ПРИМЕНЕНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА МАШИНОСТРОЕНИИ

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРЕССОВ

В статье рассмотрены задачи о расчете плоского элемента, имеющего форму кругового сектора, загруженного краевыми на­грузками, и сплошного кругового цилиндра, загруженного осесим - метричной нагрузкой. Эти задачи имеют между собой некоторое сходство, поэтому для их решения применен единый метод.

Решение задач проведено приближенным способом на основе вариационного принципа Кастильяно, разработанного примени­тельно к рассматриваемому классу задач Тимошенко С. П. [16], Папковичем П. Ф. [1], Филоненко-Бородичом М. М. [3], [4].

Вариационный метод расчета сплошных и полых цилиндров с использованием уравнения Кастильяно подробно разработан Бидерманом В. Л. В статье сделана попытка подобрать такие функции напряжений, которые удовлетворяли бы однородным статическим условиям на торцах при загружении боковой поверх­ности цилиндра и, наоборот,:

Ставя своей целью проиллюстрировать метод, мы не стреми­лись достигнуть большой точности результатов. расчета. и. огра­ничились только первыми приближениями. Однако, как показано в работе, даже первые приближения для основных группы усилий дают вполне "удовлетворительные результаты/ - ~ - ~

Плоская задача секториального профиля

(1)

Основные уравнения и подбор функции напряжений. Рассма­тривая условия равновесия элемента ABCD (фиг. 1), получим уравнения

J. ,._?.S. 0.

R дер ' дг ' г...

Положительные направления усилий и координат показаны на фиг. 1.

Если компоненты усилий выразить через функцию напряжения Эйри при помощи формул

TOC \o "1-3" \h \z г —_L UL. т д2р

1 1 ~ г2 ' 0фа + г ' дг ' дг2

• (2)

„ _______ 1 d2F, J_ dF_

Г дг-оф г2 йф '

То уравнения равновесия (1) будут удовлетворяться при произ­вольном выборе функции F (г, ф). Однако произвол в выборе

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРЕССОВ

Фиг. 1. К выводу уравнений равновесия в полярной системе координат.

Чу м ildr

5 + Гг ИТ г

Г)' дг

F (г, ф) ограничивается подчинением последней условию совмест­ности деформаций.

(3)

Будем искать решение системы уравнений (1) в виде

Ті = Ті + ТІ Т2 - ТІ + Т%,

(4)

Є

0<е< 1

S = s° + sK,

Где Ті, Тг, 5° — решения, дающие нулевые значения на контуре; Ті, Т$, SK — решения неоднородной системы уравнений, удовлетворяющие только заданным контурным условиям. Введем безразмерную координату
й перепишем выражения (2) в новой независимой переменной

Г____ d*F 1 dF

;і"г02е2'йфа + r*Q ' dQ '

TOC \o "1-3" \h \z 5==_____ 1 d2F. 1 dF (5)

Функцию напряжений представим также в виде двух слагаемых

F(Q, ср) = Ле. ф) + ^(Є - Ф). (6)

Каждое из которых будем рассматривать в виде

Р(е, Ф) = 2аиАт(е)Фт(<р); (7)

FK(Q, = (е)Фк(ф). (8)

Где т, п = 1,2,3,..., amrt — параметры, подлежащие определению.

R __ 1 d2F rl ee«'

Подставляя І70 из уравнения (7) в выражение (5) и требуя выполнения нулевых значений на контуре, т. е.

R,

От Фоп) = 0

Ф = 0. »

Ф = а

Є-0, е = 1

6=0 6 = 1'

1

11 = —

Г0

(9) (10)

(П)

" ^^ amnRom®on — 0

Т-,0

I 2 :

R„

Rom лтп I „2

Фоп=0

Ф = 0, ф = а,

Нетрудно подобрать функции Rom и Ф0„, удовлетворяющие усло­виям (10).

Примем, например,

, ,\2 3m

(12) (13)

Ro

(е —І) е ;

Ф(,„ = (а-ф)2ф2"-

Отсюда функция F° (q, ф) может быть представлена в виде

Ґ (д, ф) = 2 amnRomOon - 2 атп (q - I)2 е3т (а - ф)2 <?2п, (14)

Где т, п = 1, 2, 3, ...

Подставляя в выражения (5) значения FK (q, ф) из (8), получим

R

1

(15)

(16)

Ті =

(17) 317

RK

,2 \ Q* 1 Q

71 - Л

Rk RK

Функций RK (0) и Фк (ф), как указывалось ьыше, удовле­творяют только контурным условиям и, следовательно, для каж­дого частного вида нагружения подбираются самостоятельно.

Рассмотрим случаи загружения по контуру. При этом примем, что нагрузка симметрична относительно оси ординат (фиг. 2, а и б). При q = 1

TOC \o "1-3" \h \z 7? = - р(<р); (18)

= 0, (19)

А при ф = 0 и Ф = а

71 = -<7 (Q); (20)

SK = 0. (21)

Из уравнений (15) и (16), учитывая соответственно условия (18) и (19), получаем

ЯИ1)Фк + /М1)Ф«--гор(ф); • (22) [fl«(l)-/Ml)]<& = 0. (23)

Положив в условии (23) Фк=0, из формулы (22) находим, что

Г2

Фк =--------- Л - р (<Р) = const. (24)

RKW

Из уравнения (16) получаем

= \^(Q)dQdQ. (25)

Таким образом, при равенстве нулю сдвигающих усилий по всему контуру, нагрузка по криволинейной части контура может быть только постоянной. Уравновешивающая ее нагрузка, распре­деленная на прямолинейной части контура, может быть задана про­извольно. И затем, как видно из уравнений (15)—(17) при R = = R (q) и при Ф = Ф (ф) следует, что для подбора R и Ф весь контур должен быть нагружен.

Если же самоуравновешенная нагрузка распределена только на прямолинейной части контура, а сдвигающие усилия по всему контуру равны нулю, можно положить, что

Фк (ф) = const = 1,

Ті е., что

FK = R(Q). (26)

Выражения (15)—(17) примут вид

T1 = \R'k-, (27)

71 = 4^; (28)

Г1

SK = 0. (29)

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРЕССОВ

Фиг. 2. Эрюры усилий в полудиске при равномерно распределенной нагрузке по криволинейному контуру и нагрузке, распределенной по прямолинейной части контура:

6)

А — по закону (q) = kq4; б —по закону q (q) = к cos» Щ - (где к опреде­ляется нз условия равновесия системы).

Положим, например, что прямолинейная часть контура на­гружена нормальной самоуравновешенной нагрузкой

Q (q) — (/„costcq, (ЗО-)

Т. е., что

Тк2 = -\RK = ^осоэяд; (31)

Го

Отсюда находим, что

' 1 2

RK = — qoro sin яд; (32)

RK = — cos n6 • (33)

Подставляя RK из выражения (32) в формулу (27),' нетрудно убедиться, что криволинейный контур свободен от нагрузки.

Самоуравновешенная нагрузка, распределенная на прямо­линейном контуре вида

?(е) = ?о(5е4-1). (34)

Также обеспечивает криволинейный контур незагруженным. В этом легко убедиться, проделав изложенные выше выкладки.

Уравнения равновесия (1) также будут удовлетворяться, если выразить усилия Ті, Г2 и S с помощью функции напряжения Ф = ф (б. ф); по таким формулам

~ г аТ^дф + к >

«—Д.- <37>

Как и прежде, будем полагать, что

Ф) = - Р(в)®(ф). (38)

Введя новую переменную q и учитывая выражения (38), фор­мулы (35)—(37) перепишем в виде

7\ = (я©'" + 2Рв' + J qP" dQ) ; (39)

; T, = ^(qP" + 2P')-, (40)

I о

5 = — — Р'в". (41)

Rt>

Полагая, что Pom = Rom и воп = Ф0;1 [см. формулы (12) и (13) ], рассмотрим здесь только функции Рк и ©к, т. е. функции, 320
удовлетворяющие контурным условиям. Примем при этом, что самоуравновешенной нормальной контурной нагрузкой нагружен только криволинейный контур. Сдвигающие усилия SK по всему контуру равны нулю. В этом случае можно положить Рк= const = = 1, т. е., что

¥К = ©К(Ф). (42)

Отсюда выражения (,39)—(41) примут вид

П = ^(©; + 2©;)|е = 1;

Тг = 01 ф=о 0 | q = 1, Ф = 0, ф = а. (43)

<р=а

Пусть по криволинейной части контура профиля распределена самоуравновешенная нормальная нагрузка

Р =~ Р (ф). (44)

Т. е., что

П=-^(©; + 2©;) = р(ф). (45)

Отсюда ©к (ф) определится как частный интеграл неоднород­ного дифференциального уравнения

©«+2©; = р(ф). (46)

Таким образом, функция напряжений F (q, ф) позволяет удов­летворить контурным условиям, когда криволинейная часть кон­тура нагружена постоянной нагрузкой или вовсе ненагружена. Прямолинейную же часть контура возможно нагрузить произ­вольной нагрузкой.

С помощью функции ^ (q, ф) есть возможность нагрузить криволинейный контур произвольной нагрузкой.

Отсюда путем наложения напряжений, определенных с по­мощью функций F (е, ф) и ^ (q, ф), можно получить ряд решений задачи при различных распределениях нагрузки по контуру про­филя.

Уравнение Кастильяно. Выпишем значения усилий 7\, Т2, S, выражая их, например, через функцию F (q, ф):

(47)

TI = jr 2а™ + ф") +

Т2 — - у 2 AmnRom®o

1 v п \ ^от і ф' j чк

Тт^М"?----------- г)Фоп + 3 '

Эти усилия подобраны так, что удовлетворяют уравне­ниям равновесия (1) и граничным условиям, но не удовлетворяют

21 Сборник 1835 321
уравнениям совместности деформаций. Для удовлетворения пос­ледним воспользуемся вариационным уравнением Кастильяно

V = ~2ШГ 11 + — 2v7\T2 + 2(1 — v) S2]r-dr-d(f>, (48)

Где Е — модуль упругости; v — коэффициент Пуассона; h — толщина профиля.

Усилия, удовлетворяющие и уравнениям равновесия и уравне­ниям неразрывности деформации, реализуют минимум V. Внося значения Тъ Т2, S из уравнений (47) в условие

Rk

Фк R,

Е; і.

(54)

Нетрудно убедиться, что правая часть выражения (52) равна нулю; отсюда и а = 0. Напряженное состояние профиля опишется формулами

1 Rk

Ф

Г0

4-я>к=4-|

Ч> 'о

S = 0.

(55)

(56)

-р'о =-р;

Пример 2. Рассмотрим случай загружения, когда по криволинейной части контура приложена постоянная равномерно распределенная нагрузка, а по прямолинейной — уравновешивающая ее нагрузка, распределенная по параболе четвертой степени (фиг. 2, а), т. е.

Фк = —рлд = const;

Ф;=Ф;=о;

9(Є) = /гЄ4.

Коэффициент k определим из условия равновесия

1

1

K — —5 р.

—р — k | Q* dQ

Откуда 21*

Таким образом,

Q (е) = —5р Q4; ЈK = 5jjY. rfe. rfe; RK = 5jQ4rfg = Q5; ^ = 5Є4.

Вычислив для рассматриваемого случая правую часть уравнения (52), по­лучим

(57)

—0,38094-0,0333я5р^.

Отсюда [см. формулу (53)]

0,38094-О, ОЗЗЗя6 , . _, а = 0,0474939л5 рГо = °'2637^' о,

И напряженное состояние профиля опишется следующими формулами:

Ф і і ф" і

К

R„

Ф

О ' П2 к '

= р (0,2637q (q - 1) [2 (Q - 1) (я2 — бяф + 6ф2) + (5е — 3) (я - Ф)2 ф2] - е4};

(58)

Т2 = 4" ИоФ0 + = Р [0,5274q (10е2 _ 12q + 3) (я - Ф)2 Ф2 - 5е4];

(59)

Rn

Ro

Ф0 =

-р [1,0548е (е — 1) (2q — 1) ф (я — ф) (я — 2ф)].

Распределение напряжений показано на рис. 2, а, где'принято р = 1. Пример 3. Криволинейная часть контура нагружена постоянной равно­мерно распределенной нагрузкой, а прямолинейная — уравновешивающей на­грузкой, распределенной по закону (см. фиг. 2, б)

Яд _

35 128

Р;

' + cos яд \ 4

Q (q) = k cos8

Коэффициент k, как и прежде, определим из условия равновесия і

Р = k J cos8 dq

Следовательно,

128

(60)

35

Яд

128 f g яе, 8 / 35 8 .

K = ~35~~ J 008 "rrfe = "35-^6 + —з. пяе

+ 1ЇГ sin 2ле - sinS яе + - Щ-sin 4яе);

128 8 л£> 8 /", , . _ 2 |j3 , 4 \

/?к = —gg - COS —= - gg - (1+4 COS яе + 6 cos + 4 cos яе - t - cos яе) =

G

= - gg-(l - f cosng)4;

Фк остается прежней (см. примеры 1 и 2).

Выполняя аналогичные вычисления [(только правой части уравнения (52)], получим

0,0333-3,26676лэ 2 0,1087 2 „,„„ 2 ,,,,

0 = - 0,0474939л5 ^ = "^Г ^ = 0-2319рло. (61)

Усилия определятся по формулам Тг = р |o,2319q (е - 1) [2 (е — 1) (я2 -- бяф + бф2) + (5q - 3) (я - ф)2 ф2j —

8 / 35 I 8 ■ , 7 ■ О 4 9 1 ■ А \)

~ Ж [т + ^5Ш Яе +5Ш 2яе - w5Ш е + "^ёsm е Л;

(62)

Г2 = р |"o,4638g (IOq2 — 12е + 3) (я — ф)2ф2 _ — (1 + cos ne)4J ; (63) S ■= —р [0,4638-2q (є — 1) (2q — 1) ф (я — ф) (я — 2<р)]. (64)

Распределение напряжений в профиле показано на фиг. 2, б, где принято р = 1.

Выводы

1. Усилия Ту и Т2 с достаточной точностью могут определяться по приведенным формулам, т. е. в первом приближении; что касается сдвигающего усилия S, то потребуется, очевидно, взять второе приближение.

2. Приведенным в статье методом возможно рассчитывать профили, мало отклоняющиеся от круга, например очерченные по параболе четвертой степени.

ПРИМЕНЕНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА МАШИНОСТРОЕНИИ

ЭКСПРИМ ЕН ГА ЛЬ НОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СТАНИН ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ДЛЯ КУЗНЕ ЧНО-ПРЕССОВЫХ МАШИН И ДРУГОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Для кузнечно-прессовых машин с базовыми деталями из желе­зобетона в ряде случаев станины целесообразно выполнять в виде пустотелого цилиндра с толстыми днищами, изготовленного из железобетона с напрягаемой арматурой. При этом усилие …

Уточнение расчетных формул для определения меридиональных напряжений на основе использования решения Ламе

Анализ выражения (2) для коэффициента К, учитывающего отличие напряженного состояния тора от напряженного состоя­ния цилиндра, показывает, что величина его зависит от соотно­шения между радиусом меридионального сечения оболочки q 460 И …

Расчет осесимметрично загруженного сплошного цилиндра конечной длины

Уравнения равновесия. Рассмотрим тело вращения — круго­вой сплошной цилиндр, на который воздействует осесиммет­ричная нагрузка. Будем пользоваться цилиндрической системой координат г, 0, г (фиг. 4, а), причем за ось вращения примем …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел. +38 05235 7 41 13 Завод
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 067 561 22 71 — гл. менеджер (продажи всего оборудования)
+38 067 2650755 - продажа всего оборудования
+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи всего оборудования
e-mail: msd@inbox.ru
msd@msd.com.ua
Скайп: msd-alexandriya

Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Представительство МСД в Киеве: 044 228 67 86
Дистрибьютор в Турции
и странам Закавказья
линий по производству ПСВ,
термоблоков и легких бетонов
ооо "Компания Интер Кор" Тбилиси
+995 32 230 87 83
Теймураз Микадзе
+90 536 322 1424 Турция
info@intercor.co
+995(570) 10 87 83

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.