Оптоэлектроника

Валентные подзоны

В разделе 8.3 мы уже видели, каким образом электронное ограничение потенциа­лом ямы приводит к сдвигу минимума зоны проводимости и проявлению кванто­вой энергии ограничения. В случае валентной зоны мы уже не можем использо­вать ту же аппроксимацию. Уровни у потолка валентной зоны являются вырож­денными по отношению к подзонам легких и тяжелых дырок в центре зоны Бриллюэна. В дополнении 1.Б мы уже видели, что возмущение может приводить к снятию выврождения уровней. И в этом случае мы смогли решить задачу, устано­
вив векторное подпространство, перекрываемое вырожденными состояниями, а также изучая влияние возмущения на это подпространство. Сейчас мы покажем, каким образом можно расширить этот подход с тем, чтобы включить в него аппроксима­цию огибающей функции для набора зон.

Основной идеей, лежащей в основе этой аппроксимации, является предположение о том, что волновые функции дырок могут быть представлены в виде ряда:

(8.Г.1)

Здесь: ип0 есть волновые функции в центре зоны Бриллюэна для различных дырочных подзон (т. е. п = 1 для тяжелых дырок и п = 2 для легких дырок), а £п есть огибающая функция, которая изменяется в пределах существенно большего масш­таба длин по сравнению с постоянной решетки. При рассмотрении в пределах мно­гих элементарных ячеек уравнение (8.Г.1) показывает, что мы находимся в вектор­ном подпространстве, образованном вырожденными дырочными зонами. Уравне­ние Шредингера для у всегда может быть выражено в виде:

_£_+Кс(г) + К(г) у{т)=Еу,(г)

Здесь К есть кристаллический потенциал, а У есть внешний потенциал. Это урав­нение можно записать также и в виде:

У «.«(Г) ^- + е., + К(г) Ш +

П _2т°

Здесь мы использовали тот факт, что ип0 представляют собой стационарные состо­яния кристалла при к = 0 с энергией ем. Подобно тому, как это уже неоднократно делалось на протяжении этой главы, спроецируем это уравнение на известный ба­зис. Для этого умножим это уравнение на м*0 и проинтегрируем по всему про­странству. Изменение £п в пределах постоянной решетки пренебрежимо мало, по­этому мы можем привести интегралы к более удобному виду, следуя методу, ис­пользованному в (8.55). Ортогональность блоховских функций в пределах каждой ячейки приводит к следующему уравнению для £п:

(8.Г.4)
Здесь = (и^и^) есть матричный элемент, связывающий ТУ-ную и я-ную зоны в рамках К • р-теории (смотрите Дополнение 5. В). Мы видим, что (8.Г.4) является тем же самым матричным уравнением, полученным при рассмотрении к • р-теории (смотрите (5.В. 10), если мы заменим к на оператор р и вве­дем в диагональ матрицы внешний потенциал. Для потенциала V(г), изменяющегося только в одном направлении, останется хорошим квантовым числом, при этом огибающая фун­кция может быть представлена в виде £(г) = (1/л/у4)^1К(г)ехр(1К)| • Л), который приводит уравнение к системе связанных дифференциальных уравнений относительно СпК(%):
Здесь мы использовали тот факт, что плоская волна в направлении, перпендикулярном z, диагонализирует к • р-матрицу с собственными энергиями ^К|(, 0). В прямоугольной квантовой яме (смотрите рис. 8.Г.1) PNn и ^(Кц, 0) являются постоянными в каждом материале. Влияние потенциала V(z) заключается в возник­новении разрывов зон, которые мы учитываем, накладывая на волновые функции и поток вероятность условия непрерывности на границах раздела (смотрите раздел 8.2). Мы видим, что в каждом материале решение (8.Г.5) соответствует энергии Е в виде:
= a„eikmZ + Д, е
(8.Г.6)
Здесь кп есть комплексное число, которое является решением уравнения: Еп( к) = Е (8.Г.7) Т. е. кп есть поперечный волновой вектор, при котором зона п имеет энергию Е. Следует отметить, что для энергии в пределах запрещенной зоны и над потолком ва­лентных зон уравнение (8. Г.7) имеет чисто мнимое решение кп = кп (смотрите, например, уравнение (5.В.25)). В объеме такое решение является недопустимым, т. к. оно расходится на бесконечности. Однако, в случае туннельного эффекта такое решение может возник­нуть в виде затухающей волны в конечной или полубесконечной области пространства. Рисунок 8.Г.2 иллюстрирует этот принцип для двух дырочных подзон в двух материалах для энергии, близкой к валентной зоне. В барьерном материале для двух валентных зон, Е > ^(Кр 0) возможно только затуха­ющее решение. Если между —Ь/2 <z<L/2 заключен узкозонный материал, решение для I < —Ь/2 должно содержать а(1) = 0 в разложении (8.Г.6). При z > Ц2 только /?(3) = 0 дает возможное решение. В материале ямы Е < £/(Кр 0) без каких-либо ограничений на коэф­фициенты. На границах раздела условия непрерывности волновых функций, следующие из (8.Г.5), например при z= Z_ = —Ь/2, имеют вид:
(2 )'ikNz_	(8.Г.8)
N
Аналогичное уравнение для условия непрерывности производной волновой функции имеет вид:
2тп
(8.Г.9)
Как мы видим из (8.Г.9) влияние границ раздела заключается в перемешивании компонент легких и тяжелых дырок, хотя эти компоненты являются независимыми

Рис. 8.Г. З. Валентные подзоны квантовой ямы, соответствующие движению, парал­лельному границам раздела, являются непараболическими. В данных рас - счетах предполагалось, что ширина ям составляет 12 нм, глубина — 44 мэВ, а высота барьеров — 70 мэВ.

В каждом материале. Четыре соотношения (8.Г.8)—(8.Г.9) для УУ= 1 (тяжелые дыр­ки) и ТУ = 2 (легкие дырки) определяют четыре коэффициента для материала кван­товой ямы в функции двух коэффициентов в материале барьера при I > £/2. Гра­ничные условия на границе раздела при г+ = £/2 определяют четыре коэффициента для затухающих волн в материале барьера. В этом случае мы должны искать энер­гии и коэффициенты ау устраняющие коэффициенты ап0). После этого нам оста­ется только определить нормировочный коэффициент для волновой функции.

Хотя методология расчета и ясна, сами расчеты должны проводиться числен­ными методами. Некоторые из иллюстрирующих примеров приведены на рис. 8.Г. З. Очевидно (что и не удивительно), что дисперсионные кривые каждой подзоны зна­чительно отклоняются от простых парабол.