СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Моделирование систем управления с помощью MATLAB

Многие программные средства анализа и синтеза систем управления (как классическими, так и современными методами) основаны на использовании математических моделей. При описании систем передаточными функциями для этих целей может быть использован MATLAB[1].

В этом разделе мы сначала покажем, насколько полезным может оказаться MATLAB при анализе математической модели механической системы масса-пружина. Используя нотацию MATLAB, мы создадим программу, позволяющую в интерактивном режиме ис­следовать влияние собственной частоты колебаний и коэффициента затухания на свобод­ное движение массы. При этом мы воспользуемся аналитическим решением, описываю­щим свободное движение массы.

Далее мы рассмотрим, как MATLAB оперирует с передаточными функциями и структурными схемами. В частности, будет показано, как MATLAB работает с алгебраи­ческими полиномами, вычисляет полюсы и нули передаточных функций, определяет пе­редаточные функции замкнутых систем, производит упрощения структурных схем, вы­числяет реакцию систем на единичное ступенчатое воздействие. В заключение мы проил­люстрируем применение MATLAB к синтезу системы управления устройством электри­ческой тяги из примера 2.12.

В этом разделе мы познакомимся с функциями MATLAB roots, tf, series, parallel, feed­back, pole, zero, poly, conv, polyval, minreal, pzmap, step.

Система масса—пружина. На рис. 2.2 изображена механическая система масса-пру­жина с демпфированием. Перемещение массы y{t) описывается дифференциальным урав­нением

My(t)+ by(t)+ ky(t) = r(t).

Движение системы при отсутствии внешней силы /■(/) описывается выражением

у(t) = ^=Le<a"' 8ІП(ЮйЛ/і+

лМ2

где 0 = arccos С,, а д>(0) — начальное отклонение. При С, < 1 реакция системы является недо - демпфированной, при С, >1 — передемпфированной, а при С,= 1 — критически демпфи­рованной. С помощью MATLAB мы можем пронаблюдать характер изменения положе­ния массы как реакцию на начальное отклонение ^(0). Рассмотрим случай недодемпфиро - ванной системы:

у{0) = 0,15 м, ши = V2 рад/с, С, = —(к/М = 2, ЫМ = 1).

2V2

Программа MATLAB для построения графика свободного движения системы приве­дена на рис. 2.40. Прежде всего, перед запуском программы, в качестве входных данных для основного блока должны быть заданы значения ^(0), ш,„ t и С,. После этого выполняет­ся основная программа unforced. m, которая представляет результат в графической форме. Если возникает необходимость исследовать влияние на свободное движение собственной частоты колебаний и коэффициента затухания, то просто необходимо ввести новые зна­чения ю„ и С, и еще раз выполнить программу. На рис. 2.41 приведен график свободного движения системы. Заметим, что программа автоматически указывает на графике значе­ние коэффициента затухания и собственной частоты колебаний. Это позволяет избежать недоразумений при многократном проведении моделирования.

Рис. 2.40

Скрипт анализа движения системы

«пружина-масса»

%Вычисление реакции на начальное условие %

c=(y0/sqrt(1 - zetaA2)); y=c*exp(-zeta*wn*t).*sin(wn*sqrt(1-zetaA2)*t+acos(zeta));

%

bu=c*exp(-zeta*wn*t); bl=-bu;

%

plot(t, y,t, bu,'—',t, bl,'—'), grid хІаЬеІ('Время (с)'), ylabel('y(t) (метры)’) legend(['omega_n=',nurri2str(wn)1' zeta=',num2str(zeta)]);

В рассмотренной выше задаче мы воспользовались известным аналитическим реше­нием однородного дифференциального уравнения. В общем случае, при моделировании замкнутых систем управления, подверженных влиянию различных внешних воздействий, а также при разных начальных условиях, аналитическое решение бывает получить очень трудно. Здесь можно прибегнуть к помощи MATLAB, который численно решит постав­ленную задачу и представит результат в графической форме.

MATLAB позволяет исследовать системы, описываемые передаточными функция­ми. Поскольку передаточная функция имеет вид отношения двух полиномов, мы сначала рассмотрим, как MATLAB оперирует с алгебраическими полиномами. При этом не будем забыват ь, что в передаточной функции должны быть заданы оба полинома— и в числите­ле, и в знаменателе.

Полиномы в MATLAB представляются в виде векторов-строк, состоящих из коэффи­циентов в убывающем порядке степеней. Например, полином p(s) = s' + 3s2 + 4 задается так, как показано на рис. 2.42. Обратите внимание, что даже если коэффициент при ка - кой-то степени равен нулю, он все равно включается в представление полинома p(s).

Рис. 2.42

Ввод полинома /0(s) = s3 + 3s2 + 4 и вычисление его корней

Если р есть вектор-строка, состоящая из коэффициентов p(s) в порядке убывания сте­пеней, то функция roots(p) определяет вектор-столбец, содержащий корни этого полино­ма. И наоборот, если г — вектор-столбец, содержащий корни полинома, то функция poly(r) дает вектор-строку из коэффициентов полинома в убывающем порядке степеней. На рис. 2.42 показано, как с помощью функции roots вычисляются корни полинома p(s) = = s3 + Зі2 + 4. На рис. 2.42 показано также, как можно восстановить полином по его кор­ням с помощью функции poly.

Умножение полиномов производится с помощью функции conv. Предположим, что мы хотим получить полином n(s) в развернутой форме, где n(s) = (Зі2 + 2s + 1 )(.s + 4). Эта процедура выполняется так, как показано на рис. 2.43. В результате умножения получаем полином n(s) = 3s3 + 14s2 + 9s + 4. Для вычисления значения полинома при заданном зна­чении переменной используется функция polyval. Как показано на рис. 2.43, полином n(s) имеет значение п(-5) = -66.

В пособиях по применению MATLAB модели линейных стационарных систем рас­сматриваются в качестве объектов, позволяя манипулировать ими как единым целым. При использовании аппарата передаточных функций модели систем создаются с помо­щью функции tf; если модель должна быть представлена в переменных состояния, то при­меняется функция ss (см. главу 3). Применение функции tf проиллюстрировано на рис. 2.44(a). Благодаря возможностям объектно-ориентированного программирования, присущим MATLAB, модели систем обладают свойствами объектов, которые легко можно изменять; аналогично, функции, применяемые для работы с объектами, принято называть методами. Например, если вы имеете две модели систем,

10

и G2(s) =

5' +2s+5

то вы можете сложить их с помощью оператора «+»:

G(s) = С, (s)+G2 (s) = f tgl+15 .

s +3i' + 7s+5

Соответствующая программа MATLAB приведена на рис. 2.44(6), где sysl представ­ляет передаточную функцию G[(.v), a sys2 — G2(s). Вычисление полюсов и нулей переда­точной функции производится при работе с ней как с объектом путем применения функ­ций pole и zero. Это проиллюстрировано на рис. 2.45.

В следующем примере мы покажем, как с помощью функции pzmap (рис. 2.46) мож­но указать расположение на комплексной плоскости полюсов и нулей передаточной фун­кции. Нули на диаграмме обозначаются кружочками, а полюсы — крестиками. Если фун­кция pzmap вызывается без аргументов, то диаграмма строится автоматически.

s + 1

»sys=sys1 +sys2

Transfer function: sA2 + 12 s + 15

G,(s) • g2(s)

sA3+ 3 sA2 + 7 s + 5

а)

Пример 2.16. Передаточные функции

Рассмотрим передаточные функции

г, л +1 и/л (s+l)(s+2)

СС0 = 1—- г -—: и H(s) =

.Vі + Зі2 + 3s + 1 (s+ 2i)(s-2i)(j+ 3)

С помощью программы MATLAB мы можем вычислить полюсы и нули G(s), получить харак­теристические уравнение для H(s), разделить G(s) на H(s), а также получить на комплексной плоскости картину расположения полюсов и нулей функции G(s)!H(s).

Рис. 2.47

Расположение полюсов и нулей функции G{s)/H(s)

Расположение полюсов и нулей передаточной функции G(s)/H(s) показано на рис. 2.47, соот­ветствующие инструкции MATLAB приведены на рис. 2.48. На картине ясно видно располо­жение пяти нулей и всего двух полюсов. В действительности этого не может быть. т. к. извест­но, что число полюсов дожпо быть больше или равно числу нулей. Используя функцию roots, мы можем убедиться, что на самом деле четыре полюса находятся в одной и той же точке s = - l. Таким образом, функция pzmap не позволяет различить кратные полюсы или нули.

Модели в виде структурных схем. Предположим, что мы получили математиче­ские модели объекта управления, регулятора и, возможно, многих других элементов сис­темы, таких как датчики и исполнительные устройства, причем эти модели представлены в виде передаточных функций. Дальнейшая цель состоит в том, чтобы объединить все эти элементы в единую структуру, создав тем самым систему управления. С помощью MAT­LAB можно выполнить все необходимые преобразования структурной схемы.

Простейшую разомкнутую систему управления можно получить, соединив последо­вательно объект управления и регулятор, как это показано на рис. 2.49. Как с помощью MATLAB определить передаточную функцию, связывающую R(s) и У(л), будет проде­монстрировано в следующем примере.

»numg=[6 0 1]; deng=[1 З 3 1]; sysg=tf(numg, deng); »z=zero(sysg)

»n1=[1 1]; n2=[1 2]; d1=[1 2*i]; d2=[1 -2*i];d3=[1 3]; »numh=conv(n1 ,n2); denh=conv(d1 ,conv(d2,d3)); »sysh=tf(numh, denh)

Transfer function: 6 sA5 + 18 sA4 + 25 sA3 + 75 sA2 + 4 s + 12

sA5 + 6 sM + 14 sA3 + 16 sA2 + 9 s + 2 » pzmap(sys) <

Рис. 2.49

Разомкнутая система управления

Пример 2.17. Последовательное соединение

Пусть объект управления задан передаточной функцией G(s) = 1/500 s2, а регулятор имеет пе­редаточную функцию Gc(s) = (s + l)/(s + 2). На рис. 2.50 изображено последовательное соеди­нение двух систем с передаточными функциями С|(л) и G2(s), а также проиллюстрирован смысл функции series, а нарис. 2.51 показано, как с ее помощью определяется произведение Gc(s)G(s). Результирующая передаточная функция имеет вид

Gc(s)G(s) =--------------- г = sys,

500s + 1000s2

где sys есть обозначение передаточной функции в программе MATLAB.

В структурных схемах очень часто встречается параллельное соединение элементов. В таких случаях для определения передаточной функции соединения используется функ­ция parallel. Смысл этой функции поясняет рис. 2.52.

[sys]=series(sys1 ,sys2)

»numg=[1]; deng=[500 0 0]; sysg=tf(numg, deng); »numh=[1 1]; denh=[1 2]; sysh=tf(numh, denh); »sys=series(sysg, sysh);

»sys

500 sA3 + 1000 sA2

б)

T(s) = = sys

U(s)

A------

[sys]=parrallel(sys1 ,sys2)

Мы можем ввести в рассмотрение сигнал обратной связи, замкнув контур единич­ной обратной связью, как показано на рис. 2.53. В этом случае £a{s) есть изображение по Лапласу сигнала ошибки, a R(s) — эталонного входа. Передаточная функция замкнутой системы определяется выражением

Сс (5X7(5)

т-

(1+GC (s)G(s))

С помощью функции feedback мы имеем возможность упростить структурную схе­му, вычислив передаточную функцию замкнутой системы. Эта функция применима как к одноконтурным, так и к многоконтурным системам управления.

Рис. 2.53 + е„ (s)

Система управления R(s) '

с единичной обратной ±J 1

связью

Другая конфигурация системы с обратной связью приведена на рис. 2.57. В данном случае регулятор находится в цепи обратной связи. Замкнутая система имеет передаточ­ную функцию

G(s)

T(s) =

1+G(s)N(s)

Пример 2.19. Функция feedback

Пусть объект и регулятор имеют, соответственно, передаточные функции G(s) и H(s), как по­казано на рис.2.58(а). Для определения передаточной функции замкнутой системы воспользу­емся функцией feedback. Соответствующая программа приведена на рис. 2.58(6). В результа­те получим

Рис. 2.58

Применение функции feedback:

(а) Структурная схема;

(іб) Скрипт MATLAB

Функции MATLAB series, parallel и feedback могут оказаться полезными при упро­щении структурных схем многоконтурных систем.

Пример 2.20. Упрощение многоконтурной системы

Многоконтурная система изображена на рис. 2.26. Наша цель — определить передаточную функцию T(s) = Y(s)/R(s), если

С-(у) = —тт;- С2М = - Ц. G3(s)= 2 ~l, G4(s) = -~ //,(,)= 2. H3(s)= L

s+10 s+1 s + 4s+4 s + 6

В данном примере все действия сводятся к пяти этапам:

□ Этап 1. Ввести все передаточные функции в программу MATLAB.

□ Этап 2. Перенести узел через блок С4 в направлении движения сигнала.

□ Этап 3. Исключить контур G^GJit.

□ Этап 4. Исключить конту р, содержащий Н2.

□ Этап 5. Заменить оставшийся контур одним блоком и записать выражение T(s). Соостветствующие операции показаны на рис. 2.27, а программа, выполняющая их, приведена на рис. 2.59. Выполнение программы дает следующий результат:

s5 + 4/ + 6s3 + 6s2 + 5s + 2 SyS ~ 12s6 + 205s5 + 1066s4 + 2517s3 + 3128s2 + 2196s+ 712 '

При определении передаточной функции замкнутой системы следует соблюдать осторож­ность. Передаточная функция определяет соотношение между входом и выходом после сокра­щения одинаковых нулей и полюсов. Если мы вычислим полюсы и нули T(s), то обнаружим, что полиномы в числителе и знаменателе имеют одинаковый сомножитель (s + 1) . Эти сомно­жители необходимо сократить, прежде чем утверждать, что мы действительно получили пере­даточную функцию. В сокращении нуля и полюса нам может помочь функция minreal. Ее смысл поясняет рис. 2.60. Заключительная процедура в упрощении ст руктурной схемы состо­ит в удалении одинаковых сомножителей из числителя и знаменателя 7’(s), как показано на рис. 2.61. Итоговый результат также приведен на этом рисунке. После применения функции minreal можно видеть, что порядки полиномов в числителе и знаменателе уменьшились на единицу за счет сокращения одного полюса и одного нуля.

Transfer function: sA5 + 4 sA4 + 6 sA3 + 6 sA2 + 5 s + 2 12 sA6 + 205 sA5 + 1066 sA4 + 2517 sA3 + 3128 sA2 + 2196 s + 712

Рис. 2.60 Функция minreal

»num=[1 4 6 6 5 2]; den=[12 205 1066 2517 3128 2196 712]; »sys1=tf(num, den); »sys=minreal(sys1); <■ Transfer function: 0.08333 sA4 + 0.25 sA3 + 0.25 sA2 + 0.25 s + 0.1667 sA5 + 16.08 sA4 + 72.75 sA3 + 137 sA2 + 123.7 s + 59.33

Пример 2.21. Управление устройством электрической тяги

В заключение мы еще раз вернемся к системе управления устройством электрической тяги из примера 2.12. Структурная схема этой системы приведена на рис. 2.35(e). Здесь мы вычислим передаточную функцию замкнутой системы и исследуем реакцию скорости ca(s) на задающее воздействие (ojs). Первый этап, проиллюстрированный программой на рис. 2.62, состоит в определении передаточной функции T(s) = ш(ї)/ш()(ї). Характеристическое уравнение замкну­той системы имеет второй порядок, причем сои = 52 и (, = 0,012. Поскольку коэффициент зату­хания очень мал, следует ожидать, что реакция системы будет иметь сильно колебательный характер. Реакцию ы(/) на эталонный вход соJt) можно исследовать с помощью функции step. Эта функция, смысл которой поясняет рис. 2.63, вычисляет реакцию линейной системы на единичное ступенчатое воздействие. Ступенчатая функция имеет важное значение потому, что качество систем управления обычно оценивается по их реакции на воздействие данного вида.

Если единственной целью исследований является получение графика y{t), то функцию step можно использовать без указания аргументов в левой части инструкции. График будет полу­чен автоматически с указанием переменных по осям координат. Если же y(t) необходимо для каких-то других целей кроме построения графика, то функцию step надо использовать с указа-

Рис. 2.63 Функция step

нием всех аргументов в левой части инструкции, после чего вывод графика осуществляется с помощью функции plot. Переменная / определяется как вектор-строка, состоящая из моментов времени, в которые мы желаем получить значения выходной переменной y(t).

В программе MATLAB можно также задать значение t = tf, так что переходная характеристика будет вычислена на интервале от t = 0 до / = tj, и кроме того указать число точек в этом интер­вале.

Переходная характеристика электропривода приведена на рис. 2.64. Как и ожидалось, выход­ная переменная у(1) = ы(/). т. е. скорость вращения, имеет сильно колебательный характер.