Оптоэлектроника

Уравнения Максвелла В обратном пространстве

Мы знаем, что в вакууме электрическое Е (г, /) и магнитное В (г, 0 поля генериру­ются плотностью осциллирующего заряда р(г, /) и плотностью тока ^г, /). Как отме­чал Лоренц: «Нет ни одной гранулы света, которая не была бы результатом колеб­лющегося заряда». Эти поля связаны уравнениями, выведенными в различных об­ластях электростатики и магнетизма и объединенными в рамках электромагнитной теории. Это и есть система уравнений Максвелла:

А) = ф (2.3)

Мы знаем, что уравнения (2.1 а) и (2.1 в) приводят к существованию векторного и скалярного потенциалов А(г, /) и £/(г, /), определяемых как:

В (г, 0 = V X А(г, 0 (2.4 а)

Е(г,/) = -|гА(г,/)-У^(г,0 (2.4 б)

При этом указанные потенциалы не задаются однозначно, а допускают возмож­ность произвольного выбора потенциала /’(г, /) в соответствии с приведенными ниже уравнениями калибровочного преобразования:

А'(г, 0 = А(г, /) + У7г(г, /) (2.5д)

Г/'(г,0 = ^(г,0-|-Яг,0 (2.5 6)

О1

Которые не выявляются уравнениями Максвелла.

Таким образом, электрические и магнитные поля являются четко заданными, когда известны распределения зарядов и электрических токов:

Р{г, 0 = ^д,6(г - Г,.) (2.6а)

/

Кг, 0 = ^ Ч, V Дг - Г,) (2.66)

Где г. — положение заряда, а у. — его скорость в момент времени /. Эти поля, в свою очередь, влияют на эти распределения силами Лоренца:

Щ 4; V, = ?,[Е(Г„ /) + V,. хВ(г„ /)] (2.7)

Ш

Система уравнений (2.1я)—(2.г) и (2.6а)—(2.7) представляет собой уравнения Максвелла—Лоренца и позволяет дать описание поведения любой оптической сре­ды. Однако структура этих уравнений чрезвычайно сложна, поскольку они не явля­ются пространственно локализованными.

В действительности же линейная форма этих дифференциальных уравнений Максвелла—Лоренца легко допускает возможность преобразований Фурье. Мы по­кажем, каким образом, будучи представлены в пространстве Фурье, эти уравнения существенно упрощаются и становятся локальными по своей природе. В связи с этим рассмотрим кратко определение и свойства преобразования Фурье.