления глубиной погружения подводной лодки. Уравнения, описывающие динамику подводной лодки, можно получить с помощью законов Ньютона из рассмотрения углов, обозначенных на рис. 3.17(3). Чтобы упро­стить эти уравнения, предположим, что угол 0 является малым, а скорость v постоянна и равна 7, 5 м/с. Рассматривая движение только в вертикальной плоскости, примем в качестве пере­менных состояния х, = 0, х2 = dQ/dt их3 = а, где а — угол атаки. В этом случае векторно-мат­ричное уравнение состояния имеет вид:

3-3.19. Рассмотрите задачу управления роботом, схематически представленную на рис. 3.19(3). Двигатель в локтевом сочленении приводит в движение запястье через предплечье, обладаю­щее определенной гибкостью, как показано на рисунке в виде пружины. Пружина имеет коэф­фициент упругости к и коэффициент трения Ь. Пусть переменными состояния являются •*1 = Фі _ Ч>2 и х2 = Юі-Ч, гДе шо = k(J + Запишите уравнение состояния в вектор­

но-матричной форме, ЄСЛИ Х3 = (Uj/COq.

3-3.20. В ряде случаев производную аппроксимируют следующим выражением:

x(t) а [Зх (к + 1) — 4х (к) + х (к -1)].

При такой аппроксимации для оценки производной нужно знать два предшествующих значе­ния сигнала, тогда как при использовании выражения (3.89) — только одно. Используя дан­ную аппроксимацию, повторите вычисления примера 3.6. Сравните значения х,(/)- получен­ные при Т= 0,2 с, с данными, приведенными в табл. 3.1. Является ли данная аппроксимация более точной?

3- 3.21. Яаерный реактор, работавший при постоянном уровне мощности и при высокой плотности потока тепловых нейтронов, внезапно останавливают. В момент остановки плотность ксено­на-135 (X) и йода-135 (Г) составляет соответственно 7 ■ 1016 и 3 • 1015 атомов в единице объема.

Период полураспада радионуклидов йод-135 и ксенон-135 составляет соответственно 6,7 и 9,2 час. Уравнения распада имеют вид:

Определите концентрации йода-135 и ксенона-135 как функции времени после остановки ре­актора (а) путем вычисления реакции с помощью переходной матрицы состояния и (6) путем дискретного вычисления этих характеристик. Убедитесь, что реакция системы имеет вид, изображенный на рис. 3.21(3).

3-3.22. Существует несколько различных экви­валентных способов представления сигна­льного графа в переменных состояния. Две таких эквивалентных модели, соответству­ющие передаточной функции (3.38), изоб­ражены на рис. 3.8 и 3.10. Еще одна воз­можная конфигурация сигнального графа приведена на рис. 3.22(3). В данном случае

система имеет второй порядок и ее передаточная функция

G(J) = IW= у±4>_.

U (s) s + + a0

(а) Убедитесь, что граф на рис. 3.22(3) действительно соответствует этой передаточной функ­ции. (б) Покажите, что векторно-матричное дифференциальное уравнение, соответствующее графу, имеет вид:

где Л] = i»j и h2-b0-blal.

3-3.23. Определите вид матричного дифференциального уравнения состояния для электрической цепи, изображенной на рис. 3.23(3). Переменными состояния являются = г, х2 = v, и хъ = v2. Выходная переменная есть v0(/).

3-3.24. На рис. 3.24(3) изображена система с двумя проточными баками. Электродвигатель изменя­ет степень открытия входного вентиля и в конечном счете влияет на скорость выходного пото­ка. Система имеет передаточную функцию

T(s) = - ------------------------ ,

s3 + 10s + 31s + 30

а ее структурная схема представлена на рис. 3.24(3), (б). Изобразите сигнальный граф и запи­шите матричное дифференциальное уравнение состояния для следующих конфигураций гра­фа: (а) в форме фазовой переменной, (б) в виде структуры с многомерным входом, (в) в физи­ческих переменных состояния и (г) с развязанными переменными состояния.

Рис. 3.24 (3)

Система с двумя проточными баками.

(а) Физическая модель и

(б] структурная схема.

3-3.25. Представляется очень заманчивым поддерживать постоянную температуру в здании с помо­щью регуляторов, использующих накопление солнечной энергии. Одна из таких систем опи­сывается уравнениями:

dx,

—1 = ІХ, + и, + и, ,

dt

dx0

—i + щ + а,

dt

где xt — отклонение температуры от желаемого значения, а х2 — температура среды, накапли­вающей энергию (например, резервуар, наполненный водой). Соответственно к, и и2 есть теп­ловые потоки, отдаваемые в окружающую среду и поступающие от источника (Солнца), где транспортной средой является движение воздуха. Возмущение со стороны поступающей сол­нечной энергии, изменяющее температуру накопителя (например, из-за сплошной облачно­сти), представлено переменной d. Запишите матричное уравнение состояния и определите ре­акцию системы при и, = 0, «2 = 1 и d= 1 в случае нулевых начальных условий.

3-3.26. Система описывается следующим дифференциальным уравнением:

КО-

Определитс матрицы Ф(5) и Ф(/) для данной системы.

3-3.27. На рис. 3.27(3) изобра­жена структурная схема системы. Запишите диф­ференциальное уравнение состояния и определите переходную матрицу со­стояния Ф(і’).

3-3.28. На рис. 3.28(3) изобра­жен гироскоп с одной сте­пенью свободы. Гироскопические датчики измеряют угловое переме­щение и используются в системах управления полетом. Ось враще­ния гироскопа смещается относи­тельно направления ОБ (выходной переменной). Входная переменная есть угловое перемещение относи­тельно оси ОА. Уравнение движе­ния относительно выходной оси получается путем приравнивания скорости изменения угловых мо­ментов сумме действующих мо­ментов. Составьте описание гиро­скопической системы в перемен­ных состояния.

3-3.29. На рис. 3.29(3) изображена система с двумя мас­сами. Коэффициент трения качения равен Ь. Запи­шите уравнение состояния в матричной форме, если выходная переменная есть y2(t).

3-3.30. В настоящее время значительные усилия направ­лены на поиск способов манипулирования с объек­тами в космосе — например, при сборке космиче­ской станции или снятии спутника с орбиты. Для выполнения этих задач в грузовом отсеке космиче­ского челнока размешается дистанционно управля­емый манипулятор. Эффективность использования

такого манипулятора подтверждена последними полетами челноков, но теперь уже рассматри­вается проект создания нового устройства — манипулятора типа руки с надувными сегмента­ми. Это позволит примерно в четыре раза уменьшить вес манипулятора и в восемь раз — объ­ем, занимаемый им в грузовом отсеке космического челнока.

На рис. 3.30(3), (о) схематически показано применение манипулятора для сборки некоторой конструкции, а на рис. 3.30(3), (6) изображена модель гибкой руки манипулятора, где J— мо­мент инерции приводного двигателя, a L — расстояние до центра тяжести элемента, играюще­го роль нагрузки. Запишите уравнения состояния для этой системы.

Космическая

конструкция

3-3.31. Получите уравнения состояния для ік

электрической цепи с двумя входами и одним выходом, изображенной на рис. 3.31(3), считая выходной пере­менной ток i2- 3-3.32. Экстендер — это особый тип мани­пуляторов, увеличивающий силу че­ловеческой руки при различных дей - Рис. 3.31 (3). RLC-цепь с двумя входами ствиях с нагрузкой, как показано на рис. 3.32(3). Передаточная функция такой системы

М. С(,).-а,

U(s) s2+4s+3

где U(s) — усилие человеческой руки, прикладываемое к манипулятору, a Y(s) — усилие, при­кладываемое манипулятором к нагрузке. Взяв за образец структуру графа на рис. 3.7, т. е. ис­пользовав его представление в форме фазовой переменной, запишите уравнения состояния и определите переходную матрицу состояния.

Рис. 3.32 (3)

Экстендер, увеличивающий силу человеческой руки

Нагрузка

Захват

3-3.33. Лекарство, принимаемое внутрь, усваивается со скоростью г. Масса лекарства, находящего­ся в желудочно-кишечном тракте, равна ть а масса лекарства в кровеносной системе — т2. Скорость изменения массы лекарства в желудочно-кишечном тракте равна разности скоростей его усвоения и поступления в кровеносную систему, причем считается, что она пропорциона­льна текущему значению массы. Скорость изменения массы лекарства в кровеносной системе пропорциональна его количеству, поступающему из желудочно-кишечного трата минус ско­рость, с которой масса теряется за счет метаболизма, которая пропорциональна текущему зна­чению массы лекарства в крови. Разработайте модель этой системы в переменных состояния.

Для частного случая, когда элементы матрицы А равны единице (с соответствующими знака­ми), определите реакцию системы на начальные условия т,(0) = 1 и т2(0) = 0. Постройте гра­фик изменения переменных состояния в зависимости от времени, а также соответствующую траекторию на плоскости (дг|, х2).

3-3.34. Динамика ракеты описывается передаточной функцией

^-gw-4.

U(s) s

причем используется обратная связь по состоянию и = - х2 - 0,5х|; где jcj =>'(/) и х2 = y{t). Определите корни характеристического уравнения системы и ее реакцию на начальные усло­вия jc, (0) = 0 и х2(0) — 1. U(s) и Y(s) соответствуют приложенному моменту и положению раке­ты.

3-3.35. Система имеет передаточную функцию

8

= T(s) =

у3 + Is + 14s + 8

(а) Запишите матричное дифференциальное уравнение состояния для данной системы.

(б) Определите элемент <р,,(/) переходной матрицы состояния.

3-3.36. Изобразите сигнальный граф в переменных состояния для системы, изображенной на рис. 3.36(3). Индуктивностью обмотки двигателя и трением можно пренебречь. Постоянная двига­теля Кт = 10, а коэффициент противоЭДС Къ = 0,0706. Момент инерции двигателя и вентиля J= 0,006, а площадь сечения бака равна 50 м*. Учтите, что двигатель управляется током якоря i„. Переменные состояния хj = А. х2 = 0 и - х3 - dO/dt. Считайте также, что расход д, = 800. где 0 — угол поворота вала двигателя. Расход на выходе из бака q0 = 50h(t).

Яо

Ж

Задачи повышенной сложности

П-3.1. Рассмотрите систему электромагнитной подвески, изображенную на рис. 3.1(П). В верхней части экспериментальной установки находится электромагнит. С помощью электромагнитной силы/необходимо удерживать стальной шарик в подвешенном состоянии. Заметим, что такая простейшая система является неработоспособной, поэтому требуется использовать обратную связь. Для этого под шариком помешается датчик, измеряющий величину зазора по значению наведенного в нем вихревого тока

Предположим, что в качестве переменных состояния выбраны х, =х. х2 = dx/dt их3 = і. Катуш­ка электромагнита имеет индуктивность L = 0,508 Гн и сопротивление R = 23.2 Ом. Для опре­деления электромагнитной силы используйте разложение в ряд Тейлора. Ток »,=/(, + /. где 10 = 1,06 А соответствует рабочей точке, а і есть величина переменная. Масса шарика т = 1,75 кг. Величина зазора xg=X0 + х, где рабочей точке соответствует Х0 = 4,36 мм, а х есть

малое отклонение. Электромагнитная сила опреде­

f=k(it/xg)2, где к = 2,9-10 4 Н • м2/А2. Запишите матричное диффе­ренциальное уравнение и определите передаточ­ную функцию X(s)/V(s).

П-3.2. Рассмотрите массу т, установленную на тележке, как показано на рис. 3.2(П). Определите переда­точную функцию Y(s)/U(s) и на ее основании запи­шите матричное дифференциальное уравнение со­стояния.

ляется уравнением

—чЛАЛЛААЛ—

-Di-

Рис. 3.2 (П). Масса на тележке

П-3.3. Движение автономного транспор­тного средства из одного пункта в другой требует управления его по­ложением с высокой точностью.

Подобную задачу решает система, изображенная на рис. З. З(П). Опре­делите каноническую диагональ­ную форму матричного дифферен­циального уравнения (или прибли­зьтесь к такой форме по возможности точнее).

П-3.4. В горных велосипедах применяется пружинная амортизация передней вилки. По сравнению с жесткой вилкой, с помощью ко­торой переднее колесо крепится к раме, такая подвеска поглоща­ет ударные импульсы, защищая раму и велосипедиста от тряски. Однако в подобных амортизаторах используется только одна пружина, которая совершенно одинаково реагирует на ударные воздействия как при больших, так и при малых скоростях, хотя эти воздействия значительно отличаются по силе.

Очень хорошим решением является амортизатор с несколькими упругими элементами, которые могут настраиваться во время движения велосипеда. Существуют модели, у которых амортиза­тор имеет две пружины — одну обычную и вторую в сочетании с масляным демпфером. Такой амортизатор позволяет регулиро-

вать коэффициент упругости, приспосабливая его к профилю

грассы и весу велосипедиста. На рис. 3.4(П) показана схема такой подвески, где параметр b яв­ляется настраиваемым. Выберите соответствующее значение Ь, позволяющее велосипеду при­спосабливаться (а) к сильным ударам при больших скоростях и (б) к слабым ударам при малых скоростях. Примите значения kt = 1 и к2 = 2.

П-3.5. На рис. 3.5(П) изображена масса Л/, подве­шенная к другой массе т с помощью легкого стержня длиной L. Считая угол 0 малым, т. е. используя линейную модель системы, запи­шите матричное дифференциальное уравне­ние состояния.

П-3.6. На рис. 3.6(П) изображен подъемный кран, тележка которого перемещается в направле­нии х, тогда как груз массой т смещается в на­правлении z. Двигатели, осуществляющие эти перемещения, являются достаточно мощными по отношению к массе тележки, подъемного троса и груза. В качестве входных управляю­щих переменных рассмотрите расстояния D и R. Примите также, что 0 <50°. Разработайте ли­нейную модель системы и запишите дифференциальное уравнение состояния.

Рис. 3.6 (П)

Подъемный кран с горизонтальным перемещением тележки и вертикальным перемещением груза

Задачи на синтез систем

СС-3.1. Вернитесь к линейному приводу с барабаном и рейкой, изображенному на рис. 2.1(СС). Пренебрегая индуктивностью обмотки двигателя и трением скользящей части стола, полу­чите модель системы в переменных состояния. Параметры системы приведены в табл. 2.1(СС).

С-3.1. Система «масса-пружина» с затуханием, изображенная на рис. 3.3, используется в качестве амортизатора в мотоциклах высокого класса. Заданы следующие параметры системы: те = 1 кг. Ъ = 9 Н ■ с/м, к = 20 Н/м. (а) Определите матричное уравнение состояния системы, корни характеристического уравнения и переходную матрицу состояния Ф(/)- Примите следу­ющие начальные условия: у(0) = [ и dy/dt, _ 0 = 2. (б) Изобразите графически процессы у(е) и dy/dt для первых двух секунд, (в) Измените коэффициент упругости пружины и коэффициент грения таким образом, чтобы уменьшить величину ускорения d~y/dr. действующего на мото­циклиста. Масса при этом должна оставаться постоянной и равной 1 кг.

С-3.2. Система описывается следующим уравнением состояния в форме фазовой переменной:

Выходная переменная у= 10*,. Необходимо записать уравнение состояния в канонической диагональной форме:

и, у = [-5 5] z.

Определите параметры а, Ъ и d, при которых уравнение будет иметь требуемый вид.

I—vWW—

М-3.3. Рассмотрите схему, изображенную на рис. З. З(М). Считая операционный усилитель идеа­льным, определите передаточную функцию

У&УУ,(*).

(а) Представьте схему в переменных состоя­ния, если /?| = 1 кОм, /?2 = 10 кОм, С| = 0,5 мФ и С2 = 0,1 мФ. (б) На основании модели в пере­менных состояния из п. (а) с помощью функ­ции step получите график переходной харак­теристики.

М-3.4. Рассмотрите систему, заданную уравнениями

(а) С помощью функции tf определите передаточную функцию Y(s)/U(s).

(б) Постройте график реакции системы на начальные условия х(0) = [0 —1 I]1 для 0 < t < 10.

(в) С помощью функции ехрт вычислите переходную матрицу состояния и определите х(0 при t= 10 для начальных условий из п. (б). Сравните полученный результат с данными из п. (б).

М-3.5. Рассмотрите две системы:

(а) С помощью функции tf определите передаточную функцию Y(s)/U(s) для системы (1).

(б) Проделайте то же самое для системы (2).

(в) Сравните результаты пп. (а) и (б) и прокомментируйте их.

М-3.6. Рассмотрите замкнутую систему, представленную на рис. 3.6(М).

(а) С помощью MATLAB получите модель в переменных состояния для регулятора.

(б) Проделайте то же самое для объекта.

(в) Используя результата пп. (а) и (б), с помощью функций series и feedback получите модель в переменных состояния для замкнутой системы и постройте график ее реакции на импуль­сное входное воздействие.

М-3.7. Рассмотрите систему

при начальных условиях х(0) =

С помощью функции Isim вычислите и изобразите графически реакцию переменных *,(/) и x2(t) при u(t) = 0.

Ключевые термины и понятия

Вектор СОСТОЯНИЯ. Вектор, компонентами которого ЯВЛЯЮТСЯ все п переменных СОСТОЯНИЯ, Х|, Х2, ...,Хп.

Временная область. Математическая область, в которой описание системы задается функциями времени t.

Дискретная аппроксимация. Аппроксимация, используемая для вычисления временных характе­ристик системы путем деления интервала времени на малые отрезки At.

Дифференциальное уравнение состояния. Дифференциальное уравнение относительно вектора состояния: х = Ах + Ви.

Нестационарная система. Система, в которой один или несколько параметров могут зависеть от времени.

Обратная связь по состоянию. Способ формирования сигнала, прикладываемого к объекту управ­ления, при котором он является непосредственной функцией всех переменных состояния.

Переменные состояния. Совокупность переменных, полностью описывающих поведение систе­мы.

Переходная матрица состояния Ф(0- Матричная экспоненциальная функция, описывающая сво­бодное движение системы.

Состояние системы. Совокупность таких чисел, которые при известных входной функции и урав­нениях динамики системы позволяют определить будущее состояние системы.

Фундаментальная матрица. См. переходная матрица состояния.