СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Качество системы второго порядка

Рассмотрим одноконтурную систему второ-

С0„

Г(*) = -

s' +2^юия+со"

При единичном ступенчатом входном воздействии получим:

to;

14s) = -

s(s2 + 2C,®„s + to2 )

Воспользовавшись таблицей преобразований Лапласа (табл. 5.3), найдем оригинал:

ЯО = 1-^-^"'5Іп(ш„р; + Є), (5.9)

где р = д/і-^2,0 = arccos С, и 0 < ^ < 1. На рис 5.5 (а) изображены переходные характеристи­ки этой системы для различных значений коэффициента затухания С,. С уменьшением С,
корни характеристического уравнения замкнутой системы приближаются к мнимой оси и реакция становится сильно колебательной. На рис. 5.5 (б) приведены те же переходные ха­рактеристики в зависимости от параметра С, и времени.

В случае единичной импульсной функции, для которой изображение по Лапласу R(s) = 1, можно записать:

со:

Y(s) =

7 9 9

s~ +2C, a„s+®~

Рис. 5.5

(а) Переходные характеристики системы второго порядка при ступенчатом входном сигнале.

(б) Те же характеристики в зависимости от £ и времени

4 5

со,,/

что совпадает с передаточной функцией замкнутой системы T(s) = Y(s)/R(s). Реакция систе­мы на единичную импульсную функцию определяется выражением

со.,

y(t) = - r-e sinco„pr,

которое является производной от реакции на единичную ступеньку. На рис. 5.6 изображе­ны реакции системы второго порядка на единичную импульсную функцию для различных значений параметра При определении показателей качества проектировщик может ис­пользовать реакцию системы как на ступенчатую, так и на импульсную функцию.

Типовые показатели качества обычно определяются по виду реакции на ступенчатое входное воздействие, как показано на рис 5.7. Быстродействие системы напрямую связа-

но с временем нарастания Тг и временем максимума переходной характеристики Тр. Для недодемпфированных систем, переходная характеристика которых обладает перере­гулированием, время нарастания определяется как время изменения реакции от 0 до 100% заданного значения выходной переменной. Если система передемпфирована, то перерегу­лирование отсутствует, время максимума смысла не имеет, а в качестве времени нараста­ния Т рассматривается интервал, в течение которого переходная характеристика изменя­ется от 10% до 90% ее значения. Насколько хорошо действительная реакция системы со­ответствует ступенчатому входному сигналу, оценивается по относительному перерегу­лированию и времени установления Ts. При единичном ступенчатом воздействии относительное перерегулирование (ОП) определяется как

М„ — к. з.

О. П. = —р - 100%, (5.12)

к. з.

где Мр — максимальное значение переходной характеристики, а к. з. — ее конечное значе­ние. Обычно к. з. совпадает с величиной входной ступеньки, но во многих системах оно су­щественно отличается от желаемого значения, определяемого входным сигналом. Для сис­темы, описываемой уравнением (5.8), к. з. = 1.

Время установления Ts определяется моментом, после которого переходная харак­теристика остается полностью внутри зоны, отличающейся от величины входного воз­действия на +8%. Данная зона изображена на рис 5.7. Для системы второго порядка, реак­ция которой описывается выражением (5.9), время установления Тх можно найти по мо­менту, начиная с которого реакция отличается от своего конечного значения не более, чем на 2%, т. е. если

e-Ws <0,02,

Т, * 4.

Следовательно,

(5.13)

Таким образом, время установления можно считать равным четырем постоянным времени т, где х = 1Я>„ — постоянная времени, соответствующая доминирующим кор­ням характеристического уравнения. По реакции системы на ступенчатое воздействие можно также определить установившуюся ошибку, как это показано на рис. 5.7.

Реакцию системы на ступенчатое воздействие можно охарактеризовать двумя факто­рами:

1. Быстродействием, которое определяется временем нарастания и временем макси­мума.

2. Близостью к желаемому виду, которая определяется перерегулированием и време­нем установления.

По своей сути эти факторы являются противоречащими друг другу, что заставляет искать определенный компромисс.

Чтобы получить зависимость показателей Мп и Тр от параметра С,, можно продиффе­ренцировать выражение (5.9) и приравнять производную нулю. Другой способ основан на

использовании свойства дифференцируемости преобразования Лапласа, которое записы­вается в виде

>(0~

= sY(s

dt

при условии, что начальное значение y(t) равно нулю. В результате мы можем получить производную от_у(0, умножив выражение (5.8) над, что даст нам правую часть выражения (5.10). Применив обратное преобразование Лапласа к последнему выражению, мы полу­чим (5.11), которое обращается в нуль при ю„ р< =п. Отсюда выражение для времени мак­симума переходной характеристики системы второго порядка:

а максимальное значение переходной характеристики,

Мр= 1+e-W^.

В результате относительное перерегулирование составляет

ОП = 100е

Зависимость относительного перерегулирования от коэффициента затухания С, представ­лена на рис. 5.8. Здесь же изображена зависимость нормированного времени максимума (йпТр от коэффициента затухания С,. Для некоторых значений коэффициента затухания С, ве­личина относительного перерегулирования представлена в таблице 5.2. И снова мы стал­киваемся с необходимостью поиска компромисса между скоростью реакции и допусти­мым перерегулированием.

Таблица 5.2. Относительное перерегулирование (в %) в зависимости от коэффициента затухания для системы второго порядка

Коэффициент затухания Относительное перерегулирование

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0.4 0.3

0,2 1,5 4,6 9,5 16,3 25,4 37,2

Рис. 5.8

Зависимость относительного перерегулирования и нормированного времени максимума от коэффициента затухания для системы второго порядка

Рис. 5.9

Зависимость нормированного времени нарастания ТГу от С для системы второго порядка

Скорость реакции системы на ступенчатое воздействие можно оценить временем ее нарастания от 10% до 90% величины ступеньки. В таком определении время нарастания Т указано на рис. 5.7. Нормированное время нарастания «>„7^ в зависимости от С,

(0,05 < С, < 0,95) изображено графически на рис 5.9. Действительную кривую Тг трудно описать аналитически, однако можно воспользоваться линейной аппроксимацией

2,16^+0,60

Т,=

которая является достаточно точной для 0,3 < £ < 0,8. Данная аппроксимация приведена на рис. 5.9.

Скорость реакции на ступенчатый входной сигнал, описываемая выражением (5.17), зависит от С, и со,,. При данном С, реакция тем быстрее, чем больше со,,, как показано на рис 5.10. Заметим, что перерегулирование не зависит от co„.

При данном ю„ реакция тем быстрее, чем меньше С,, как показано на рис. 5.11, однако ее скорость ограничивается допустимым перерегулированием.

Рис. 5.10

Реакция системы второго порядка на ступеньку при £ = 0,2, со„ = 1

и о>„ = 10

5.4. Влияние третьего полюса и нуля

на характеристики системы второго порядка

Кривые, изображенные на рис. 5.8, являются точными только для системы второго поряд­ка, определяемой выражением (5.8). Тем не менее они являются весьма полезными и для многих других систем, обладающих парой доминирующих корней, реакция которых на ступенчатое воздействие может быть представлена в виде рис. 5.8. Такой подход, хотя и яв­ляется приближенным, позволяет обойтись без применения обратного преобразования Лапласа для оценки относительного перерегулирования и других показателей качества. Например, для системы третьего порядка, имеющей в замкнутом состоянии передаточную функцию

T(s) = —------- 1-------------- , (5.18)

(s2 +2ф+ l)(ys+1)

расположение ее корней показано на рис. 5.12 (здесь предполагается, что w„ = 1). Эксперимен­тально было установлено, что относительное пе­ререгулирование, ОП, и время установления, Ts, для данной системы соответствуют кривым для системы второго порядка, если

|1/У|> Ю|Сши|.

Иными словами, реакцию системы третьего порядка можно аппроксимировать с помощью доминирующих корней системы второго пряд­ка, если только действительная часть этих кор­ней меньше 1/10 действительной части третьего

корня. Рис. 5-12. Положение корней

системы третьего порядка на 5-плоскости

С помощью вычислений на компьютере для С, = 0,45 можно найти реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие. При у = 2,25 реакция является монотонной (систе­ма передемпфирована), т. к. действительная часть комплексных полюсов равна - 0,45, тогда как вещественный полюс равен — 0,444. Время установления (по критерию 2% от конечного значения) составляет 9,6 с. При у = 0,90, или 1/у = 1,11, в сравнении с = 0,45 мы видим, что перерегулирование составляет 12%, а время установления равно 8,8 с. Если бы комплексные корни были доминирующими, то перерегулирование составляло бы 20%, а время установления равнялось бы 4/<^ш(1 = 8,9 с. Результаты расчетов сведены в табл. 5.3.

* Примечание-. Время установления нормировано, т. е. приведено в значениях со„7Л и определено по критерию 2%.

Следует также заметить, что показатели качества, отмеченные на рис. 5.8, имеют силу только тогда, когда передаточная функция не имеет конечных нулей. Если же пере­даточная функция содержит конечные нули, которые располагаются достаточно близко к доминирующим комплексным полюсам, то эти нули будут оказывать существенное влия­ние на вид переходной характеристики системы.

На переходную характеристику системы с одним нулем и двумя полюсами сильное влияние оказывает положение нуля. На рис. 5.13(a) приведена номограмма для определе­ния относительного перерегулирования при ступенчатом входном воздействии для систе­мы с передаточной функцией

T(s)= ,

s' +2C, a>ris+(i)-

причем кривые построены для С, < 1 в зависимости от о/^(оп. Сами же переходные характе­ристики для нескольких значений а/С, ш„ приведены на рис. 5.13(6). Важнейшие показатели качества для этих значений a/C, on при С, = 0,45 представлены в табл.5.4.

Связь между положением на s-плоскости полюсов передаточной функции замкнутой системы и ее переходной характеристикой играет важную роль при выборе требований, предъявляемых к системе. Чтобы проиллюстрировать это, мы рассмотрим простой при­мер.

Примечание: Время нормировано, т. е. приведено в значениях соа время установления определено по критерию 2%.

Рис. 5.13

(а) Зависимость относительного перерегулирования от £ и со„ для системы второго порядка, передаточная функция которой содержит нуль.

(б) Переходные характеристики системы второго порядка

с параметром £ = 0,45, передаточная функция которой содержит нуль, для четырех значений отношения а/Стл:

А =5, В = 2,

С = 1 и D = 0,5

Пример 5.1. Выбор параметра

На рис. 5.14 изображена одноконтурная си­стема управления. Необходимо выбрать ко­эффициент усиления К и параметр р так, чтобы удовлетворить требования, предъяв­ляемые к переходной характеристике сис­темы. Пусть система должна обладать как рис. 5.14. Одноконтурная система можно большим быстродействием и при управления

этом перерегулирование не должно превы­шать 5%. Время установления переходной характеристики внутри зоны 2% от ее конечного значения должно быть не более 4 с. Коэффициенту затухания £ = 0,707 соответствует перере­гулирование 4,3%. Линия постоянного коэффициента затухания для С, = 0,707 изображена на рис. 5.15. Поскольку время установления 4

Ts. = —- < 4 с.

то мы должны потребовать, чтобы действительная часть комплексных полюсов передаточной функции T(s) удовлетворяла условию Cf. а„ > 1. Область «-плос­кости, удовлетворяющая обоим требованиям к пере­ходной характеристике, отмечена на рис. 5.15 штри­ховкой.

Если выбрать корни замкнутой системы г, = -1 +J и Р, = -1 - j, то мы будем иметь Ts = 4 с и перерегулиро­вание 4,3%. Следовательно, С, = 1/V2 и и„ = 1/С = л/2. Передаточная функция замкнутой системы C(s) К со*

1 + G(s) s +ps + K s + 2^0,/. + oil

Таким образом, нам необходимо иметь К = со2 = 2 и

р = 2Cfiin = 2 . Исследователь и проектировщик систем управления должен отчетливо представлять связь между положением корней замкнутой системы и ее переходной характеристикой. Поэтому данному во­просу мы уделим большее внимание в последующих

Пример 5.2. Доминирующие полюсы 71s)

Рассмотрим систему, передаточная функция которой в замкнутом состоянии имеет вид:

M"U+a)

R(s) (s2 + 2£co„s + ь>2)(1 + ts)

На переходную характеристику могут оказывать влияние как нуль, так и вещественный по­люс. Если я з> Qon и т « £ыи, то это влияние будет незначительным.

Предположим, что мы имеем

T(s)- 62,5(5 + 2,5)

(s2 + 6j + 25)(s + 6,25)

Заметим, что ДО) = 1, т. е. коэффициент усиления системы на нулевой частоте равен единице, поэтому следует ожидать, что при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка бу­дет равна нулю. В нашем случае Cf£>„ = 3, т = 0,16 и а = 2,5. Положение полюсов и нуля на

s-плоскости показано на рис. 5.16. В качестве перво­го приближения пренебрежем вещественным полю­сом и получим:

TWmWE±VI.

s + 6s + 25

Теперь при С, = 0,6 ии„ = 5 мы имеем пару доминиру­ющих полюсов и один нуль, для которого а/(С, озп) = = 0,833. С помощью рис.5.13(a) находим, что отно­сительное перерегулирование составляет 55%. Ожи­даемое время установления (по критерию 2% от ко­нечного значения) равно 4 4

_ 0,6-5

= 1,33 с.

Моделирование на компьютере исходной системы третьего порядка дает следующие результаты: пеерегулирование составляет 38%, а время установления равно 1,6 с. Таким образом, влияние третьего полюса T(s) сводится к уменьше­нию перерегулирования и увеличению времени установления (а. следовательно, веществен­ным полюсом пренебрегать нельзя).