ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЙНШТЕЙНА

В данном разделе рассмотрим описание спонтанных и вынужденных пе­реходов (поглощения и излучения), которое было предложенно Эйнштей­ном [9]. В этом описании впервые сформулировано понятие вынужденного излучения, а также задолго до того, как сложились квантовая механика и квантовая электродинамика, установлено правильное соотношение между вероятностями спонтанного и вынужденного переходов. Расчеты построены на использовании элегантных термодинамических рассуждений.

Предположим, что вещество помещено в полость черного тела, стенки которого поддерживаются при постоянной температуре Т. В условиях тер­модинамического равновесия полость заполнена электромагнитным излуче­нием, в которое погружено вещество, а спектральное распределение ру плот­ности энергии излучения в единице объема определяется соотношением (2.2.22). При этом в веществе, вдобавок к процессам спонтанного излучения, происходят процессы как вынужденного излучения, так и поглощения. По­скольку система находится в состоянии термодинамического равновесия, то число переходов в единицу времени с уровня 1 на уровень 2 должно быть равно числу переходов с уровня 2 на уровень 1. Положим теперь

(2.4.36)

Щ* =А2Руо, (2.4.37)

Где В21 и В12 — постоянные коэффициенты (коэффициенты Эйнштейна В), и пусть И{ к — равновесные населенности соответственно уровней 1 и 2. Таким образом, высказанное утверждение выражается равенством:

+ В21рщЩ = В12 (2.4.38)

Для невырожденных уровней согласно статистике Больцмана имеем:

N£/N1 =ехр(-Лу0/АТ). (2.4.39)

Тогда из (2.4.38) и (2.4.39) следует, что

=_____________ А____________

Ру° В12ехр(Лу0//гГ)-В21‘ (2.4.40)

Сравнение выражений (2.4.40) и (2.2.22), при V соотношениям:

В 12 — В 21 — В,

А _ 8яЛуоП3

Б = ’

Равенство (2.4.41) показывает, что вероятности поглощения и вынуж­денного излучения в присутствии излучения черного тела равны. Таким образом, соотношение (2.4.41) аналогично ранее уже установленному со­вершенно другим способом соотношению (2.4.12), которое справедливо в случае монохроматического излучения. С другой стороны, соотношение (2.4.42) позволяет определить коэффициент А, если известен коэффици­ент В вынужденного излучения в присутствии излучения черного тела. Ве­личину Б нетрудно получить из выражения (2.4.30), если вспомнить, что оно было получено для монохроматического излучения. Для излучения чер­ного тела можно ввести величину — объемную плотность энергии из­лучения с частотами в малом спектральном интервале от V до V + йу — и счи­тать, что эта доля энергии связана с монохроматической волной. Соответ­ствующая часть вероятности перехода получается из (2.4.30) путем замены р на р^у.

После интегрирования получившегося соотношения в предположении, что функцию - у0) можно, по сравнению с ру, аппроксимировать 5-функ­цией Дирака (см. рис. 2.3), получим

Сравнение (2.4.43) с (2.4.36) или (2.4.37) дает при этом

В-2гс2|ц|2 (2.4.44)

Зп2г0Н2 ’

Так что из (2.4.42) получаем:

16я3у% пЫ2 (2.4.45)

ЗЙЕ0С3 ‘

Отметим, что полученное здесь выражение для А точно совпадает с тем, которое дает квантово-электродинамический подход (см. выражение (2.3.19)). Фактически, его вывод основан на использовании термодинамических сооб­ражений и закона Планка (который с точки зрения квантовой электродина­мики справедлив).