ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

КОГЕРЕНТНОСТЬ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Под степенью когерентности Г(1) — понятием, введенным в разделе 11.3, под­разумевается корреляционная функция первого порядка (Е(х1)Е*(х2)) (см. со­отношение (11.3.7)), где введенная для краткости величина хг = (г*, ti) обозначает совокупность одновременно пространственных и временных координат напря­женности электрического поля. Аналогично можно определить величину

Х2, ..., Х2п) = (Е(х1)...Е(хп)Е*(хп + 1 )...Е*(х2п)), (3.1)

Равную произведению 2п сомножителей, которые являются значениями функ­ции Е, определенными в 2п пространственно-временных точках х19 х2, ..., х2п. Соответствующая нормированная величина у(п) может быть тогда введена как

„ г л_(Е(х1)...Е(Хп)Е'(хп+1)—Е*(х2п))

У уХ19Х2,...,Х2п) - 2п 9

Пг(£(^г)£*(^)>1/2 (3‘2)

1

Где П обозначает произведение. Очевидно, что в случае п = 1 эти выражения сво­дятся к соотношениям (11.3.7) и (11.3.8).

Теперь в терминах введенных корреляционных функций высших порядков небходимо определить, что подразумевается под полностью когерентным излуче­нием. Начнем с того, что для волны, полностью когерентной в первом порядке (т. е. такой, для которой |у(1)(д^1, х2) =1), выполняется равенство

Г М(х1,х2) = Е(х1)Е*(х2); ' (3.3)

Таким образом, функция Г(1) должна равняться произведению напряженностей электрических полей в точках хг и х2. Действительно, если флуктуации поля пол­ностью отсутствуют, то усреднения выражений (11.3.7) или (11.3.8) по ансамблю представляют собой просто произведение соответствующих напряженностей. По аналогии можно определить полностью когерентную электромагнитную волну как волну, для которой величина Г(п) равна произведению соответствующих на­пряженностей при любом порядке п. Это означает, что

TOC o "1-5" h z п 2 п

Г (п)(х1,х2,--.,х2п) = УгЕ(хг >П *£*(**). (3.4)

1 п+1

Действительно, если флуктуации поля полностью отсутствуют, то усредне­ние выражения (3.1) по ансамблю снова даст просто произведение соответствую­щих напряженностей. Если теперь подставить соотношение (3.4) в числитель пра­вой части выражения (3.2), то получим, что

*2, .... хгп) = 1 (3.5)

При всех я. Заметим, что для всех практических приложений можно полагать, что излучение лазера, непрерывно генерирующего одну моду в пределах узкой линии, удовлетворяет условию (3.4) при любом п. Действительно, как уже было показано в разделе 11.7, можно считать, что поле такого лазера испытывает только фазовые флуктуации. Однако для лазера, генерирующего в пределах узкой линии, скорость изменения этой фазы должна быть достаточно медленной. Например, для Не-Ме лазера с шириной линии Агь ~ 1 кГц, рассмотренного в разделе 11.8, характерное время изменения фазы равно тсо= 1/Аь = 1 мс. Это означает, что для интервалов времени, много меньших тсо, т. е. для расстояний между поверхностями равной фазы, на которых могут находиться эти 2п пространственно-временных точек, мно­го меньших, чем стС0 = 300 км, флуктуации фазы будут одинаковыми во всех 2п пространственно-временных точках и будут выполняться соотношения (3.4) и (3.5).

Разницу п-го порядка между полностью когерентным излучением, например излучением только что рассмотренного одномодового Не-Ые лазера, и излучени­ем теплового источника легко проиллюстрировать, положив хг = х2 = ... = х2п = х, т. е. рассмотрев корреляции напряженности поля в одной точке в один и тот же момент времени. Корреляционную функцию Г(п)(л:, х, ..., х) можно получить из

Выражения (3.1): гг „

, |в А2прЕ(Е)Ас1Ас1ф

Г(п)=(е2п)=-^г—4--------------------

\рЕ(Е)АйАйф (3.6)

Где амплитуда напряженности поля А=А(х) задается выражением (11.1.1), а рЕ(Ё)— плотность вероятности, введенная в разделе 11.7. В частности, для п = 1 имеем:

ГМ(х, х) = (Е2) = (1) =

В случае когерентного поля для рЕ(Ё) можно использовать выражение (11.7.2). Тогда из соотношения (3.6) получаем, что р(л) =А$п, тогда как из соотношения (3.7) имеем р(1) - ^2; таким образом, можно записать:

Г^х, х,..., х) = [Г«(х, х)]п. (3.8)

С другой стороны, в случае теплового источника света уравнения (3.6) и (3.7), с учетом (11.7.3) для рЕ(Ё), дают:

Г(п)(л;, л:, ..., х) = п1[Г(1)(л:, х)] (3.9)

Для того чтобы получить нормированную функцию когерентности п-го по­рядка у00, используя выражение (3.2), заметим, что знаменатель в его правой части равен [Г(1)(х, я)]". Тогда из соотношений (3.8) и (3.9) получим:

/п)(л:, х, ..., х)= 1 (3.10)

У<п> = п! (3.11)

Соответственно для одномодового лазерного источника и теплового источника. Из соотношения (3.10) очевидно, что лазерное излучение, как уже указывалось, удовлетворяет общему условию когерентности (3.5). В свою очередь, соотноше­ние (3.11) показывает, что тепловой источник удовлетворяет условию когерент­ности только при п = 1, т. е. только в первом порядке. Следовательно, можно, в лучшем случае, добиться того, чтобы излучение теплового источника света обла­дало полной когерентностью первого порядка, т. е. полной пространственной и временной когерентностью, что действительно было показано в разделе 11.8.

[1] Здесь имеется в виду накачка «в лоб». Однако специальные методы позволяют создать инверсию населенностей и в случае двух уровней. — Прим. редактора.

[2] Отметим, что по мере того, как квазитрехуровневый лазер приближается по своим свой­ствам к чисто трехуровневому, предположение о том, что изменение населенности основного уровня за счет процессов накачки пренебрежимо мало, с очевидностью становится несправед­ливым. Отметим также, что в лазерах на основе оптических волокон, в которых при использо­вании диодных лазеров легко достигается очень высокая скорость накачки, основное состоя­ние может быть почти полностью опустошено.

[3] Действительно, длительность интервала т0 на рис. 1.6, в принципе, может быть сделана сколь угодно большой, так что каждая из двух волн, зависимость фазы которых от времени показана на рисунке, будет становиться все более и более монохроматической.