Оптоэлектроника

Стационарная теория возмущений

Очень ограниченное число физических систем дают простые решения, подобные тем, которые предоставляют квантовые ямы. Среди таких систем, допускающих аналитическую трактовку, следует упомянуть атом водорода (который не рассмат­ривается в данной книге), а также гармонический осциллятор (рассматриваемый в Дополнении 1.Г). Более общие системы редко дают аналитические решения. В то же время, используя более простые системы, обеспечивающие более известные ре­шения, мы попытаемся распространить их на более сложные системы. Наиболее известной (и возможно наиболее плодотворной с точки зрения успешности расши­рения нашего концептуального понимания многих физических систем) является стационарная теория возмущений.

Рассмотрим электрон в системе, описываемой стационарным гамильтонианом #0, базисный набор стационарных состояний {| у/)} которого состоит из решений уравнения Шредингера:

¥п) = Еп¥п) (1.51)

(Заметьте, что начиная с этого момента для упрощения системы обозначений мы будем опускать символ оператора «Л», так как мы предполагаем, что на этой стадии читатель способен отличить оператор от переменной величины). На некоторое вре­мя предположим, что состояния являются дискретными и невырожденными. Важ­ный случай распространения теории возмущений на вырожденные системы приве­ден в приложении 1.Б. Теперь подвергнем систему небольшому дополнительному возмущению Ж = оси, которое может быть реализовано, например, за счет прило­жения электрического поля к квантовой яме. Под понятием «малое» мы понимаем то, что а « 1 и что собственные значения и имеют величину порядка Еп (т. е., что и~ Н0 или что собственные энергии в первом приближении имеют ту же величину, что и для невозмущенного гамильтониана Н0) Собственные значения нового га­мильтониана Н = Н0 + IV представляют собой:

(Н0 +ау)|^„(а)) = Е„(а)у„{а)) (1.52)

Затем, примем важную гипотезу, заключающуюся в том, что достаточно малые воз­мущения позволят рассматривать нам решения модифицированной системы с ис­пользованием первоначальных уровней невозмущенной системы (т. е., что такие малые возмущения не искажают сильно первоначальный энергетический спектр системы). В этом случае новые собственные значения и собственные векторы воз­мущенной системы могут быть выражены через первоначальные собственные энергии и собственные векторы с использованием коэффициента возмущения а.

Еп(рс)= є0 + ає1+ а2є 2 + .

= |0) + а\) + а212)

Подстановка (1.53) в (1.52), группировка всех членов по степеням параметра а дает:

Нулевой порядок: Я0|0) = £0|0) (1.54а)

Первый порядок: (Я0-£0)|1) + (и-£,)|0) = 0 (1.54б)

Второй порядок: (Я0-^0)|2) + (С/-б>,)|1)-^2|0) (1.54<?)

Нулевой порядок

Как мы и предполагали, что уровни являются невырожденными, уравнение (1.54) дает, что |0) является собственным состоянием Я0. Из непрерывности при яг—>«> мы находим, что |0) = | у/). Это несправедливо, если уровни являются вырожден­ными, т. к. в этом случае уравнение (1.54а) более не соответствует одиночному квантовому уровню.

Первый порядок

Спроецируем (1.54) на |0) = у/) и используем тождество:

(0|я0-£с|1) = 0 (1.55)

Для того, чтобы найти поправку первого порядка:

£х={¥пЩУп) (1.56)

Или с использованием более ранних определений:

Е' = Е„+(уг„Wyr,) (1.57)

Возмущение энергии первого порядка

Где энергия с учетом возмущения Е'п выражена без использования а.

Для того, чтобы найти ограниченный ряд для собственного вектора, нам необ­ходимо только спроецировать (1.54б) на другие состояния | у/) при р ф п:

(Е,-£я)(*г,|1) + (г,|г/|*г.) = 0 (1.58)

В этом случае получаем для возмущенных собственных векторов следующее выражение первого порядка:

К:>=к„)+Х%ту^1^> 0-59)

Рфп п Р

Возмущение собственных состояний первого порядка

Отметим, что к невозмущенному стационарному состоянию у/п) в этом случае примешиваются другие состояния | у/р), при этом наибольший вклад дают состояния, ближайшие к | у/) по энергии. Таким образом, при описании эффекта возмущения

Нам будет достаточно при описании ограничиваться членами, ближайшими по энер­

Гии (например, рассмотрение эффекта Штарка в дополнении 1.В).

Второй порядок

В ряде случае первый порядок дает нулевой вклад, когда:

Ы»1г.) = 0 (1.60)

Это происходит с учетом соображений симметрии (как, например, в случае возмущения потенциала ограничения электрическим полем). В результате часто является необходимым продолжить разложение с учетом более высоких порядков возмущения. Проецируя (1.54<?) на | у/п), находим:

£2 =(^»И1) (1-61)

С использованием (1.59) можем записать выражение с учетом поправки второго

Порядка:

+ <и2>

Р*п п Р

При этом опять мы отмечаем, что величина вклада любого состояния увеличивает­ся для ближайших по энергии состояний.