СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Пример синтеза: ременный привод печатающего устройства принтера

В обыкновенном недорогом принтере для компьютера горизонтальное перемещение печа­тающего устройства вдоль страницы осуществляется с помощью ременного привода. Пе­чатающее устройство может быть струйным, матричным или термическим. Пример ремен­ного привода принтера с исполнительным устройством в виде двигателя постоянного тока изображен на рис. 3.24. В данной конструкции положение печатающего устройства изме­ряется с помощью фотодатчика, а натяжение ремня изменяет его коэффициент упругости. Целью синтеза является выбор надлежащих параметров электродвигателя, шкива, регуля­тора и анализ влияния коэффициента упругости ремня на характеристики системы. Для ре­шения поставленной задачи сначала нам потребуется разработать модель привода и вы­брать многие из его параметров. На основании этой модели мы построим сигнальный граф и выберем переменные состояния. После этого определим передаточную функцию систе­мы и выберем ее остальные параметры, кроме коэффициента упругости ремня. И, наконец, исследуем влияние коэффициента упругости, проварьировав его в разумных пределах.

На рис. 3.25 изображена модель ременного привода. Предполагается, что коэффици­ент упругости ремня равен к, радиус шкива — г, угол поворота вала двигателя — 0, угол поворота правого шкива — вр, масса печатающего устройства — т, а его положение — y(t). Выходом фотодатчика является напряжение vlt пропорциональное перемещению у, т. е. V] = ку. Регулятор вырабатывает выходное напряжение v2, являющееся функцией v,. Напряжение v2 подается на обмотку возбуждения двигателя. Предположим, что мы мо­жем использовать линейную зависимость

и выберем параметры к2 = 0,1 и къ = 0 (т. е. будем использовать обратную связь по скоро­сти).

Момент инерции двигателя вместе со шкивом J=Jm + JmK. Если мы выберем двига­тель средней мощности в 1/8 л. с. (чуть менее 100 Вт), то для него J = 0,01 кг м2, индуктив­ностью обмотки возбуждения можно пренебречь, сопротивление обмотки возбуждения равно 2 Ом, постоянная двигателя Кт = 2 Н-м/А, а коэффициент трения совместно со шки­вом b = 0,25 Н мс/рад. Радиус шкива г = 0,15 м. Все эти параметры сведены в табл. 3.2.

Перейдем к записи уравнений движения системы; заметим, что у = гвр. Тогда сила натяжения Ту равна:

Г, = А(г0 - г0р) = k{rQ - у).

Сила натяжения Т2 - к(у - г0). Сила, действующая на массу m:

7J - T2=m

T —T2 = k(rQ-y)-k(y-rQ)=2k(rB-y) = 2kxl, (3.116)

где X[ = (/-0 - у) примем за первую переменную состояния. Пусть второй переменной со­стояния будет х2 = dy/dt, тогда из (3.115) и (3.116) мы получим:

dx2 _ 2к dt m 1

Если в качестве третьей переменной состояния выбрать х3 = dQ/dt, то

dy

Теперь нам потребуется дифференциальное уравнение, описывающее вращение электро­двигателя. При L = О ток возбуждения і = v-,/R и момент на валу Тт = Kmi. Следовательно,

Т i-v " R 2’

т. е. момент, развиваемый двигателем, должен быть равен моменту, обеспечивающему движение ремня, плюс возмущающий момент нагрузки:

T„, = T+Td.

Момент Т обуславливает вращение шкива, поэтому

d2Q, Л

T=J^- + b-^ + r(Tl - Г,> dt dt

Таким образом, мы замечаем, что

dx3 d2B dt ~ dt2 ’

из чего следует:

ф3 J'm dt

где

:——v-> и v, =-k, k-y — =-k, k1x1. R ' ' dt

L, L7=- — s-2, L3=-^-s- Д, =- 2кК”‘к'к2 s~

J т J mJR

Следовательно,

Tj(s) з (2к 2кг "l (2kb 2kKmkxk2r

V J J m J ^ Jm JmR

С учетом численных значений параметров из табл. 3.2 получим: *,(s)_ -15s

Td (s) s3 + 25s2 + 14,5As + 1000* (0,25 + 0,15/c,)

Нам желательно иметь такой коэффициент упругости к и коэффициент регулятора к2, при которых переменная состояния х1 как можно быстрее принимала бы малое значение после появления возмущения. Для проверки примем возмущение в виде ступенчатой функции, т. е. T/s) = a/s. Имея в виду, что х, = г9 - у, упомянутое выше требование экви­валентно тому, чтобы переменная у стала практически равной заданному значению г0. Если ремень является абсолютно жестким, т. е. к -» оэ, то у в точности будет равно гв. При ступенчатом возмущении Tjs) = a/s мы имеем:

Лі(*) = -7 ; — (3-122)

s + 25s2 + 14,5/и + 1000* (0,25 + 0,15к2 )

По теореме о конечном значении

limx1(/) = limsA'1(s) = 0, (3.123)

t—>00 А’—>0

т. е. установившееся значение Xj(t) будет равно нулю. Зададимся реалистичным значением к в диапазоне <к< 40. Пусть это будет 20. Тогда при к2 = 0,1 мы получим:

. — 15а 15а, _ .

Jfi(s) = — = ------------------------- . (3.124)

s3 + 25s + 290s + 5300 (s + 22,56) (s2 + 2,44s + 234,93)

Характеристическое уравнение имеет один вещественный и два комплексных корня. Разложение Xt(s) на простые дроби дает:

Jf,(s) A Rs + С

(3.125)

a s + 22,56 (s+1,22)2 +(15,28)2

где вычисление неопределенных коэффициентов приводит к результатам: А =-0,0218, В = 0,0218, С — —0,43 81. Очевидно, что при таких малых значениях вычетов реакция систе­мы на единичное возмущение будет незначительной. Так как А и В существенно меньше, чем С, TOvV'i(s) можно аппроксимировать выражением:

Jf,(s) -0,4381

• ~ -

a (s+1,22)2 +(15,28)2 Найдем оригинал этого выражения, воспользовавшись табл. 2.3:

»- 0,0287е-1-22' sin 15,28Л (3.126)

Рис. 3.27

Реакция переменной ^(t) на ступенчатое возмущение: максимальное значение = - 0,0325

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Время (с)

График этой функции приведен на рис. 3.27, откуда следует, что влияние нежелате­льного возмущения является весьма незначительным. Таким образом, поставленная зада­ча синтеза нами выполнена.