Социально-экономическая статистика

Расчет параметров полиномов различными методами

После того как выяснен характер кривой развития, необходимо определить ее параметры. Элементарный метод определения параметра уравнения тренда, описанного полиномом или экспонентой, состоит в реше­нии системы уравнений по известным уровням ряда динамики. Ниже приводится методология расчета параметров уравнения прямой, па­раболы второго порядка и экспоненты.

Уравнение прямой имеет вид: у, = а() + а, і. В связи с этим система нормальных уравнений для оценивания параметров прямой имеет вид:

|ляо+«іХ,=Ху |а0Х/ + віХ'2=Ху-г-

Решение этой системы относительно искомых параметров про­водится по следующим формулам:

, ,2>Х'2-Х3>'

«Х^-ХуХ*

' »X»2-(X'f '

Аналогичная система уравнений строится для параболы второго порядка у, = а0 + t + а211'.

па0 + a^t + a2^t2 =]Гу

аоХ/+йіХ,2+а2Х?3=Ху/

«0$У + а, Х'3 + *2Х;4 = ХУ'2-

Упрощенный расчет параметров уравнений заключается в пере­носе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, а кроме того, уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, если до переноса начала координат t было равно 1,2,3,..., я, то после переноса — /= ... —4, —3, -2, -1,0,1,2,3,4..., если число члена ряда нечетное. Когда же число ряда четное, то /=... —5, —3, —I, 1,3,5... Следовательно, и все, у которых «р» нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие с такими сте­пенями, могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

Uz0=£y

№2=Ху*-

Для параболы второго порядка:

па0+а2^г =Ху

а, Х/2 =ХУ' fl0 Х'2+«2Х'4=Ху'2-

Решая эти системы относительно неизвестных параметров, по­лучим величины параметров соответствующих полиномов.

Параметр <з, выражает начальную скорость роста, а коэффици­ент а2 — постоянную скорость изменения прироста. Если уровень явления растет с ускорением, то величина этого ускорения в сред­нем за изучаемый период равна 2а2 единицам.

При сглаживании ряда динамики по экспоненте (у, = а0е~а') для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров экспоненты необходимо решить следующую систему уравнений-.

|ХІ8У = /,І§0о + 1§«іХг IX' |§у=|§яоХ/+|8°іХ/2-

Если £/ = 0, то параметры уравнения lg а0 и lg а,, находим по формулам

-1>1. -X^gy

X'2

Экспонента отражает постоянный относительный рост, равный e_ai единицам.

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются опреде­ленные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существен­но не меняются за длительный период. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда других многочисленных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, рав­ный годовому промежутку, носят название «сезонные колебания» или «сезонные волны», а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным или просто сезонным рядом динамики.

Особенно характерны сезонные колебания для экономической деятельности сельского хозяйства, которое в подавляющей степени зависит от сезонных колебаний климата.

Сезонные колебания характеризуются специальными показателя­ми, которые называются индексами сезонности (Q. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являют­ся процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной и переменной их средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет (не менее трех), распределенные по месяцам, исполь­зуемые для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

Индекс сезонности исчисляется различными методами. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности рассчитываются непосредственно по эмпири­ческим данным без их предварительного выравнивания. Для каждо­го месяца определяется средняя величина уровня (у,), затем вычис­ляется среднемесячный уровень для всего ряда (у) и в заключение — процентное отношение средних для каждого месяца к общему сред­немесячному уровню ряда по следующей формуле:

/.,=-=-•100%.

У

Совокупность исчисленных индексов сезонности характеризует сезонную волну в изучаемом явлении. Для наглядного получения представлений о сезонной волне следует изобразить последние дан­ные в виде линейной диаграммы. Если ряд динамики содержит оп­ределенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить сезон­ную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным спо­собом можно записать следующим образом:

А- =(Ху, : У/); и-

В значительной части рядов динамики экономических процес­сов между уровнями, особенно близко расположенными, существует взаимосвязь. Ее удобно представить в виде корреляционной зависи­мости между рядами у(, у2, Уз,..., у„ и этим же рядом, сдвинутым относительно первоначального положения на И моментов времени Уі+Л, у2+/,, Уз+av, Уп+1г Временное смещение называется сдвигом, а само явление взаимосвязи — автокорреляцией.

Автокорреляционная зависимость особенно существенна между соседними уровнями ряда динамики. Поскольку классические ме­тоды математической статистики применимы лишь в случае незави­симости отдельных членов ряда друг от друга, то при анализе взаи­мосвязанных рядов динамики важно установить наличие и степень их автокорреляции.

Различаются два вида автокорреляции:

• автокорреляция в наблюдениях за одной или более перемен­ными;

• автокорреляция ошибок или автокорреляция в отклонениях от тренда.

Наличие последней приводит к искажению величин среднеквад­ратических ошибок коэффициентов регрессии, что затрудняет пост­роение доверительных интервалов для коэффициентов ре-грессии, а также проверку их значимости.

Автокорреляцию измеряют при помощи нециклического коэффи­циента автокорреляции, который может рассчитываться не только между соседними уровнями, т. е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени (L). Этот сдвиг, именуемый временным лагом, определяет и порядок коэффициентов автокорреляции. Различают коэффициенты автокорреляции первого порядка (при L= 1), второго порядка (при L = 2) и т. д. Однако наибольший интерес для исследования представляет вычисление не­циклического коэффициента первого порядка, так как наиболее сильные искажения результатов анализа возникают при корреляции между исходными уровнями ряда (у,) и теми же уровнями, сдвину­тыми на одну единицу времени, т. е. y,_t (или У,+і).

Тогда формулу коэффициента автокорреляции можно записать следующим образом:

У/'Уі+і“У/ -У/+1 Га >

°У|°У,.|

где сту1 и сту/+1 — среднеквадратические отклонения рядов у, и yf+1 соответственно.

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в ис­следуемом ряду фактическое значение коэффициентов автокорре­ляции сопоставляется с табличным (критическим) для 5%-ного или 1%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда).

Одна из специальных таблиц, в которой определена критичес­кая область проверяемой гипотезы (об отсутствии автокорреляции), составленная Р. Андерсеном в 1942 г., приводится ниже.

Если фактическое значение коэффициента автокорреляции мень­ше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда фактическое значение больше таблич­ного, можно сделать вывод о наличии автокорреляции в ряду дина­мики.

Для уменьшения автокорреляции применяют различные мето­ды. Почти все они преследуют цель исключения основной тенден­ции (тренда) из первоначальных данных.

Наиболее распространенным примером выявления наличия ав­токорреляции в отклонениях от тренда или от регрессионной моде­ли является использование критерия Дарбина—Уотсона (d), кото­рый рассчитывается по формуле

d=^----------------- ,

п

1^2

/=1

где е,=у,- уг_,

При условии, что отклонения уровней от тенденции (так назы­ваемые остатки) случайны, значения d, лежащие в интервале 0—4, всегда будут находиться ближе к 2. Если автокорреляция положи­тельная, то d < 2; если отрицательная, то dнаходится в интервале от 2 до 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Их величины для трех уровней значимости а = 0,01, а = 0,025 и а = 0,05 с учетом числа наблюде­ний даны в специальных таблицах.

Существует ряд способов исключения или уменьшения автокор­реляции (авторегрессии) в рядах динамики: а) метод включения вре­мени в качестве дополнительного фактора; б) метод последователь­ных разностей; в) метод авторегрессионых преобразований.

Уровни исходных динамических рядов могут быть представлены показателями в любой форме, в том числе в логарифмической, а время всегда вводится в линейной форме. Считается, что введение фактора времени снимает основную тенденцию развития всех явле­ний, представленных исследуемыми рядами динамики. Доказано, что введение времени аналогично использованию отклонения фак­тических данных от трендов.

Введение времени в качестве дополнительной переменной — наи­более действенный способ обработки связанных рядов динамики. Во всяком случае, при линейной связи между исследуемыми рядами этот способ более точен, чем использование последовательных раз­ностей или отклонений от трендов.

При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уровней двух или более рядов динамики различного содержания, но связан­ных между собой. Эта задача решается методами коррелирования: 1) уровней ряда динамики; 2) отклонений фактических уравнений от тренда; 3) последовательных разностей, т. е. путем исчисления пар­ного коэффициента корреляции.

Коррелирование уровней ряда динамики правильно показывает тесноту связи между рядами динамики лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция. При этом величину ко­эффициента корреляции находят по формуле

ху-х-у

Г =

где х, — уровни факторного ряда динамики; у — уровни результативного ряда динамики.

Следовательно, прежде чем коррелировать ряды динамики (по уровням), необходимо проверить каждый ряд на наличие или отсут­ствие в них автокорреляции (при помощи коэффициента автокор­реляции, описанного в предыдущем параграфе). В случае наличия автокорреляции между уровнями ряда она должна быть устранена. Рассмотрим способы ее исключения в рядах динамики.