ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ГАУССОВЫ ПУЧКИ И ЗАКОН АВСИ

Распространение гауссова пучка через некоторую среду, которая харак­теризуется АВС£>-матрицей, описывается соотношением (4.7.3) [8]. При за­данной АВС2)-матрице результат зависит только от комплексных парамет­ров ид пучков соответственно на входе и на выходе, так что величина<7, при данной величине непосредственно определяется через матричные эле­

Менты с помощью соотношения (4.7.4). Таким образом, это соотношение яв­ляется единственным, которое необходимо для расчета параметров пучка на выходе. Физический смысл соотношения (4.7.4) легко понять, сравнивая его с соотношением (4.2.19), которое показывает, каким образом оптическая система преобразует радиус кривизны волнового фронта сферической вол­ны. Действительно, как было показано ранее, гауссов пучок можно формаль­но рассматривать как сферическую волну с комплексным радиусом кривиз­ны волнового фронта, а соотношение (4.7.4) показывает, что этот комплекс­ный параметр преобразуется точно так же, как и радиус кривизны волнового фронта сферической волны. Соотношение (4.7.4) — закон АВСБ распростра­нения гауссовых пучков — оказывается, таким образом, очень важным за­коном. Его польза уже была продемонстрирована в разделе 4.7.2 на примере свободного распространения волны. В данном разделе важность этого закона будет показана на более сложных примерах.

-1- =_1 + _к (4.7.22)

42 f Ъ

Используя соотношение (4.7.8) для того, чтобы записать выражения как для 1/<7х, так и Для 1/(72» можно отдельно приравнять действительную и мнимую части формулы (4.7.22), чтобы получить следующие соотношения | между размерами пятна и радиусами кривизны волнового фронта перед и

1 за линзой:

Ьи2==ьи 1, (4.7.23а)

= (4.7.236)

В.2 ^1 /

Теперь, обратясь к рис. 4.18, можно обсудить физический смысл соотно­шений (4.7.23). Рассматривая вначале (4.7.23а), можно сразу заметить, что его физический смысл очевиден, поскольку в случае тонкой линзы рас­пределения амплитуд напряженности поля непосредственно перед и сразу же за линзой должны быть одинаковыми; т. е. размер пятна не может из­мениться скачком (см. рис. 4.18а). Чтобы понять смысл соотношения (4.7.236), рассмотрим вначале распространение обычной сферической вол­ны через ту же самую линзу (рис. 4.186). Здесь сферическая волна, испус­каемая точечным источником Ръ отображается линзой в точку Р2. Радиу­сы кривизны и 112 волнового фронта непосредственно перед и сразу же за линзой должны быть связаны соотношением (4.2.20). Таким образом, мож­но видеть, что сферическая линза преобразует радиус кривизны #1 фронта падающей волны в радиус кривизны Л2 фронта прошедшей волны в соот­ветствии с (4.2.20). Поскольку естественно предполагать, что такое преоб­разование должно происходить независимо от поперечного распределения амплитуды напряженности поля, то следует ожидать, что (4.2.20) должно выполняться также и для гауссовых пучков, что в действительности и по­казывает соотношение (4.7.236).

Пример 4.6. Фокусировка гауссова пучка тонкой линзой. Рассмотрим теперь гауссов пучок с размером пятна ш01 и плоским фронтом, падающий на линзу с фокусным расстоянием / (т. е. перетяжка пучка находится в плоскости линзы). Определим положение перетяжки пучка и соответст­вующий ей размер пятна ьи02 за линзой. Согласно (4.2.4) и (4.2.6), матрица

Комплексный параметр пучка q2 на выходе из такой оптической системы может быть получен из (4.7.21), где параметры А, В, С и D являются эле­ментами матрицы (4.7.24), а параметр 1 /qx определяется соотношением (1/<Zi) = - A/”“701 =-i/zRi> (4.7.25) В котором zRl — длина Рэлея, соответствующая размеру пятна w01. Если теперь координата гт за линзой соответствует положению перетяжки пуч­ка, то, согласно (4.7.8), величина l/q2 в этой точке также должна быть чисто мнимой. Это означает, что действительная часть выражения в пра­вой части (4.7.21) должна быть равна нулю. С помощью соотношений (4.7.24) и (4.7.25) находим, что величина zm определяется соотношением: Zm=//[l + (//zBl)2]. (4.7.26) Таким образом, можно заметить, возможно с некоторым удивлением, что расстояние zm от линзы, на котором пятно имеет минимальный размер, всегда меньше фокусного расстояния /. Отметим, однако, что в типичных условиях выполняется соотношение zRl » /, так что zm « /. Приравнивая мнимые части обеих частей равенства (4.7.21) и снова используя (4.7.24) и (4.7.25) , получим размер пятна w02 в фокальной плоскости: W02=kf/nw01[lHf/zRl)2Y/2. (4.7.27) Снова, при zRl » /, из (4.7.27) получаем, что W02 = kf/nw0l. (4.7.28)