СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Понятие устойчивости

При анализе и синтезе систем управления с обратной связью первостепенное значение имеет их устойчивость. С практической точки зрения неустойчивая система не имеет ни­какого смысла. Декларируя это, мы должны признать, что, конечно, могут быть и исключе­ния, но в дальнейшем мы будем считать, что все синтезируемые системы управления дол­жны быть устойчивыми. Многие реальные системы объективно неустойчивы в разомкну­том состоянии, а некоторые даже и проектируются, будучи таковыми. Большинство современных истребителей, если не использовать активную обратную связь, помогающую пилоту управлять машиной, являются неустойчивыми и просто не могут летать. Инже­нер-проектировщик в первую очередь должен обеспечить устойчивость системы управле­ния неустойчивым объектом (например, самолетом), после чего позаботиться об удовлет­ворении других требований к динамике системы. С помощью обратной связи мы можем обеспечить устойчивость неустойчивого объекта, а затем надлежащим выбором парамет­ров регулятора удовлетворить такие показатели качества, как установившаяся ошибка, от­

носительное перерегулирование, время установления, время максимума переходной ха­рактеристики и другие, которые подробно были рассмотрены в главах 4 и 5.

Всегда можно сказать, что замкнутая система является либо устойчивой, либо неу­стойчивой. При таком подходе речь обычно идет о так называемой абсолютной устойчи­вости. Систему, обладающую абсолютной устойчивостью, называют просто устойчивой, отбрасывая слово «абсолютная». Если же замкнутая система является устойчивой, то речь может идти о степени этой устойчивости, и тогда пользуются понятием относитель­ной устойчивости. С этим понятием хорошо были знакомы пилоты на заре развития авиации — чем более устойчив был самолет, тем труднее было совершать различные ма­невры (например, развороты). Одним из показателей относительной устойчивости совре­менных истребителей является их высокая маневренность. Истребитель менее устойчив, чем пассажирский самолет, поэтому он способен маневрировать намного легче. Действи­тельно, движения, совершаемые истребителем, могут быть весьма болезненными для «пассажиров». Как мы увидим позже в этом разделе, система будет устойчива (в абсолют­ном смысле), если все полюсы ее передаточной функции или, что то же самое, все собст­венные значения матрицы А находятся в левой половине 5-плоскости. Если же окажется, что все полюсы (или собственные значения) находятся в левой половине 5-ПЛОСКОСТИ, то далее речь может идти об относительной устойчивости, которая определяется положени­ем этих полюсов.

Устойчивую систему определяют как систему, обладающую ограниченной реакцией. Иначе говоря, если система подвергается воздействию ограниченного входного сигнала или возмущения и ее реакция также является ограниченной по модулю, то такую систему называют устойчивой.

Устойчивая система — это динамическая система, обладающая ограниченной

реакцией на ограниченный входной сигнал.

Понятие устойчивости можно проиллюстрировать на примере конуса, находящегося на плоской горизонтальной поверхности. Если конус поставить на основание и слегка на­клонить, он вернется в первоначальное положение равновесия. Говорят, что такое поло­жение равновесия и соответствующая реакция являются устойчивыми. Если конус поло­жить на бок и слегка толкнуть, то он покатится, тем не менее оставаясь все время на боку. Такое положение равновесия называют нейтрально устойчивым. Если же конус поста­вить на вершину и отпустить, то он упадет на бок, поэтому данное положение равновесия является неустойчивым. Соответствующие ситуации представлены на рис. 6.1.

Устойчивость динамической системы определяется аналогичным образом. Реакция системы на отклонение, или начальные условия, будет либо затухать, либо оставаться нейтральной, либо нарастать. Согласно определению, линейная система устойчива тогда и только тогда, если интеграл в бесконечных пределах от абсолютного значения ее импу­льсной переходной функции g(t) является конечным. Иначе говоря, необходимо, чтобы

Рис. 6.1

Устойчивость положения конуса

-00

при ограниченном входном сигнале интеграл g(t)dt был конечным. Положение по­люсов системы на 5-плоскости определяет вид ее переходной характеристики. Полюсы, расположенные в левой половине s-плоскости, дают затухающую реакцию на входное воздействие, а полюсы на мнимой оси или в правой половине д-плоскости, соответствен­но, нейтральную или расходящуюся реакцию. Это наглядно проиллюстрировано на рис. 6.2. Очевидно, что все полюсы синтезируемых систем управления должны находиться в левой половине s-плоскости.

Рис. 6.2

Иллюстрация устойчивости на s-плоскости

Типичным примером дестабилизирующего действия обратной связи является систе­ма микрофон-динамик, используемая в аудиториях для общения с публикой. В этом слу­чае динамик создает звуковой сигнал, представляющий собой усиленную версию сигна­лов, принимаемых микрофоном. Микрофон, помимо иных звуков, чувствителен также и к аудиосигналу, создаваемому динамиком. Насколько сильным будет влияние последнего, зависит от расстояния между динамиком и микрофоном. Поскольку распространение зву­ка в воздушной среде сопровождается его затуханием, то чем больше будет это расстоя­ние, тем слабее будет сигнал, приходящий к микрофону. Кроме того, из-за конечной ско­рости распространения звуковых волн появляется задержка между сигналом, создавае­мым динамиком, и сигналом, достигающим микрофона. Последний суммируется с основ­ным внешним сигналом, в результате чего образуется положительная обратная связь. Если микрофон и динамик расположены очень близко друг к другу, то система будет неу­стойчивой. Неустойчивость проявляется в виде чрезмерного усиления и искажения ауди­осигналов и возникновения пронзительного свиста.

Еще один пример неустойчивой системы изображен на рис. 6.3. Первый мост через пролив Такома в Паджет Саунде, шт. Вашингтон, был открыт для движения 1 июля 1940 г. Было замечено, что когда дует ветер, мост начинает раскачиваться. Спустя четыре ме­сяца, 7 ноября 1940 г., ветер привел к нарастанию амплитуды колебаний, и в итоге мост развалился на части. На рис. 6.3(a) показан момент начала колебаний, а на рис. 6.3(6) — катастрофическое разрушение.

Что касается линейных систем, то требования устойчивости сводятся к заданию по­ложения полюсов передаточной функции замкнутой системы. Эта передаточная функция может быть записана в виде:

м

/Cf^Cs+z,)

/=1

Т(8):

5N П (S + ак )П ^ + 2а «І'S+ ™ + )]

к= т=

где q(s) - A(s) = 0 есть характеристическое уравнение, корни которого являются полюсами замкнутой системы. Реакция системы на импульсный входной сигнал (при N = 0) определя­ется выражением:

Q R ( і Л

-а”‘sm(mmt + Qm), (6.2)

*=1 т=1

где Ак и Вт - константы, зависящие от оь z„ ат, К иш№. Чтобы реакция была ограниченной, все полюсы замкнутой системы должны находиться в левой половине ^-плоскости. Таким образом, необходимое и достаточное условие того, чтобы замкнутая система была устойчива, состоит в том, чтобы все полюсы передаточной функции системы имели отрицательную действительную часть. Если не все из этих полюсов находятся в левой полуплоскости, то мы будем считать систему неустойчивой. Если характеристическое уравнение системы имеет простые корни, расположенные на мнимой оси, а все остальные корни находятся в левой половине j-плоскости, то реакция системы на ограниченный гар­монический входной сигнал, частота которого равна модулю чисто мнимых корней, будет представлять собой неограниченно нарастающие колебания. Такую систему принято на­зывать находящейся на границе устойчивости, т. к. только отдельные входные сигналы (гармонические сигналы, частота которых совпадает с полюсами системы) обусловливают неограниченное нарастание реакции системы. У неустойчивой системы по крайней мере один корень характеристического уравнения находится в правой половине 5-плоскости или это уравнение имеет кратные корни на мнимой оси. В этом случае выходная перемен­ная будет неограниченно нарастать при любом входном сигнале.

Например, если характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

(5 + 10Х52 + 16) = О,

то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если на вход такой системы подать синусоидальный сигнал с частотой to = 4, то выходной сигнал станет неограничен­ным.

Чтобы определить, устойчива ли система управления, необходимо найти корни ха­рактеристического полинома *7(s). Вычисление этих корней даст гораздо больше инфор­мации, чем требуется для ответа на вопрос: является ли система устойчивой? Ведь имен­но этот вопрос интересует нас в первую очередь. И для получения ответа «да» или «нет» на данный вопрос можно воспользоваться любым их трех методов:

(1) методом анализа на 5-плоскости;

(2) методом анализа в частотной области;

(3) методом анализа во временной области.

Частотный метод анализа устойчивости будет рассмотрен в гл. 9, а анализ во времен­ной области — в разделе 6.4.