ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ЗАВИСИМЫЕ СКОРОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель этого приложения — изложить описание работы лазера на основе ско­ростных уравнений, а также решить эти уравнения для случая генерации в не­прерывном режиме с учетом пространственной неоднородности как скорости на­качки, так и поля в резонаторе. Вследствие такой пространственной неоднород­ности инверсия населенности также оказывается пространственно-зависимой величиной. Во всех рассматриваемых случаях предполагается, что лазер генери­рует излучение одной моды.

Д.1.

ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВЫЙ ЛАЗЕР

В случае идеального четырехуровневого лазера можно пренебречь населенно­стью нижнего лазерного уровня; тогда инверсия населенностей будет равна N = Ы2. Таким образом, можно записать, что

(ДЛЛа)

(ДЛЛб)

Где интеграл в уравнении (Д. 1.1 б) берется по объему активной среды, а все ис­пользованные здесь обозначения пояснены в главе 7. Уравнение (Д. 1.1 а) описы­вает локальный баланс между процессами накачки, вынужденного излучения и спонтанного излучения. Отметим, что в левой части уравнения стоит частная производная, так как ожидается, что величина N изменяется в пространстве. Интегральный член в правой части уравнения (Д.1.16) отвечает за вклад вынуж­денных процессов в полное число фотонов ф в резонаторе. Этот член введен из простых соображений баланса на основании того факта, что в результате каждого акта вынужденного испускания рождается фотон. Для случая плоской волны можно записать, что = аР = а1/Н и I = ср/л, где а — сечение вынужденного излучения, ^ — плотность потока фотонов, I — интенсивность волны, р — объем­ная плотность энергии в активной среде, а п — ее показатель преломления. Из этих выражений получаем соотношение между W и плотностью энергии волны:

(ДЛ.2)

Несмотря на то, что это уравнение было, для простоты, выведено для случая плоской волны, можно легко заметить, что оно, по существу, описывает локаль­ное соотношение между вероятностью перехода и плотностью энергии электро­магнитного поля. Следовательно, оно верно и для более общего случая и, таким образом, может представлять собой соотношение между ¥ и р для поля в резона­торе. В этом случае будем предполагать, что р изменяется как по координате г, так и с течением времени £ (в нестационарном случае), причем зависимость от координаты описывает пространственное распределение поля в моде резонатора. Из уравнений (Д.1.1), с учетом (Д.1.2), получим:

(ДЛ. За)

(Д. 1.36)

Обратите внимание, что, поскольку Ерир изменяются в пространстве (а для нестационарного случая — и во времени), величина N также зависит от коорди­наты, поэтому ее нельзя вынести из-под интеграла в уравнении (Д. 1.36). Заметим также, что соотношение между полным числом фотонов в резонаторе ф и плотно­стью энергии электромагнитной волны описывается выражением

(Д-1.4)

Где интеграл берется по всему объему резонатора. Рассмотрим резонатор дли­ны Ь, в который помещена активная среда длины I с показателем преломления п; допустим также, что перетяжка пучка расположена в активной среде. При этих условиях плотности энергии моды вне активной среды роШ и внутри активной среды р1п будут соответственно иметь вид:

Где м(г) — амплитуда поля, зависящая от обобщенной координаты г, нормиро­ванная на свое максимальное значение (которое она имеет в перетяжке), а пр0 — плотность энергии в перетяжке. Из выражений (Д. 1.4) и (Д. 1.5) получим:

(Д.1.6)

Где первый и второй интегралы берутся соответственно по объему активной сре­ды и по остальному объему резонатора. Вид соотношения (Д. 1.6) подсказывает, что можно определить эффективный объем резонатора V как

(Д-1.7)

А объем V,, моды в активной среде — как

ПРИЛОЖЕНИЯ

Используя соотношения (Д.1.56), (Д.1.6) и (Д.1.7), преобразуем уравнения (Д.1.3)квиду:

Ж = Др_^фЛг|ц|2_^ (Д.1.9а)

Ф. (Д. 1.96)

Что представляет собой конечный результат — пространственно-зависимые ско­ростные уравнения для четырехуровневого лазера.

Теперь решим уравнения (Д. 1.9) для случая непрерывной генерации лазером моды ТЕМ00. Для простоты будем далее полагать, что электромагнитное поле м(г) в резонаторе не зависит от продольной координаты г. При этом пренебрегается изменениями как размера пятна, так и пространственной картины стоячей вол­ны в моде вдоль оси резонатора. Примем также модель «стержня в оболочке», рассмотренную в разделе 6.3.3; благодаря этому можно не учитывать влияние диафрагмирования, связанного с конечным диаметром стержня. При этих пред­положениях запишем следующее простое соотношение для |и(г)|, выполняющее­ся при любом значении продольной координаты г в активной среде и при любом значении радиальной координаты г от 0 до оо:

М = ехр(-(г/ш0)2), (Д.1.10)

Где и)о — размер пятна в перетяжке пучка. Тогда из уравнения (Д. 1.7) имеем:

У=^Ье, (Д.1.11)

Где эквивалентная длина резонатора Ье равна (см. (7.2.11))

Ье = Ь + (п-1)1. (Д.1.12)

Аналогично из (Д. 1.8) получаем:

У*=^1. (Д.1.13)

Находим пороговое условие для инверсии населенностей из (Д. 1.96), полагая (с2ф/<2£) = 0. Определяя усреднение инверсии населенностей по пространству как (см. (7.3.20))

NuYdV NufdV

§и*(1У Уа * (Д. 1.14)

А

Получаем из (Д.1.96) (см. (7.3.19))

/дд _ 1 V у.

Та=^’ (Д.1.15)

При выводе были использованы соотношения (Д.1.11), (Д.1.13) и (7.2.14). Поро­говое условие для скорости накачки можно получить из уравнения (Д. 1.9а), по­лагая (дЛГ/д£) = 0 и ф = 0. Имеем:

Яр(г, г) = ЛГ(г, г)/т. (Д.1.16)

Определим усреднение по пространству скорости накачки <#„) как

|лр и2йУ |лр и2 (IV |и|2ЙУ ^ '

Подставляя соотношение (Д. 1.16) в правую часть выражения (Д. 1.17) и учи­тывая (Д.1.15), получаем:

(Л )с=Ик = Л_.

^ т а/т

Среднюю населенность в стационарном состоянии (А/)о при превышении по­рога можно найти из уравнения (Д.1.96), полагая (<1ф/М) = 0. Отсюда имеем

(Ю0 = (Ы)с = у/Ы. (Д. 1.19)

С другой стороны, число фотонов ф0 в стационарном состоянии получается из уравнения (Д.1.9а) при (дИ/дЬ) = 0. Находим, что

(Д. 1.20)

Далее, выразим ф0 в выражении (Д. 1.20) через мощность на выходе Рои1 с по­мощью соотношения (7.2.18). Тогда уравнение (Д. 1.20) примет вид:

І+%і

•Г«

Здесь используются соотношения (Д.1.11) для объема резонатора и (7.2.14) для времени жизни фотона, а мощность насыщения Рв определяется как (см. (7.3.28))

(Д. 1.22)

Умножая обе части выражения (Д. 1.21) на и2 и интегрируя по объему актив­ной среды, получаем:

(Юо=у-

Здесь используется соотношение (Д. 1.14), а пространственно-усредненная инвер­сия обозначена через (Л/)о> т- к - лазер генерирует в непрерывном режиме. Исполь­зуя соотношения (Д.1.19) и (Д.1.13), из (Д.1.23) получаем:

(Д.1.24)

Для того чтобы продолжить рассмотрение, нужно определить пространствен­ное изменение Нр и выразить его величину через мощность накачки Рр. Это будет сделано ниже для профиля накачки, который имеет либо однородное, либо гаус­сово поперечное распределение.

В случае однородной накачки величина Яр постоянна и задается как для лам­повой, так и для электрической накачки соотношением (см. (6.2.6) и (6.4.26))

<дл'25)

Заметим, что соотношение (Д. 1.25) справедливо только при О ^ г < а, где а — радиус активной среды, в то время как Яр(г) = О при г > а. Отметим также, что согласно рассмотрению в разделе 6.3.3, выражение для диодной лазерной накач­ки с равномерной освещенностью нетрудно получить из соотношения (Д. 1.25) путем замены величины утр (минимальной частоты накачки, см. рис. 6.17) вели­чиной ур (частотой накачивающего диодного лазера). Подставляя выражение (Д. 1.25) в интеграл в (Д. 1.24), получаем:

М

X-

2пгс1г.

(Д.1.26)

Интегрирование вдоль продольной координаты г активной среды в этом вы­ражении уже было выполнено. Теперь введем минимальный порог накачки Ршп и безразмерные переменные х и у, как это было сделано соответственно в соотноше­ниях (7.3.26), (7.3.25) и (7.3.27). Тогда уравнение (Д.1.26) преобразуется в

(Д.1.27)

Здесь было подставлено значение и из выражения (Д. 1.10). Вводя новую пере­менную

*

= ехр(-2(г/и>0)2), интегрируем уравнение (Д.1.27) (сравните с (7.3.30)):

І

І = Гл_= 11п 1±у_]

X Jl + l/t у и + Ы’

Где

Р = ехр(-(а/и>0)2).

В случае гауссова распределения поперечного профиля накачки, который может иметь место, например, при продольной диодной лазерной накачке, соот­ношение между величинами и Рр определяется выражением (6.3.7). Из (Д. 1.24), используя значение и из выражения (Д. 1.10), получаем:

(Д.1.30)

: = Л

(Д.1.31)

Х Іаехр ~[агйг.

Согласно соотношению (6.3.11), второй интеграл в правой части выражения (Д. 1.31) соответствует эффективности поглощения накачки г|а. Определим мини­мальный порог накачки как (см. (7.3.32))

(Д.1.32)

Где цр = — эффективность накачки. Введем также безразмерные перемен­

Ные хну, как это было сделано соответственно в соотношениях (7.3.25) и (7.3.27). Тогда уравнение (Д.1.31) принимает вид

-

2 г2[(ы>§ + ш2р)/1У$1У2р] + уехр -[2г2/и>%]

Вводя переменную £, как в (Д.1.28), и величину 5, как 5 = (ю^/юр)2, упрощаем предыдущее уравнение: 1

+ Уб (Д. 1.34)

Интеграл в уравнении (Д. 1.34) можно вычислить аналитически для целых значений 5. В частности, если 6 = 1, то получаем

~11

~ ^"1п (1 + 1/0

ІУ У

Откуда немедленно следует выражение (7.3.34).

Д.2. КВАЗИТРЕХУРОВНЕВЫЙ ЛАЗЕР

Процедура записи пространственно-зависимых скоростных уравнений для квазитрехуровневого лазера и их решения в случае генерации в непрерывном режиме проводятся таким же образом, как и для четырехуровневого лазера. За­пишем, согласно уравнениям (7.2.19):

(Д.2.1а) (Д.2.16)

(Д.2.1в)

Вероятности вынужденного излучения ТУе и поглощения ¥а в этих уравнени­ях, в соответствии с соотношением (Д. 1.2), могут быть записаны в виде:

¥е=^-р (Д.2.2а)

Е пк

у = —^ р ° пЛу

Где агиоа — соответственно эффективные сечения излучения и поглощения. Вы­полняя преобразования, аналогичные (Д. 1.4)— (Д. 1.8), получаем (сравните с уравнениями (7.2.24)):

^ = #„(! + /)-| и |2 -. (Д.2.3а)

Теперь решим уравнения (Д.2.3) для случая непрерывной генерации лазером моды ТЕМ00. Снова предположив, что величина |и(г)| описывается соотношением (Д. 1.10) при 0 < г < оо, получим выражения (Д. 1.11), (Д. 1.12) и (Д. 1.13) соответ­ственно для V, ЬеиУа. Определим также, в соответствии с выражениями (Д.1.14) и (Д. 1.17), усредненные по пространству величины (ЛГ) и (Др).

Пороговое значение (ЛГ) получается из уравнения (Д.2.36) при условии (с£ф/с^) = 0. Таким образом,

(Юс = у/ае1. (Д.2.4)

Пороговое значение (#р) получается из уравнения (Д.2.За) при условиях (дЛГ/д£) = 0 и ф = 0. Получаем

/ох _/<*.> +<АЪ _«.<**>/ + У

А + /)т -(ае+аа)1г - (Д-2.5)

Средняя населенность устойчивого состояния при превышении накачки над порогом (ЛГ)0 вновь получается из (Д.2.36) при условии (й$/(И) = 0. Имеем:

(ЛГ>0 = <ЛГ>с = у/ае1. (Д.2.6)

Из уравнения (Д.2.За), при условии (5ЛГ/3£) = 0, находим, что

RJl + f)T-fNt

1+ Фе + ст°>тф0 | ц|2’ (Д-2.7)

И число фотонов в стационарном состоянии ф0 вновь оказывается связанным с мощностью на выходе Рои1 соотношением (7.2.18). Далее, выражение (Д.2.7) мож­но преобразовать в

Др(1+т-/Аг« Ш2

N~ i+j/1«'2 ' (Д,2-8)

В этом выражении снова введена переменная у = Pout/Ps, а мощность насыще­ния Ps теперь задается выражением

У9 nwS hv

2~ (ае+ста)т‘ (Д-2.9)

Умножим обе части уравнения (Д.2.8) на и2 и проинтегрируем по объему активной среды. Используя соотношения (Д. 1.13), (Д. 1.14) и (Д.2.6), получим (сравните с (Д.1.24)):

У 2 (Hilt OWN, |Н2.„,

5 ' J-------------- [Г------------------ w'210)

Далее, определим пространственную зависимость величины Rp. Для случая продольной накачки пучком с радиальным гауссовым профилем будем использо­вать соотношение (6.3.7). Подставляя значение и из (Д.1.10), перепишем урав­нение (Д.2.10) в виде

0 0

V D, И-2-11»

-wJT

Р

Д = (и)0/и)р)2. (Д.2.12)

Вновь видим, что интеграл по продольной координате г представляет собой эффективность поглощения т]а, и, предполагая, для простоты, что и)0<а (т. е. Р = 0), получаем из (Д.2.11):

(Д.2.13)

Это уравнение можно решить относительно Рр:

(Л. V _ ^ 7Г1772 I 1

Р, Н

Где В = саИг1/у. Минимальный порог накачки получается из соотношения (6.3.25) при и>0 юр и ааЛГ*/ <С у. Имеем (см. (7.4.16)):

Разделив (Д.2.14) на (Д.2.15), получаем конечный результат (см. выражение (7.4.18)):

1 + в1п(1 + у)

У