ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ТЕОРИЯ СИНХРОНИЗАЦИИ МОД В СЛУЧАЕ ОДНОРОДНОГО УШИРЕНИЯ ЛИНИИ

В соответствии с тем, что уже говорилось в разделе 8.6.3, можно построить теорию синхронизации мод лазера при генерации в непрерывном режиме во вре­менном представлении, если потребовать, чтобы форма импульса воспроизводи­лась после каждого полного обхода резонатора. Ограничимся здесь тем, что обсу­дим случай однородного уширения линии перехода, при этом будем предпола­гать, что время жизни на верхнем лазерном уровне много больше времени обхода резонатора. При этих условиях насыщенный коэффициент усиления по мощно­сти за один проход усиливающей активной среды на центральной частоте линии перехода задается выражением g0 = CpN0l, где ар — пиковое значение сечения вы­нужденного излучения, I — протяженность активной среды, a N0 — инверсия населенностей в стационарном состоянии, установившаяся в результате прохож­дения многих импульсов. Это означает, что насыщенный коэффициент усиления определяется средней интенсивностью излучения внутри резонатора (/> и, таким образом, может быть выражен через ненасыщенный коэффициент усиления g:

Яо=1+((/>/// (ЕЛ> где Is = hvJapT — интенсивность насыщения усилителя в центре линии перехода.

Е 1

АКТИВНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ МОД

Данная теория была разработана Куиценга и Сигманом (D. J. Kuizenga and A. E. Siegman, [1]), а позднее получила развитие в работах Хауса (H. A. Haus, [2, 3]). Далее будем руководствоваться подходом Хауса, и для краткости огра­ничимся рассмотрением случая синхронизации мод с использованием ампли-

Тудного модулятора. Таким образом, рассмотрим конфигурацию лазера, пока­занную на рис. Е. 1. Предположим, что модулятор — бесконечно тонкий и нахо­дится на минимально возможном расстоянии от зеркала 2. Предполагается, что при указанных условиях импульс излучения распространяется вдоль резонато­ра туда и обратно (см. рис. 8.19). В любой произвольно выбранной точке внутри резонатора напряженность электрического поля этого импульса можно запи­сать в виде:

E(t) =A(Ј)exp{y'(cы0# - ф)}, (Е.1.1)

Где t — локальное время, позволяющее описать распространение импульса. То­гда спектральная амплитуда Д(со - со0) импульса представляет собой Фурье-об - раз напряженности E(t), т. е.

+00 +00

Д)((о-са0)= j*Ј(0exp (-jat)dt = j*A(f)exp [-Дсо-со0)t]df. (Е.1.2)

-оо —оо

Амплитуда напряженности поля A(t) связана с величиной Аш(со - со0) обратным преобразованием Фурье:

+00

A(t)= - «о )ехр [у(ш - ш0 НМоэ - оз0 ). (Е.1.3)

-оо

Сначала рассмотрим прохождение светового импульса через усилитель. Если А1(й и A2(щ — спектральные амплитуды импульса соответственно до и после одного прохода через усиливающую активную среду (см. рис. Е.1), то можно записать, что A2(ы = tgA1(щ, где te — амплитудный коэффициент пропускания после одного прохода, равный [4]

[ехр - цам/с))Х«Ф (Е14)

Здесь п — показатель преломления активной среды, а Асо0 — ширина линии лазерного перехода (FWHM). Заметим, что согласно (Е.1.4) усиление по мощно­сти равно в этом случае:

G(co) = tg2 = ехр^0(со). (Е.1.5)

Коэффициент усиления ^о(со) в этом выражении зависит от частоты следую­щим образом:

Яо(С0)= {1 + [2((о-со0)/Дюо]2}’ (Е.1.6)

Т. е. имеет лоренцеву форму, как и ожидается в случае однородного уширения линии. Если предположить, что спектральная ширина импульса значительно меньше величины Дсо0, то выражение, стоящее во второй экспоненте в соотноше­нии (Е.1.4), можно разложить в ряд по степеням (со - со0). В первом порядке раз­ложения имеем:

Tg = exp-j{(oml/c) + [g0(a> - ш0)/Дсо0]} x

X exp(g0/2){l - [2(co - со0)/Дсо0]2}. (E.1.7)

Мнимые члены в первой экспоненте соответствуют задержке по фазе ф = = (сonl/c) + [£0(ю - ю0)/Дю0], из которой временная задержка xd, испытываемая импульсом после прохождения через активную среду (см. соотношение (8.6.27)), определяется как gQ

Заметим, что эта задержка не равна п1/с, поскольку усиливающая среда вносит дополнительный вклад в показатель преломления. Величину этой задержки необ­ходимо учитывать при рассмотрении выполнения условия, что время полного об­хода импульсом резонатора должно быть равно периоду модуляции потерь. Для простоты в дальнейшем будем пренебрегать этой задержкой, равно как и другими задержками, вызванными остальными элементами резонатора; в любом случае амплитуда импульса относится к локальному времени, в котором эти задержки уже учтены. Поэтому пренебрежем фазовым членом в выражении (Е. 1.7) и запишем

Tg = exp{(g0/2){l - [2(со - со0)/Дсо0]2}}.

Не будем также учитывать тот факт, что коэффициент отражения зеркала 1 имеет конечное значение, так как это обстоятельство будет учтено в общих поте­рях резонатора. После второго прохода через активную среду спектральную ам­плитуду импульса нужно вновь умножить на коэффициент пропускания tg, за­данный выражением (Е.1.9). Таким образом, коэффициент пропускания после полного прохода через усилитель будет равен

= (Аза MiJ = exp {(£о){1 - [2(со - со0)/Ао)о]2}}.

Где А3а — спектральная амплитуда импульса после одного полного прохода. Пред­полагая, что g0 1, из последнего уравнения получаем:

А3ю =t§Ala = А1ю(1 + (£о){1-[2(со - «0)/А(й0]2}). (Е.1.10)

При дальнейшем рассмотрении необходимо рассчитывать влияние такого пропускания во временном, а не в частотном представлении. В связи с этим вспом­ним следующее свойство преобразования Фурье (FT):

= [7'(ю-соо)]пА>(ш-соо).

Это соотношение нетрудно доказать, взяв сначала производную л-ого поряд­ка, а затем осуществив преобразование Фурье для обеих частей выражения (Е. 1.3). Соотношение (Е.1.11) показывает, что умножение спектральной амплитуды Аа на к(со - со0)п, где к — постоянная, во временном представлении равнозначно ум­ножению производной п-ото порядка от амплитуды А(£) на (к/]п). Применяя это свойство к каждому слагаемому в правой части уравнения (Е. 1.10), получим:

(Е.1.12)

Где А^) и А3(£) — соответственно амплитуды импульса до и после полного прохо­да через усилитель (см. рис. Е.1). Из соотношения (Е.1.12) легко видеть, что ре­зультат прохода импульса через усиливающую среду можно описать оператором

Полного прохода:

(Е.1.13)

Теперь учтем влияние постоянных потерь в резонаторе, связанных с конеч­ными коэффициентами отражения зеркал и с внутренними потерями. Эти поте­ри схематически представлены на рис. Е.1 в виде прямоугольника в центре. За­пишем амплитуду импульса после одного прохода через резонатор в виде:

А4а) = [ехр(-у/2 )]А3(1), (Е.1.14)

Где у — логарифмические потери мощности за одни проход. Отношение интен­сивностей (/4//3) = (А4/А3)2, согласно соотношению (Е.1.14), равно, как и ожида­лось, величине ехр (-у). Из (Е.1.14) получаем, что пропускание, соответствующее потерям за полный обход резонатора, составляет ехр (-у), что, при у <С 1, прибли­женно равно 1 - у. Это значит, что оператор, соответствующий потерям за пол­ный проход в резонаторе, имеет простой вид:

2}= 1-у. (Е.1.15)

В заключение рассмотрим действие амплитудного модулятора. Пусть ут[1 -

- cos (comf)] — логарифмические потери мощности за один проход. В этом выраже­нии сош — частота модулятора. Она предполагается такой, что период модуляции равен времени полного обхода резонатора импульсом. Тогда амплитудный коэф­фициент пропускания модулятора при одном проходе равен:

= exp{-(ym/2)[l - cos((Bm*)]}.

(Е.1.16)

Пропускание за двойной проход через модулятор составит

4= ехр {-(ут)[1-С08 (С0т*)]},

Что при ут С 1 приближенно равно = 1-(ут)[1-со8(сот£)]. Теперь допустим, что

Импульс проходит через модулятор тогда, когда потери модулятора равны нулю (см. рис. 8.20), т. е. в момент времени £ = 0. Предположим также, что длитель­ность импульса много меньше периода модуляции 2п/(от. При этих допущени­ях пропускание за полный проход можно аппроксимировать выражением =1-(ут/2)(сот£)2- Тогда оператор, соответствующий двойному проходу им­пульса через модулятор, задается простым выражением:

(Е.1.17)

Определив операторы, описывающие эволюцию импульса во времени при двойном проходе через три рассматриваемых элемента резонатора, потребуем, чтобы в стационарном состоянии амплитуда импульса воспроизводилась после полного обхода резонатора. Запишем:

ТтТ, ТеА(П = АУ). (Е.1.18)

Используя выражения, полученные выше для Тт,7}и7^, а затем учитывая условия [#0, у, ут]< 1, получаем следующее дифференциальное уравнение:

(Е.1.19)

Которое является окончательным результатом вычислений. Легко видеть, что это уравнение по форме аналогично уравнению Шредингера для частицы в пара­болической потенциальной яме (гармоническому осциллятору), решения кото­рого хорошо известны. В рассматриваемом случае можно записать:

A(t) = Hn(apt)ex р где Нп — эрмитов полином л-го порядка, а

Причем величина £0 такова, что

1-^ = М(2п + 1). (Е.1.22)

Ёо Ащ

Однако можно показать, что из всех этих решений устойчивым является лишь гауссово решение первого порядка (п = 0).

Выражения (Е.1.21) и (Е.1.22) можно рассматривать как два уравнения с дву­мя неизвестными параметрами (ор и #0. Зная сор, можно найти длительность им­пульса, полученного в результате синхронизации мод. Полная ширина на поло­вине высоты (Е¥НМ) для импульса интенсивности Атр фактически задается вы­ражением Атр = 2[1п2]1/2/сор. Таким образом, из соотношения (Е.1.21) получаем:

Л1/4/ Л1/2

(Е.1.23)

Лтр =

Где т = сош/2я и Ау0 = Аю0/2я. Отметим, что первый сомножитель в правой части выражения (Е.1.23) приблизительно равен 0,45; тогда как второй сомножитель, вследствие возведения в степень 1/4, приблизительно равен единице. Величи­ны Дтр и, следовательно, сор слабо зависят от #0. Пользуясь соотношением (Е. 1.23), получаем следующее приближенное выражение для Атр (см. (8.6.19)): Дтр = 0,45/ (ушДу0)1/2. Из (Е.1.22) находим значение^, полагая п = 0. Заметим, что, в соот­ветствии с соотношением (Е.1.22), оказывается больше у вследствие наличия потерь в модуляторе. Если величина^ найдена, то из соотношения (Е.1) можно определить среднюю интенсивность излучения <I) внутри резонатора, так как ё = = ху, где х = Л7ЛГС = Кр/Крс — величина, при которой происходит превы­

Шение порога. По известным средней интенсивности излучения внутри резонато­ра, длительности и частоте следования импульсов можно найти пиковую интен­сивность лазерного импульса.