ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВЫЙ ЛАЗЕР

Рассмотрим идеализированную четырехуровневую схему, в которой предполагается только один уровень или полоса накачки (полоса 3 на рис. 7.1), и имеет место быстрый релаксационный переход с этой полосы на верхний лазерный уровень 2, а также быстрая релаксация с нижнего ла­зерного уровня 1 на основной уровень. Данное рассмотрение остается в силе, даже если предположить наличие более чем одной полосы или уровня на­качки, при условии, что релаксация с этих полос на верхний лазерный уровень оказывается такой же быстрой. В этом случае можно принять сле­дующее приближение для населенностей нижнего лазерного уровня и уров­ня (уровней) накачки: = ЛГ3 = 0. Таким образом, мы имеем дело только с

Двумя населенностями, а именно — населенностью И2 верхнего лазерно­го уровня и населенностью Иё основ­ного уровня. Предположим, что в ла­зере генерируется только одна мода резонатора, и пусть ф обозначает об­щее число фотонов в резонаторе.

Для начала рассмотрим случай про­странственно-независимых скорост­ных уравнений, предполагая, что ла­зер генерирует только на одной моде резонатора и что энергия накачки и плотность энергии моды распределе­ны однородно внутри активной среды. Что касается плотности энергии моды, данное предположение подразумевает однородность поперечного профиля моды, и в этом случае влиянием поведения стоячей волны данной моды мож­но пренебречь. Собственно говоря, данное утверждение применимо лишь к однонаправленным кольцевым резонаторам с равномерным поперечным про­филем луча, где накачка однородно распределена в активной среде, что яв­ляется весьма частным и упрощенным решением. Тем не менее, этот случай позволяет нам понять основные принципы работы лазера. Ниже, в рамках данной главы, будут рассмотрены особенности, связанные с пространствен­ной зависимостью накачки и распределения моды.

Для пространственно-независимого случая можно записать следующие уравнения:

№2/<Н) = Лр - БфАГ2 - (АГ2/т), (7.2.1а)

Щ/сН) = УаВт2 ~ (ФАе). (7.2.16)

В уравнении (7.2.1а) слагаемое Яр, характеризующее накачку (см. урав­нение 1.3.1), выводится из предположения о том, что уменьшение населен­ности основного уровня происходит незначительно. Точные выражения для скорости накачки Щ были получены в главе 6 для случаев как оптической, так и электрической накачки.

Слагаемое БфЛГ2 в уравнении (7.2.1а) соответствует вынужденному излу­чению. Вероятность вынужденного излучения как уже было показано в главах 2 и 3, действительно пропорциональна квадрату напряженности элек­трического поля электромагнитной волны, и, следовательно, Ж может быть также пропорциональна величине ф. Таким образом, коэффициент В можно рассматривать как вероятность вынужденного перехода на один фотон для одной моды. Величина т представляет собой время жизни верхнего лазерно­го уровня, при этом необходимо принимать во внимание как излучательные, так и безызлучательные процессы [см. уравнение (2.6.18)]. Необходимо отме­тить, что верхний лазерный уровень зачастую состоит из комбинации несколь­ких сильно связанных подуровней. В этом случае время жизни т подразумева­ет эффективное время жизни верхнего уровня, с учетом времени жизни всех подуровней возбужденного состояния с весом, пропорциональным населенно­сти соответствующего подуровня [см. выражение 2.7.19в]. В уравнении (7.2.16) слагаемое УаВ$Ы2 соответствует скорости увеличения числа фотонов вследст­вие вынужденного излучения и определяется простым уравновешивающим ] аргументом. По сути, слагаемое БфЛГ2 в уравнении (7.2.1а) определяет ско­рость уменьшения населенности вследствие вынужденного излучения. По - I скольку в результате каждого акта вынужденного излучения рождается фо - тон, скорость увеличения числа фотонов должна определяться как УаВ^2з I где Уа — объем, занимаемый модой внутри активной среды. И наконец, ела - ! гаемое ф/тс, где тс — время жизни фотона (см. раздел 5.3), учитывает умешг ] шение числа фотонов, связанное с потерями в резонаторе.

Прежде чем продолжить дальнейшее рассмотрение, следует заметить, что 1 уравнение (7.2.16) не содержит слагаемого, учитывающего спонтанное излу - I чение. И поскольку, как уже отмечалось в главе 1, генерация возникает за 1 счет спонтанного излучения, следует ожидать, что уравнения (7.2.1) не дают ] правильного описания момента возникновения лазерной генерации. Вса - I мом деле, если предположить, что в момент времени £ = 0 в правой части 3 уравнения (7.2.16) параметр ф = 0, то получим (<1§/<И) = 0, и в этом случае ] генерация не может возникнуть. Чтобы учесть спонтанное излучение, мож­но попытаться вновь использовать условие баланса, начав рассмотрение с I члена А/^2/тг, входящего в слагаемое ЛГ2/т уравнения (7.2.1а), гдетг — излуча - ] тельное время жизни уровня 2. Можно затем предположить, что в уравне- ] нии (7.2.16) слагаемое, отвечающее за спонтанное излучение, записывается;! в виде ^а(АГ2/тг); однако это было бы неправильно. В действительности, кая] было показано в главах 2 и 3, спонтанное излучение охватывает весь частот­ный диапазон, соответствующий ширине линии усиления лазера, и, таким образом, излучение распространяется в пределах всего телесного угла, рав­ного 4п. Однако в уравнении (7.2.16) член, учитывающий спонтанное излу­чение, должен включать в себя лишь ту долю этого излучения, которая дает вклад в рассматриваемую моду (т. е. которая излучается в том же угловом направлении и в той же спектральной полосе, что и сама мода). Правильное выражение для этого члена можно вывести только исходя из квантово-меха - нического рассмотрения взаимодействия излучения со средой в резонаторе. Получаемый результат является простым и весьма поучительным [4]: в слу­чае квантово-электродинамического подхода уравнение (7.2.16) преобразу­ется к виду:

(с*ф/Л) = УаВ(ф + 1)ЛГ2 - (ф/тс). (7.2.2)

Это выглядит так, как если бы мы добавили «дополнительный фотон» к слагаемому, отвечающему за вынужденное излучение. Однако при генера­ции лазерного излучения (вблизи порога генерации) число фотонов в резона­торе может изменяться от Ю10до 1016 для непрерывного лазера (см. пример 7.1) и много больше для импульсных лазеров. Таким образом, при дальнейшем анализе мы не будем включать такой дополнительный член, отвечающий за спонтанное излучение, а вместо этого предположим, что в начальный момент времени в резонаторе уже присутствует некоторое небольшое число фотоно - в ф*, например ф* = 1, что является достаточным для возникновения лазерной генерации.

Теперь уделим внимание выводу точных выражений для параметра Б, который представляет собой коэффициент вынужденного излучения на один фотон в моде и который входит в оба уравнения (7.2.1а, б). Теперь рассмот­рим резонатор длиной Ь, в котором находится активная среда длиной I, с показателем преломления п. Поскольку мы рассматриваем распространение бегущей волны в резонаторе, предположим, что I — интенсивность этой вол­ны в заданной точке резонатора в момент времени £ = 0. Интенсивность/', рассмотренная в разделе 1.2, имеет после полного прохода резонатора сле­дующий вид: Г = I х Н1Н2(1 - 1^)2ехр(2аЛТ21), где и Я2 — коэффициенты отражения зеркал, Ьг — коэффициент внутренних потерь в резонаторе за один проход; таким образом, величина (1 -1^)2 представляет собой пропус­кание резонатора за полный проход, а величина ехр(2аА^2/) — усиление ак­тивной среды за полный проход. Важно отметить, что в случае, если верхний лазерный уровень является вырожденным или состоит из нескольких силь­носвязанных подуровней, следует использовать эффективное значение сече­ния перехода, как это уже было показано в разделе 2.7. Запишем выражения для ^и^в виде: /?1 = 1- А1-Т1иЕ2 = 1~а2- Т2, где Тх и Т2 — коэффици­енты пропускания зеркал по мощности, а1иа2 — соответствующие относи­тельные коэффициенты потерь на зеркалах. Тогда изменение интенсивно­сти А/ = Г -1 за полный проход резонатора запишется в виде:

А/ = [(1 - ах - Тг)(1 - а2- Т2)( 1 - Ь,)2ехр(2аЫ21) - 1]/. (7.2.3)

Предположим теперь, что потери на обоих зеркалах одинаковы (ах=а2 = а) и столь малы, что можно записать (1 - а - 7) ~ (1 - а)( 1 - Тх) и (1 - а - Т2) * « (1 - а)( 1 - Т2). Тогда выражение (7.2.3), очевидно, преобразуется к виду:

Л/ = [(1 - Г,)(1 - Г2)( 1 - а)Ч1 -^)ехр(2стад - 1]/. (7.2.4)

Прежде чем продолжить рассуждение, было бы удобно ввести новые ве­личины у (см. раздел 1.2), которые могут быть представлены как логариф­мические потери за проход, а именно [по аналогии с выражением (1.2.4)]:

7г = —1п(1 - Т|), (7.2.5)

У2 = -1п(1 - Т2), (7.2.6)

У, = -[1п(1-в) + 1п(1-£()]. (7.2.7)

Как уже указывалось в разделе 1.2, ух иу2 представляют логарифмиче­ские потери за проход, обусловленные пропусканием зеркал, а у/ — внутрен­ние логарифмические потери за проход. Для краткости будем называть ух и у2 потерями на зеркалах, а у* — внутренними потерями. Запись с помощью логарифмических потерь является более удобной для представления лазер­ных потерь, в силу экспоненциального характера процесса лазерного уси­ления. Следует заметить, что для небольших значений пропускания имеем у = -1п (1 - Т) « Т. Более того, для очень маленьких значений а и Ьь из урав­нения (7.2.7) имеем уг« а + Ьг, таким образом, величина у действительно пред­ставляет вклады потерь в резонаторе. Нетрудно видеть, что рассмотренное выше приближение справедливо только для малых значений потерь в резо­наторе или для малых значений пропускания зеркал. Например, если поло­жить, что Т = 0,1, то получим у = 0,104, т. е. у« Т; тогда как для Т = 0,5 име­ем у = 0,695. С помощью выражений, описывающих вклады логарифмиче­ских потерь, можно определить полные логарифмические потери у за проход:

У = Уг + Е(У1 + Уг)/2]. (7.2.8)

Теперь подставим выражения (7.2.5)-(7.2.8) в (7.2.4) и введем дополни­тельное условие:

[аЛГ2/-у]<1. (7.2.9)

Далее, раскладывая экспоненциальную функцию в выражении (7.2.4) в степенной ряд, запишем:

Д/ = 2[аАу-у]7. (7.2.10)

Разделим теперь обе части этого выражения на интервал времени Л£, за который световая волна совершает полный проход резонатора, т. е. на величи* ну Л£ = 2Ье/с, где Ье — длина оптического пути, определяемая выражением:

Ье = Ь + (п-1)1. (7.2.11)

Если принять приближенно Д//Л£ « й1/(Иу то получим:

_Ус]7 (7.2.12)

<Н Ье 2 Ье ’

Поскольку число фотонов ф в резонаторе пропорционально интенсивно­сти /, сравнивая уравнения (7.2.12) с (7.2.16), получаем:

(7.2.14)

Где величина V называется эффективным объемом моды в резонаторе и опре­деляется как

У=(Ье/1)Уа. (7.2.15)

Считается, что диаметр моды не зависит от продольной координаты резонатора. Заметим, что формула (7.2.14) обобщает полученное в разде­ле 5.3 выражение для времени жизни фотона. Следует также заметить, что если верхний лазерный уровень состоит из нескольких сильносвязанных подуровней, и если N2 представляет собой полную населенность верхнего лазерного уровня, то согласно рассуждениям, приведенным в разделе 2.7.2, сечение перехода о, входящее в выражение (7.2.13), можно считать как эффективное сечение перехода, то есть реальное сечение, умноженное на долю населенности верхнего подуровня, с которого возникает лазерная ге­нерация.

Для полученных ранее точных выражений для В и тс, принимая справед­ливость рассмотренных выше приближений, уравнения (7.2.1) описывают как установившееся, так и динамическое поведение четырехуровневого ла­зера. Для простоты введем величину N = N2 ~ N1 = Д^2, описывающую инвер­сию населенности. Из уравнения (7.2.1) получаем:

(7.2.16а)

(7.2.166)

Эти уравнения, совместно с выражениями для В, тс и Уа (выражения (7.2.13)-(7.2.15) соответственно), описывают как непрерывный, так и не­стационарный режимы работы четырехуровневого лазера.

Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению, сделаем несколько замечаний применительно к уравнениям (7.2.16). Во-первых, как мы уже указывали вначале, результаты справедливы только для случая, когда энер­гия накачки и плотность энергии моды распределены однородно внутри ак­тивной среды. Данное утверждение приводит к достаточно жестким ограни­чениям в плане применимости рассматриваемых уравнений. Однако резуль­таты, полученные в рамках этой упрощенной модели, являются весьма полезными для понимания основных принципов работы лазера. Более того, по крайней мере, для непрерывного режима работы лазера гораздо более сложные пространственно-зависимые уравнения приводят к аналогичным результатам, обоснованность которых объясняется путем сравнение с резуль­татами пространственно-независимой модели.

Во-вторых, необходимо отметить, что рассматриваемая здесь модель ско­ростных уравнений применима лишь в случае одномодовой генерации лазера. Действительно, для п генерирующих мод мы должны записать 2п дифферен­циальных уравнений, как для амплитуды, так и фазы поля рассматриваемых

Мод, для того чтобы учесть вклад каждой из них. В самом деле, при определен - ^ ных условиях синхронизации между фазами различных мод может возник­нуть эффект синхронизации мод, рассматриваемый в главе 8, который не мо­жет быть описан только в рамках модели скоростных уравнений. Однако ко­гда в лазере генерируется большое число мод, фазы которых могут быть 1 произвольными, можно в первом приближении считать суммарную интенсив - | ность пучка как сумму интенсивностей всех мод. Таким образом, для однород - ] ного поперечного профиля накачки необходимо иметь однородный профиль | всего пучка, образованный суперпозицией различных генерирующих мод. | Следовательно, в случае генерации многих мод с различными продольными распределениями, суммарная плотность энергии не обязательно будет иметь четкую пространственную картину, характерную для стоячей волны. В этом I случае ситуация может быть значительно упрощена путем рассмотрения только одного скоростного уравнения для полного числа фотонов ф, просуммирован­ного по всем модам; и, таким образом, уравнения (7.2.16) могут все еще быть применимы в приближенной форме.

В-третьих, необходимо отметить, что в выражении (7.2.3) по умолчанию предполагалось, что во время лазерной генерации инверсия населенности не зависит от продольной координаты г. На самом деле, при больших значениях усиления оба встречных пучка в резонаторе показывают сильную зависимость от координаты 2, так же как и инверсия населенности. При таких условиях режим работы лазера следует трактовать, основываясь на рассмотрении «про­ход за проходом», впервые предложенным Ригродом (так называемый анализ Ригрода) [5]. Однако в случае непрерывного лазера, когда можно применить формулу (7.2.9), выражение для выходной мощности, полученное Ригро­дом, совпадает с полученным здесь результатом, если при этом использовать более простой подход при определении параметра у. С другой стороны, для импульсного лазера выражение (7.2.9) применимо только при небольших значениях превышения накачки над порогом. В противном случае мы не можем использовать уравнения (7.2.16) и для описания режимов работы ла­зера должны использовать рассмотрение Ригрода [5].

Четвертое, и возможно наиболее серьезное, замечание касается того, что < уравнения (7.2.16) не применимы в случае неоднородно уширенной линии. Для понимания этого момента рассмотрим неоднородно уширенный переход (исключая доплеровский механизм уширения) и предположим, что лазер генерирует на одной частоте. Лазерный пучок взаимодействует только с теми атомами, чьи резонансные частоты совпадают с частотой генерации лазера, и в случае большой интенсивности пучка контур линии усиления при насьг щении будет иметь провал на этой частоте (как показано на рис. 2.22 для контура поглощения). Очевидно, что в этом случае исходное выражение' (7.2.3), которое мы использовали в качестве отправной точки при анализе лазерного усиления и в котором величина Ы2 описывала полную населен- | ность верхнего уровня, больше не является корректным. Ситуация значи - | тельно усложняется в случае неоднородного доплеровского уширения, ПО“ 1 скольку если лазер генерирует на частоте значительно удаленной от цен* 1 тральной частоты перехода, то пучки, распространяющиеся вправо и влево, Я
будут взаимодействовать с разными группами атомов или молекул. Особен­ности неоднородно уширенных переходов для непрерывных лазеров были отдельно рассмотрены Касперсоном [6]; результаты его исследований значи­тельно отличались от результатов, полученных из уравнений (7.2.16).

В рамках ограничений, рассмотренных в предыдущих разделах, при опи­сании режимов работы лазера следует считать уравнения (7.2.16) корректны­ми в первом порядке приближения. После чего необходимо решать эти урав­нения, учитывая соответствующие условия и ограничения, определяемые той или иной задачей. Таким образом, для описания режимов работы непрерыв­ного лазера, в рамках данного раздела, приравняем нулю производные по вре­мени в уравнениях (7.2.16). Для описания переходных или динамических ре­жимов работы лазера необходимо принять условие Rp = Rp(t), а также опреде­лить начальные условия. Например, если накачка осуществляется с момента времени t = 0, то начальные условия имеют вид ЛГ(О) = 0 и ф(0) = ф*, где ф* — минимальное начальное число фотонов в резонаторе, необходимых для ини­циации спонтанного излучения (например, ф7 = 1). Данный вопрос будет рас­смотрен более подробно в следующей главе. Для обоих режимов работы, как непрерывного, так и динамического, величины ф или ф(0 известны; таким об­разом, можно здесь рассчитать мощность излучения на выходе одного из зер­кал резонатора. Действительно, исходя из выражений (7.2.14) и (7.2.8) можно записать следующее:

1 = УгС У ic у2с

Тс Le 2Le 2Ье' (7.2.17)

Если теперь подставить это выражение в правую часть уравнения (7.2.166), нетрудно видеть, что слагаемое (у2с/2Ье)ф определяет коэффициент потерь фотонов в резонаторе при прохождении излучения через зеркало 2. Таким образом, имеем:

Р -

Х out

В конечном итоге, решение уравнений (7.2.16) позволяет не только рас­считать режим работы лазера, но и определить, используя выражение (7.2.18), такой важный параметр, как выходную мощность. Если выходная мощность известна, выражение (7.2.18) может быть использовано для определения об­щего числа фотонов в резонаторе, как это показано в примере 7.1.

Пример 7.1. Вычисление числа фотонов в резонаторе для случая непре­рывного лазера. В качестве первого примера рассмотрим маломощный Не - Ке лазер с длиной трубки 50 см, генерирующий на длине волны 630 нм, выходная мощность излучения 10 мВт. Для такого лазера с низким усиле­нием можно взять коэффициент пропускания выходного зеркала Т2 = 1%, так что у2 = -1п(1 - Т2) ж 0,01. Из уравнения (7.2.18) получаем число фото­нов ф ~ 1,06 ■ Ю10. В качестве второго примера рассмотрим мощный (10 кВт) С02 лазер, с большим коэффициентом усиления, генерирующий на длине волны 10,6 мкм. Возьмем резонатор длиной Ье = 150 см и коэффициент про­пускания выходного зеркала для такого лазера Т2 = 45%. В этом случае по­лучаем у2 = -1п(1 - Т2) ~ 0,598 и из выражения (7.2.18) находим ф« 0,9 • 1016.