СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

В разд. 1.12 мы поставили исходную задачу управления дисководом: позициониро­вать считывающую головку точно на заданную дорожку и при возможности обес­печить переход от одной дорожки к другой в пределах 10 мс. В этой главе мы выпол­ним этапы 4 и 5 процесса синтеза (см. рис. 1.19).

Нам необходимо выбрать исполнительное устройство, датчик и регулятор (этап 4). Затем следует разработать модель объекта, G(s), и датчика. Для приведения в действие

Рис. 2.65

Считывающая головка дисковода

рычага считывающей головки используется двигатель с постоянными магнитами (см. рис. 1.24). При производстве дисководов его называют двигателем со звуковой катушкой. Головка считывания закреплена на скользящем элементе, закрепленном на рычаге, как показано на рис. 2.65. Гибкая пластина дает возможность головке плавать над диском с зазором менее 100 нм. Тонкопленочная головка воспринимает магнитный поток и форми­рует сигнал, поступающий на усилитель. Сигнал ошибки на рис. 2.66(a) формируется на основании заданного номера дорожки. Полагая, что положение считывающей головки определяется точно, можно считать, что передаточная функция датчика H(s) = I, как пока­зано на рис. 2.66(б). На этом рисунке также приведены модели двигателя с постоянными магнитами и линейного усилителя. Двигатель, управляемый по цепи якоря, достаточно хорошо представляется в виде модели на рис. 2.20 при Кь = 0. В полной модели системы на рис. 2.66(б) предполагается, что пластина является жесткой, а не слишком гибкой. В гл. 4 мы рассмотрим модель, в которой это допущение не имеет силы.

Датчик

ж*)=1

Рис. 2.66. Структурная схема считывающей системы дисковода

Типичные параметры дисковода приведены в табл. 2.9. Следовательно, мы имеем:

Кт 5000

G(s)=-

s(Js+b)(Ls + R) s(s + 20)(s +1000) Выражение G(s) можно также представить в виде

G(s)=-

(2.117)

(2.118)

гдет£=J/b= 50 мс их = L/R = I мс. Поскольку мы можем пренебречь величиной х.

Тогда

KJbR 0,25

G(S):

5(tls+1) s(0,05s+1) G(s) = - 5

i(s+20)

Структурная схема замкнутой системы приведена на рис. 2.67. На основании правил пре­образования структурных схем (см. табл. 2.6) можно записать:

Y(s) KaG(s)

(2.119)

R(s) 1 + KaG(s)

Используя аппроксимацию G(s) вторым порядком, мы получим

Y(s)

5К„

R(s) s2+20s+5Ka' R(s).

200

Y{s) =

s2 +20i + 200

Полагая r(t) = 0,1 рад, т. e. R(s) = 0,1/s, с помощью функции step мы получим реакцию системы, изображенную на рис. 2.68.

Рис. 2.68

Реакция системы, изображенной на рис. 2.67, на воздействие R(s) = 0,1/s

Резюме

В этой главе были рассмотрены количественные математические модели систем управле­ния и их элементов. При построении этих моделей в основу были положены дифференциа­льные уравнения, описывающие поведение физических систем. В числе этих систем были рассмотрены механические, электрические, гидравлические и термодинамические. В от­ношении нелинейных элементов был применен метод линеаризации, основанный на разло­жении нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки. После такой лине­аризации к системе применимо преобразование Лапласа и вытекающее из него понятие пе­редаточной функции. С помощью передаточной функции исследователь может определить реакцию системы на различные входные воздействия. Было также показано, как образуются модели систем в виде структурных схем и сигнальных графов. Продемон­стрировано, как с помощью формулы Мейсона можно получить связь между отдельными переменными системы сложной конфигурации. Преимущество моделей в виде сигналь­ных графов заключается в том, что формула Мейсона позволяет получить связь между пе­ременными системы, не прибегая к сложным преобразованиям. Итак, в этой главе мы полу­чили такие ценные средства описания систем управления, как их математические модели в виде передаточных функций, структурных схем и сигнальных графов. Мы оценили также преимущества компьютерного моделирования для исследования поведения систем при различных комбинациях их параметров и внешних воздействий. И, наконец, мы продолжи­ли разработку системы управления считыванием информации с диска, получив передаточ­ные функции элементов этой системы.

Упражнения

У-2.1. В системе с единичной отрицательной обратной связью, изображенной на рис. 2.1 (У), нелинейный элемент описы­вается зависимостью у = /(е) = е~. При задании входного сигнала в диапазоне от 0 до 4 постройте график зависимо­сти у(г) как для разомкнутой, так и для замкнутой систе­мы и покажите, что при наличии обратной связи характе­ристика становится более линейной.

а

L

f(e)

Обратная связь действует при замыкании ключа

Рис. 2.1 (У). Разомкнутая и замкнутая система

т

курс судна, R(s) — заданное значение курса, aA(s) — угловое положение руля. Определите пе­редаточную функцию Y(syR(s).

Ответ, М =---------------------------- ^;,(.vX;2(.v)/.v--------------------------

R(s) 1 + Gi(s)H3(s) + Gl(s'jG2(s)[Hl(s) + H2(s)]+ KGl(s)G2(s)/ s

У-2.9. В системе торможения автомобиля применяется электронная цепь обратной связи, с помо­щью которой автоматически вырабатывается тормозное усилие на каждое из колес. На рис. 2.9(У) приведен упрощен­ный сигнальный граф этой систе­мы, где F/ (s) и Ftt(s) есть, соответ­ственно, тормозные усилия на пе­редние и задние колеса, a R(s) — желаемая реакция автомобиля на скользкой дороге. Определите пе­редаточную функцию Fj(s)/R(s).

У-2.10. Опыт эксплуатации внедорож­ных автомобилей показывает, что при движении по пересеченной местности они подвергаются дей­ствию многих возмущений. В этом случае может быть примене­на система активной подвески,

управляемая с помощью датчика, который предвидит изменение дорожной обстановки. Пример такой простой системы, смягчающей влияние неровностей, приведен на рис. 2.10(У). Определи-

Возмущение (ухаб, неровность) Предварение возмущения

D(s)

Рис. 2.10 (У). Система активной подвески

V=r-p,

dQ пл — = 0,6v,,

dt 2

Рис. 2.14 (У). Электрическая схема Переменные в уравнениях имеют следу­ющий смысл:

r(t) — желаемое положение платформы. p(t) — действительное положение платформы, vt(/) — напряжение на входе усилителя, v2(t) — напряжение на выходе усилителя,

0(0 — положение вала двигателя.

Изобразите сигнальный граф системы, обозначив все элементы и указав связь между ними; за­тем определите передаточную функцию системы P(s)/R(s) .

У-2.16. Пружина, используемая в автомобильном амортизаторе, создает силу f определяемую урав­нением f=h?, где х—деформация пружины. Получите линейную модель пружины при х0 = 1. У-2.17. Выход у и вход х устройства связаны соотношением

у = х + 0,79л:3.

(а) Определите значения выходной переменной в двух рабочих точках: х0 = I к х0 = 2.

(б) Получите линеаризованные модели устройства в этих рабочих точках и сравните их. У-2.18. Передаточная функция системы имеет вид:

Г(д)_ 10(5+2)

R(s) ~ j2 + 8j + 15

Определите }'(ґ), если r(t) имеет вид единичной ступенчатой функции.

Ответ: y(t) = 1,33 + 1,67е~3( — Зе~5/.

У-2.19. Определите передаточную функцию V0(s)!V(s) для схемы на операционном усилителе, изоб­раженной на рис. 2.19(У). Считайте, что операционный усилитель — идеальный. Вычислите передаточную функцию при Rx-R2= 100 кОм, С, = 10 мкФ и С2 = 5 мкФ.

У-2.20. На рис. 2.20(У) изображена скользящая каретка, обеспечивающая прецизионное позицио­нирование щупа. Определите передаточную функцию Хр (s)/X, (s), если коэффициент трения приводного вала bd= 1, коэффициент упругости приводного вала kd = 3, тс = 2/3 и коэффици­ент трения скольжения bs = 1.

С,

У-2.21. Угловая скорость вращения спутника со, изображенного на рис. 2.21(У), зависит от длины штанги L. Передаточная функция, связывающая co(s) и приращение длины штанги ДL(s), имеет вид:

сф) _ 2,5(5+ 2)

AL(s) ~ (л-+ 5)(л-+ I)2 ’

Изменение длины штанги происходит в соответствии с выражением AL(s) = 114s. Определите закон изменения скорости со (t).

,,1 3 _* 35 5

Ответ: (ait) =—і--------------------- е е te.

4 128 128 32

У-1.11. Определите передаточную функцию замкнутой системы T{s) = Y(s)IR(s), соответствую­щую сигнальному графу на рис. 2.22(У).

У-2.23. На рис. 2.23(У) изображена структур­ная схема системы. Определите переда­точную функцию системы T(s) =

= Y(s)/R(s).

У-2.24. Усилитель может обладать зоной не­чувствительности, как показано на рис.

2.24(У). Для линейного участка характе­ристики воспользуйтесь аппроксима­цией вида. у = ах3. Выберите значение а и линеаризуйте характеристику усилителя в окрестности рабочей точки х = 0.6.

У-2.25. Определите передаточную функцию X2(s)/F(s) для системы, изображенной на рис. 2.25(У). Оба груза скользят по повехности без трения, а коэффициент жесткости пружины к - 1 Н/м.

... 1

Ответ:

s2(s2 + 2) '

У-2.26. Определите передаточную функцию Y(s)/D(s) для системы, изображенной на рис. 2.26(У). У-2.27. Определите передаточную функцию VQ(s)IV(s) для схемы на операционных усилтелях, изоб­раженной на рис. 2.27(У). если R, = 167 кОм, R2 = 240 кОм, Л3 = 1 кОм, R4 = 100 кОм и С = 1 мкФ. Операционные усилители считаются идеальными.

Рис. 2.27 (У)

Схема на операционных усилителях

3-2.7. Получите передаточную функцию для дифференцирующей цепи, изображенной на рис. 2.7(3).

3-2.8. В системах управления, работающих на переменном токе, в качестве фильтра часто применя­ются мостовые Т-образные схемы. Одна из таких схем приведена на рис. 2.8(3). Покажите, что передаточная функция этой схемы равна

V0 (s) _ 1 + 2Rfs + RiR2C2s2

V,(s) ~ 1+ (2R + R2)Cs + R]R2C2s2 '

Укажите расположение на комплексной плоскости полюсов и нулей, если R, = 0,5, R-, = 1 и С =0,5.

3-2.9. Получите передаточную функцию X^syFfs) для системы с двумя связанными массами из за­дачи 2.3. Определите положение на s-плоскости полюсов и нулей, если М = 1. b/k = 1 и

С = ——7=— = °-1 - 2 л/Ш

3-2.10. Определите передаточную функцию Y{(s)/F(s) для поглотителя вибраций из задачи 2.2. Установите, при каких значениях параметров М2 и кп в случае Fit) = a sinco0f вибрация массы Мх будет отсутствовать.

3-2.11. В электромеханических системах, требующих значительного усиления по мощности, часто применяются электомашинные усилители (ЭМУ). Такой ЭМУ и сервопривод изображены на рис. 2.11(3). Определите передаточную функцию б(s)/Vc(s) и изобразите структурную схему системы. Считайте, что vcl = кгіч и vq = kxic.

3-2.12. На рис. 2.12(3) изображена емкость, в которую поступает несжимаемая жидкость. Можно счи­тать, что изменение расхода на выходе из емко­сти, AQ2. пропорционально изменению уровня жидкости АН. В установившемся режиме Q, = Q2 и Q2 = k-JW. Используя линейную аппроксима­цию, получите передаточную функцию объекта AQ2{s)/AQl(s).

3-2.13. На рис. 2.13(3) изображена разомкнутая элект­ромеханическая система управления. Генератор, якорь которого вращается с постоянной скоро­стью, вырабатывает напряжение, поступающее на обмотку возбуждения двигателя. Двигатель обладает моментом инерции Jm и коэффициен­том трения Ът. Определите передаточную функ­цию 6;(s)/V As) и изобразите структурную схему системы. Предполагается, что напряжение гене­ратора vg пропорционально току возбуждения if.

3-2.14. Двигатель постоянного тока с управлением по цепи возбуждения через редуктор приводит во вращение нагрузку. Характеристика двигателя предполагается линейной. В результате ис­пытаний при подаче на обмотку двигателя ступенчатого напряжения величиной 80 В нагрузка через 0,5 с достигает скорости 1 рад/с . Установившееся значение скорости равно 2,4 рад/с. Определите передаточную функцию двигателя B(s)/Vf(s) с размерностью рад/В. Индуктивно­стью обмотки возбуждения можно пренебречь (см. рис. 2.17).

3-2.15. Рассмотрите систему масса-пружины, изображенную на рис. 2.15(3). Получите дифференциальное уравнение, описыва­ющее движение массы т. Найдите реак­цию системы на начальное условие х(0)= 1.

3-2.16. Постройте сигнальный граф для сле­дующей системы алгебраических урав­нений, считая Х| и х2 зависимыми пере - меными, аби 11 — входами:

JC| + 1.5дг2 = 6,

2дС| + 4х1 =11.

По формуле Мейсона определите значение каждой зависимой переменной. Решение для х, проверьте с помощью правила Крамера.

3-2.17. На рис. 2.17(3) изображена механическая сис­тема. в которой задается смещение х/1) извест­ного вида относительно стационарного значе­ния этой переменной.

(а) Запишите два независимых уравнения дви­жения.

(б) Получите уравнения движения в виде преоб­разований Лапласа, считая начальные условия нулевыми.

(в) Изобразите сигнальный граф, соответствую­щий этой системе уравнений.

(г) С помощью формулы Мейсона найдите связь между Х,(х) и X3(i). Tu(s). Сравните тру­доемкость получения 4 з 0s) с помощью матриц и с помошыо формулы Мейсона.

3-2.18. На рис. 2.18(3) изобажена каскадная LC-цепь, для которой справедливы следующие уравне­ния:

v„ = (/, - /„ )Z2.

У2

= 4 z4.

Изобразите сигнальный граф, соответствую­щий этим уравнениям, и определите передаточ­ную функцию F2(s)/K,(s).

Рис. 2.18 (3)

Каскадная LC-цепь

3-2.19. На рис. 2.19(3) изображен повторитель напряжения (буферный усилитель). Считая операционный усили­тель идеальным, покажите, что Т - v0/v, = 1.

3-2.20. Повторители напряжения используются для сущест­венного уменьшения выходного сопротивления источ­ника сигнала. Схема такого повторителя на полевом транзисторе с коэффициентом усиления, практически равным единице, приведена на рис. 2.20(3) (а), а его малосигнальная эквивалентная модель — на рис.2.20(3) (б). Предполагается, что для создания сме­щения выбрано R2 » Rt и что Rg » R2.

(а) Получите выражение лля коэффициента усиления схемы.

(б) Вычислите коэффициент усиления, если gm = 2000 мкмо и Rs = 10 кОм, где /?„. = Rt + R2 .

(в) Изобразите сигнальный граф, отражающий уравне­ния для данной схемы.

3-2.21. На рис. 2.21(3) изображен гидравлический серво­привод с механической обратной связью. Площадь поршня силового гидроцилиндра равна А. Когда зо­лотник перемещается на малую величину Дг, то масло потекает через гидроцилиндр со скоростью pAz. где р— степень открытия отверстия. Давление масла предполагается постоянным. Из геометрических со­

ображений ясно, что Az = k

(а) Изобразите сигнальный граф замкнутой гидроме­ханической системы.

(б) Определите передаточную функцию замкнутой системы y(s)ZY(s).

3-2.22. На рис. 2.22(3) показаны два маятника, соединенные пружиной точно в середине стержней, причем в их точках подвеса трение отсутствует. Предполагается, что каждый маятник пред­ставляет собой массу М на конце стержня длиной L, а массой стержня можно пренебречь. Кро­ме того, считается, что отклонения от положения равновесия являются малыми, поэтому для sinG и cosG применима линейная аппроксимация. При 0] = 02 деформация пружины отсутству­ет. Внешняя сила fit) приложена только к левому стержню.

(а) Запишите уравнения движения и представьте их в виде структурной схемы.

(б) Определите передаточную функцию T(s) = 0,(s)/F(s).

(в) Изобразите расположение на s-плоскости полюсов и нулей T{s).

3-2.23. На рис. 2.23(3) изображена малосигнальная эквивалентная схема транзисторного усилителя с общим эмиттером. Обратная связь в усилителе осуществляется с помощью резистора Rj. Определите отношение vce/vr

I

Рис. 2.24 (3). Усилитель с обратной связью

3-2.24. На рис. 2.24(3), (а) изображен усилитель напряжения с обратной связью на двух соединен­ных последовательно транзисторах. В эквивалентной схеме для переменного тока опущены резисторы, необходимые для задания смещения, и шунтирующие конденсаторы. Соответству­ющий этой схеме сигнальный граф приведен на рис.2.24(3), (б). На графе не отражено влияние И,.е. обычно достаточно точно аппроксимируемого, а также предполагается, что (Л7 + Л; )» Л,.

(а) Определите коэффициент усиления по напряжению v0/v;.

(б) Определите коэффициент усиления ПО току

(в) Определите входное сопротивление vjib.

3-2.25. Часто не обращают внимание на тот факт, что Г. С. Блэк, предложивший в 1927 г. идею раз­работки усилителей с отрицательной обратой связью, тремя годами раньше изобрел метод синтеза схем, известный как метод коррекции по возмущению. Дальнейшие эксперименты по­казали, что этот метод открывает богатые возможности для создания усилителей с высокоста­бильными характеристиками. Усилитель Блэка изображен на рис. 2.25(3) (о) в том виде, как он был предложен им в 1924 г. Соответствующий сигнальный граф приведен на рис. 2.25(3), (б). Определите передаточные функции от входа R(s) к выходу У(а) и от возмущения Да) к выходу У(а). Каждому усилителю, обозначенному как ц на схеме (а), соответствует D(s) на графе.

Да)

3-2.26. Если рука робота захватывает тяжелый груз, то в ее сочленениях появляется зна­чительная гибкость. На рис. 2.26(3) изоб­ражена соответствующая данному слу­чаю модель руки робота. Определите пе­редаточную функцию Y(s)/F(s).

Ъ-1.21. Транспортные средства на магнитной подушке отличаются большей скоро­стью и меньшим трением по сравнению с традиционным железнодорожным транс­портом. На рис. 2.27(3) схематически изображен поезд, плавающий над магнитным рельсом с воз­душным зазором. Сила левитации FL регулируется током і в катушках подвески и может быть аппрок­симирована выражением

п-4.

где z — величина воздушного зазора. Эта сила на­правлена навстречу силе тяжести F = mg. Опреде­лите линеаризованную зависимость между воз­душным зазором z и управляющим током в окрест­ности точки равновесия.

3-2.28. Многоконтурная модель экологической среды обитания в городских условиях может включать в себя следующие переменные: количество населе­ния (Р). благоустройство (Л/), приток населения в город (С), санитарные возможности (5). количест­во заболеваний (£>), число бактерий на единицу площади (В) и количество отходов на единицу пло­щади (С). В скобках указан символ каждой переменной. Можно предположить наличие следу­ющих замкнутых причинно-следственных цепочек:

I. Р G В D —> Р 3. P—>M—>S—*D—*P;

г. р^м-*с^>р: 4. p->m->s->b->d->p.

Изобразите сигнальный граф, отражающий эти связи, и укажите на нем соответствующие ко­эффициенты преобразования. Поясните, почему вы считаете каждое преобразование положи­тельным или отрицательным. Например, преобразование S —» В является отрицательным, т. к. улучшение санитарных условий ведет к уменьшению числа бактерий на единицу площади. В каком из четырех контуров обратная связь является положительной и в каком — отрицате­льной?

3-2.29. Мы хотим удержать в равновесии шарик, который может катиться по вращающемуся брусу, как показано на рис. 2.29(3). Предположим, что вращающий момент двигателя опре­деляется входным током і и при этом трением можно пренебречь. Будем также считать, что брус можно удер­жать в равновесии вблизи горизонта­льного положения (ф = 0), так что от­клонения угла ф являются малыми.

Определите передаточную функцию X(s)/I(s) и приведите структурную схему, на которой обо­значьте <p(i). X(s) и I(s).

3-2.30. Точность систем управления в значительной степени определяется типом датчика, исполь­зуемого в цепи обратной связи. Особенно важную роль играют динамические свойства датчи­ка. Большинству датчиков свойственна передаточная функция

Рассмотрите некоторые из современных промышленных датчиков и выявите, какой точно­стью и постоянной времени они обладают. Как пример, возьмите по два из следующих датчи­ков: (1) линейного перемещения. (2) температуры, (3) деформации, (4) давления.

Рис - 2.31 (3). Система управления скоростью сматывания кабеля с катушки

3-2.31. В системе, управляющей скоростью, с которой кабель сматывается с катушки, в качестве датчика используется тахогенератор. Выходное напряжение тахогенератора используется для управления скоростью двигателя, вращающего катушку. На рис. 2.31(3) изображена соответ­ствующая система управления. Радиус катушки равен 4 м. когда она заполнена, и 2 м — когда она пустая. Момент инерции катушки J = 18.5/?4 - 221. Скорость изменения радиуса

(1R _ Р2ы dt 2п W

где W— ширина катушки, a D — диаметр кабеля. Действительная скорость сматывания кабе­ля v(t) = ГШ Заданная скорость сматывания равна 50 м/с. Разработайте схему моделирования этой системы на цифровом компьютере и определите ее реакцию на интервале 0-20 с для трёх значений коэффициента К = 0,2: 0.4 и 0,6. Угловая скорость катушки со = dQ/dt равна интегралу от момента с коэффициентом 1/J. Обратите внимание, что момент инерции изменяется по мере разматывания кабеля, однако при моде­лировании это будет учтено приведен­ным выше выражением. Выберите ко­эффициент К так. чтобы ограничить пе­ререгулирование величиной 9% и в то же время добиться максимального бы­стродействия. Для моделирования при­мите, что при t = 0 W = 2.0, D = 0,1 и R = 3,5.

3-2.32. На рис. 2.32(3) изображена система с двумя входами и двумя выходами. По­лагая Л, = 0, определите y,(s)/7?|(s) и

адад-

3-2.33. Система состоит из двух электродвигателей, соединенных между собой непрерывным гиб­ким ремнем. Ремень также проходит через специальное приспособление, измеряющее его ско­рость и натяжение. Задача управления состоит в регулировании скорости и натяжения ремня путем изменения вращающих моментов двигателей.

Практическим примером такой системы может служить перемотка пряжи в текстильном про­изводстве с одной бобины на другую с высокой скоростью. В промежутке между двумя боби­нами пряжа подвергается определенной обработке, при которой может потребоваться регули­рование в заданных пределах скорости и натяжения. Модель подобной системы приведена на рис. 2.33(3). Определите Y2{s)/R,(s). Определите также, при каких условиях, предъявляемых к системе, У2 не будет зависеть от Л,.

3-2.34. Определите передаточную функцию Y(s)/R(sJ для системы регулирования скорости (числа оборотов) на холостом ходу автомобильного двигателя с инжекцией топлива, изображенной на рис. 2.34(3).

амплитуды 10 градусов? Проволочка имеет коэффицент упругости при скручивании, равный 2 ■ 10-4 Н • м/рад, а коэффициент вязкого трения шариков в воздухе также равен 2 • 10-4 Н • м/рад. Масса каждого шарика равна 1 кг.

Рис. 2.40 (3)

Электрическая схема

3-2.40. В схеме, изображенной на рис. 2.40(3), определите изображение по Лапласу выходного на­пряжения К0(у). Предполагается, что при / < 0 схема находится в установившемся состоянии, а в момент / = 0 ключ мгновенно переводится из положения 1 в положение 2.

3-2.41. Для уменьшения нежелательных

вибраций механизмов применяются демпфирующие устройства. На рис. 2.41(3) показано одно из таких устройств: между двумя колесами по­мещается вязкая жидкость, например густое масло. Когда вибрация стано­вится значительной, движение колес относительно друг друга создает дем­пфирующий эффект. Если механизм вращается без вибрации, то относите­льное движение колес отсутствует и демпфирования не происходит. Опре-

делите 0|(х) и 02(у). Коэффициент упругости вала равен К, коэффициент вязкого трения — Ь. а вращающий момент, передаваемый нагрузке — Т.

3-2.42. На рис. 2.42(3) изображена ракета, оснащенная двига­телем с изменяемым вектором тяги. Отклонение ракеты по горизонтали от заданной траектории равно h, а ско­рость ее движения в направлении оси равна V. Момент, развиваемый двигателем (управляющий момент), равен Тс, а возмущающий момент — Td. Запишите уравнения, описывающие линейную модель системы, и изобразите соответствующую структурную схему.

3-2.43. На рис. 2.43(3) схематически изображен оптический сканер, который часто используется для считывания штрих-кодов с товаров в супермаркетах, а также в поли­графии и ряде отраслей производства. При вращении зеркала возникает сила трения, пропорциональная угло­вой скорости. Коэффициент трения равен 0,06 Н • с/рад. а момент инерции — 0,1 кг • м2. Выходной переменной

является угловая скорость («(/). (а) Запишите дифферен - Рис. 2.42 (3). Ракета

циальное уравнение для двигателя, (б) Определите реак - с Двигателем с изменяемым

вектором тяги

Детектор ^ ^ Линза

-► Микрокомпьютер

цию системы на единичное ступенчатое изменение вращающего момента, если при t = 0 нача­льное значение скорости равно 0,7 рад/с.

3-2.44. В поз. 10 табл. 2.5 изображен идеальный шестеренчатый редуктор. Пренебрегая моментом инерции и трением между шестернями, а также считая, что обе шестерни выполняют одинако­вую работу, докажите справедливость приведённых в таблице соотношений. Определите связь между моментами Тт и TL.

3-2.45. Электродвигатель через идеальный шесте­ренчатый редуктор вращает массивную ци­линдрическую нагрузку, как показано на рис. 2.45(3). Момент инерции вала двигате­ля с закрепленной на нем шестеренкой С2 равен Jm. Определите (а) момент инерции нагрузки JL и (б) момент Т на валу двигате­ля. Коэффициенты трения нагрузки и вала двигателя соответственно равны bL и bm.

Плотность материала диска равна р.

3-2.46. Робот по сравнению с человеком-операто - ром способен развивать гораздо большие усилия: в свою очередь, человек по сравне­нию с роботом способен совершать разумные действия. Объединение этих положительных ка­честв приводит к созданию класса манипуляторов, называемых экстендерами. Экстендер определяется как активный манипулятор, управляемый человеком и увеличивающий прикла-

дываемые им усилия. Человек задает входное воздействие U(s), как показано на рис. 2.46(3). Выходом экстендера является P(s). Определите P(s) как функцию U(s) и F(s) в виде

P(s) = T^sjUis) + T2(s)F(s).

3-2.47. Груз, перевозимый автомобилем, приводит к появлению силы F. действующей на пружину амортизатора и деформирующей шину, как показано на рис.2.47(3). (а). Модель данной систе­мы изображена на рис. 2.47(3), (б). Определите передаточную функцию )/F(s).

lr

-к, Шина

Постоянная электродвигателя Кт = 10, а момент инер­ции его ротора совместно с вентилем J = 6 • 10“ кг • м". Получите дифференциальное уравнение, связы­вающее h(t) и v(/). а также определите передаточную функцию H(s)/V(s).

3-2.49. Схема, изображеная на рис. 2.49(3), представляет со­бой фильтр, обладающий как опережением, так и отста­ванием по фазе.

(а) Определите передаточную функцию V2(s)/Vl(s). счи­тая, что операционный усилитель является идеальным.

Масса скользящей части Масса рейки

Момент инерции барабана, якоря электродвигателя и тахогенератора Радиус барабана

Коэффициент демпфирования двигателя Постоянная электодвигателя Коэффициент противоЭДС Сопротивление якоря Индуктивность якоря____________________________________ 5,693 кг 6,96 кг

10,91 • ИГ3 кг • м2

31,75- 10“3 м 0,268 Нм- с/рад 0,8379 Н - м/А 0,838 В • с/рад 1,36 Ом

3,6 мГн_________

С-2.1. На рис. 2.1(C) изображена струк­турная схема системы управления. Передаточные функции G2(s) и Н2(s) заданы. Определите, как надо выбрать Gj(s) и Я, (у), чтобы пере­даточная функция замкнутой сис­темы Y(s)/R(s) была равна единице.

С-2.2. На рис.2.2(С) изображена схема управления лучом кинескопа. Вы­берите неизвестную проводимость С так, чтобы напряжение v было равно 24 В. Каждая проводимость измеряется в сименсах (5).

С-2.3. На вход «черного ящика» с пере­даточной функцией G{s) подан сиг­нал r(t) = t, t > 0 . При нулевых нача­льных условиях выходной сигнал описывается выражением

у(1) = 1 + sin / + 2ё~2' ,(>().

Определите передаточную функ­цию G(s).

С-2.4. На рис. 2.4(C) изображена схема на операционном усилителе, кото­рая может выполнять функции фи­льтра. Определите передаточную функцию схемы, считая операцион­ный усилитель идеальным. Найдите v(j(t), если Vj(0 = At, t > 0.

{Задачи, решаемые с помощью MATLAB

М-2.1. Рассмотрите два полинома:

p(s) = s2 + 2s + 1. q(s) = s + 1.

С помощью MATLAB вычислите следующее:

Ф)

(a) p(s)q(s), (б) полюсы и нули G(s) =

/'О)

М-2.2. Рассмотрите систему с обратной свя­зью, изображенную на рис. 2.2(М). .

(а) Вычислите передаточную функцию * замкнутой системы с помощью функций MATLAB series и feedback.

(б) Определите реакцию системы на еди­ничное ступенчатое воздействие с помо­щью функции step и убедитесь, что ко­нечное значение выходной переменной равно 2/5.

М-2.3. Дано дифференциальное уравнение у + 4 у + 4у= и, где >{0) = j(0) = 0 и u(t) есть единичная ступенчатая функция. Получите решение этого уравнения аналитически и проверьте результат с помощью MATLAB, одновременно построив график y(t) с помощью функции step.

М-2.4. Рассмотрите механическую систему, изображенную на рис. 2.4(М), где входом является jit). а выходом —y(t). Определите передаточную функцию, связывающую Д/) и у(/), а также с по­мощью MATLAB получите график реакции системы на единичное ступенчатое воздействие. Параметры системы: т = 10, к = 1 и b = 0,5. Убедитесь, что максимальное значение выходной переменной равно 1.8.

Рис. 2.4 (М)

Механическая система «масса-пружина» с демпфированием

Коэффициент трения

ь

^■Ст1«ншмміиіииаг»ціі ■

М-2.5. Система управления положением спутника по'одной координате может быть представлена структурной схемой, изображенной на рис. 2.5(М). Переменные к, анЬ являются параметрами регулятора, a J есть момент инерции спутника. Примите следующие значения: J = 10.8Е+08. к= 10.8Е+08, а = 1 и Ь = 8.

(а) Напишите программу MATLAB, вычисляющую передаточную функцию замкнутой систе­мы T(s) = 0(s)/0/s).

(б) Вычислите и постройте график реакции системы на ступенчатое изменение входного сиг­нала величиной 10°.

(в) Точное значение момента инерции спутника в общем случае неизвестно и может медленно изменяться во времени. Сравните реакции системы в случаях, когда J уменьшается на 20% и на 50%. Параметры регулятора при этом остаются неизменными. Проанализируйте получен­ные результаты.

М-2.6. Рассмотрите структурную схему системы, представленную на рис. 2.6(М).

(а) С помощью MATLAB упростите структурную схему и определите передаточную функцию замкнутой системы.

(б) С помощью функции pzmap определите положение полюсов и нулей передаточной функ­ции замкнутой системы.

(в) С помощью функций pole и zero вычислите точные значения полюсов и нулей передаточ­ной функции замкнутой системы и сравните результат с данными, полученными в п. (б).

М-2.7. Связь между выходом у(() и входом х(/) нелинейной системы определяется уравнением

у(х) = X2 + xsiru.

Линейная аппроксимация этой зависимости имеет вид:

у - ах,

где а — коэффициент, подлежащий определению. Определите параметр а эксперименталь­но, разработав программу MATLAB, которая вычисляет и строит график разности между у и у в зависимости от переменного параметра а. Параметр а подбирайте так, чтобы максимальная разность между у и у не превышала значения 20 при 0 < х < 10. Когда будет найдено соответст­вующее значение а, постройте графики у(х) и J(x) в диапазоне 0 < х < 10.

М-2.8. Система имеет передаточную функцию

X(s)_ (15/z)(s + z)

R(s) ~ /+ 3s+15'

Постройте график реакции системы на сигнал r(t) в виде единичной ступенчатой функции при значениях параметра z = 3, 6 и 12.

Ключевые термины и понятия

Затухающие колебания. Колебания, характеризующиеся убыванием амплитуды во времени.

Имитационное моделирование. Эксперимент, при котором исследуется поведение математиче­ской модели системы в условиях реальных входных сигналов.

Исполнительное устройство. Устройство, осуществляющее непосредственное воздействие на объект управления с целью обеспечения заданного значения его выходной переменной.

Коэффициент затухания. Безразмерный параметр, входящий в характеристическое уравнение вто­рого порядка и определяющий степень затухания.

Критическое демпфирование. Случай, которому соответствует граница между недодемпфирова - нием и передемпфированием системы.

Линейная аппроксимация. Приближенное представление модели физического устройства в виде линейной зависимости между его входной и выходной переменными.

Линейная система. Система, удовлетворяющая условиям суперпозиции и гомогенности.

Математическая модель. Описание поведения системы математическими средствами.

Передаточная функция. Отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразо­ванию Лапласа входной переменной при нулевых начальных условиях.

Правило Мейсона. Правило, позволяющее получать передаточную функцию, прослеживая пути и контуры распространения сигналов внутри системы.

Преобразование Лапласа. Преобразование функции времени Д/) в функцию комплексной пере­менной F(s).

Сигнальный граф. Графическое представление системы линейных уравнений, состояшее из уз­лов, соединённых направленными ветвями.

Структурная схема. Конфигурация системы управления, образованная совокупностью блоков од­нонаправленного действия, каждому из которых соответствует определенная передаточная функция.

Характеристическое уравнение. Уравнение, получающееся приравниванием нулю знаменателя передаточной функции.

Электродвигатель постоянного тока. Электрическое исполнительное устройство, входным сиг­налом которого является напряжение.