Оптоэлектроника

Спонтанное излучение И излучательное время жизни. Спонтанное излучение

В том случае, когда второй уровень заселен, он стремится срелаксировать под воз­действием потока фотонов, о чем свидетельствует член —&ор(?пЫ2/У в (3.49). Таким образом, если число фотонов в резонаторе равно нулю (т. е. в резонаторе отсутству­ет излучение) скорость стимулированного излучения также равна нулю. В результа­те этого в отсутствие упругих соударений (Г, = 0) частица должна оставаться в возбужденном состоянии сколь угодно долго. Это, однако, противоречит опыту. Например, когда атомы возбуждаются электрическим разрядом в разряженной ат­мосфере для того, чтобы свести к минимуму атомные столкновения (как это специ­ально делается в неоновых лампах), возбужденные атомы релаксируют в течение нескольких микросекунд. Каким же образом можно примирить этот парадокс меж­ду до сих пор безупречной теорией и этим бытовым наблюдением из области каж­додневной практики?

Ответ же заключается в том, что мы выполнили только половину задачи. В то время, как мы допустили квантование поведения частицы, мы не сделали то же самое в отношении света. Для завершения нашей работы мы должны ввести в вы­ражение для гамильтониана взаимодействия (3.12) и (3.13) квантовую форму элек­трического поля, соответствующего моде /, которая дается уравнением (3.34л):

W =qFl(aIt'kT-a*ls )£,*?

Где а1 и а* операторы рождения и уничтожения фотонов моды /, а /) — интенсив­ность поля, связанного с квантовыми вакуумными флуктуациями той же самой моды (уравнение (2.35)). В этом случае гамильтониан действует в двух гильберто­вых пространствах (или более точно воздействует на тензорное произведение), со­ответствующих пространству фотонов и заряженных частиц. Таким образом, в этом случае мы должны говорить о состояниях, обозначаемых как |/, п), где / относится к состоянию заряженной частицы (/=1,2 для двухуровневой системы), а п{ обозна­чает число фотонов моды / (смотрите рис. 3.3). Обобщение этой задачи на случай произвольного числа мод следует прямо, но сопровождается усложнением необхо­димых обозначений (например |/, ..., пп...». В связи с этим на время мы оставим

В стороне модовые индексы.

Оптические переходы могут иметь между состояниями 11, п) и |2, я'), а также в обратной последовательности. Рассмотрим сейчас механизм поглощения. В этом случае начальным уровнем является |1, л), а конечным — 12, п — 1) (смотрите рис. 3.3), так как фотон в процессе поглощения теряется. Из (1.856) следует, что вероятность поглощения составляет:

(3.58)

Где Ein = Е{ + h со(п - I - 1/2) и ЕГт = Е2 - I - Ь со((п — 1) + 1/2). Закон сохранения энергии в данном случае соответствует условию h со = Ех — Ev что находится в согласии с теорией главы 1 (уравнение (1.80)). В таком случае уравнение (3.58) может быть записано в виде:

Поскольку состояние частицы и фотона не зависят друг от друга, это выражение может быть разделено следующим образом:

Рис. 3.3. Взаимодействие между двухуровневой системой и квантованным электро­магнитным полем в виде гармонического осциллятора. Рисунок показывает различные механизмы для следующих оптических переходов: а — поглощение;

Б — стимулированное, или индуцированное излучение, в — спонтанное излучение.

С учетом свойств операторов рождения и уничтожения ((1.Г.23) и (1.Г.24)) можно установить, что единственным ненулевым членом, связанным с фотоном, является:

(п - 11*2/1«) = уГп (3.61)

В этом случае вероятность поглощения в единицу времени приобретает вид:

Р>.2 = “Щ I (% • г|2) |2 8{Па> =Е2- £,) (3.62)

Или вновь используя выражение (2.77) для электрического поля в когерентном состоянии: />аЬ! = ± Е? 1(1 це, ■ г12) |2 б{Пт = £,-£,) (3.63)

Таким образом, мы точно воспроизвели выражение (1.856) для классического элек­трического поля (испытав удовлетворение от полного согласия между теориями).

Теперь рассмотрим резонатор, содержащий п фотонов в моде /, но на этот раз также и частицу, находящуюся изначально в состоянии |2). Излучение в этом слу­чае соответствует переходу из состояния |2, п) в состояние |1, п) (рис. 3.3). В этом случае вероятность перехода имеет вид:

Кг =у?2^2|(« + 1|(^г -<е-*'г)|л)|2 I (1е, ■ г 12) I2 8{Пю=Ех-Ег) (3.64) При этом единственным ненулевым членом, связанным с фотонами, является:

(п +1 а+1 п) = л/я + 1 (3.65)

И вероятность эмиссии в единицу времени приобретает вид:

= 77т (« +1 }(* я£! р12)|2 8(Ц ю = Е2 - Е,) (3.66)

£0Ь

Приведенное выше выражение показывает, что в излучении проявляются два различных эффекта:

1. Механизм излучения, при котором скорость перехода пропорциональна чис­лу фотонов, уже присутствующих в резонаторе — это явление стимулированного излучения, рассмотренное ранее.

2. Новый механизм излучения, проявляющийся даже тогда, когда в резонаторе нет фотонов — называется спонтанным излучением. Скорость спонтанного излуче­ния дается выражением:

С. =^тН(1 & г|2) |2 б(Нсо = £,-£,)

Є0Ь

Мы можем интерпретировать этот член как член, соответствующий скорости эмиссии, стимулированной вакуумными флуктуациями Гг Под влиянием вакуумных флуктуаций частица может срелаксировать, освобождая фотон в моду п. Очевидно, что частица может излучить этот фотон в любую из возможных резонаторных мод. Полная скорость спонтанного излучения получается суммированием всех вкладов

(3.67) для различных мод с частотой соп:

(3.68)

Расчет этого интеграла использует выражение (2.83) для плотности электромагнит­ных мод в резонаторе и не представляет особых трудностей, так как мы можем расширить область интегрирования по всему пространству, как это было оценено в (2.А.25). Таким образом, мы получаем скорость спонтанного излучения по всем простран­ственным направлениям для квантового перехода с энергией Н со0 в оптической среде с коэффициентом преломления пор:

(3.69а)

Скорость спонтанного излучения и излучатель - ное время жизни для двухуровневой системы

Где:

|2 + Ы2 + Ы2

Напоминаем, что это выражение действительно только в том случае, когда фо­тоны излучаются изотропно.

Следует отметить несколько моментов:

1. Если частица находится на своем основном уровне |1), скорость спонтанного перехода равна нулю, т. е. время жизни электрона на основном уровне бесконечно. Таким образом мы разрешаем одну из величайших головоломок теоретиков в начале столетия, а именно выясняем причину, почему все электроны на всех атомных орбитах во вселенной просто не разрушаются на своих ядрах в течение наносекунд, из­лучая при этом фотоны.

2. Степенная зависимость (со3) скорости спонтанной эмиссии предсказана клас­сической теорией Рэлея. Предполагая постоянным дипольный элемент, находим, что время жизни спонтанной эмиссии становится меньше по мере возрастания энергии перехода. Это является одной из причин, почему рентгеновские лазеры труднее создать, чем инфракрасные лазеры. Безусловно, дипольный матричный элемент также будет зависеть от энергии перехода, как это будет проиллюстрирова­но примером, приведенным ниже.

3. Отсутствие постоянной Планка % в уравнении (3.67) показывает, почему классический подход, использованный в Дополнении 2.А мог бы быть успешно применен в некоторых случаях.

Пример: излучательное время жизни в бесконечной квантовой яме---------------------------------------------

Рассмотрим квантовую яму на основе ваАв шириной а с бесконечными барьерами, в которой:

Т = 0,067л770 п = 3,3

Ор 7

Мы видели в главе 1, что энергетический зазор Ь со21 между уровнями и диполь - ный матричный элемент zn даются соотношениями:

(3.70)

Таким образом, мы получаем выражение для излучательного времени жизни в функции энергии перехода:

Зависимость времени жизни от энергии перехода в рамках простой модели пред­ставлена на рис. 3.4. Для типичных значений энергии перехода, лежащих в диапа­зоне от 50 до 250 мэВ, соответствующие времена жизни лежат в диапазоне от 10 не до 1 мкс. Мы видим, что излучательное время жизни в этом случае пропорциональ­но со~2, а не со~3 (как это показано выше), и является результатом зависимости дипольного матричного элемента гп от энергии перехода.

Приведенный выше пример иллюстрирует возможности классического подхода к описанию спонтанной эмиссии. По этой причине мы вводим отношение класси­ческого излучательного времени жизни /с1а5, которое дается (2.А.30) и квантового времени жизни t :

2тг> (3.716)

Теперь все квантовые структуры (ионы, атомы, полупроводниковые квантовые ямы...) могут быть в первом приближении описаны моделью бесконечной кванто­вой ямы шириной а с энергией перехода Н со и дипольным элементом г12, определя­емой соотношением:

И гп = аа,

Где ТУ — целое число в диапазоне от 1 до 10, а а — действительное число порядка 10~‘. Следовательно, отношение *с1а8/* , таким образом, может быть записано в виде:

^- = а^2л2 =1

БрОП

Классическое выражение для излучательного времени жизни имеет, таким образом, смысл, но с его помощью не удается описать такие эффекты, как стабильность основно­го состояния квантовых структур, переходы, запрещенные правилами симметрии и т. д.