Оптоэлектроника

Предел Шавлова—Таунса и сила ланжевеновского шума

Одной из наиболее упоминаемой особенностей лазерного излучения (помимо его яркости) является его высоко монохроматический характер. Может возникнуть воп­рос: «Что же ограничивает спектральную ширину лазерного излучения?» В качестве причин мы могли бы подумать с достаточной долей основательности о зеркально­сти резонатора или ширине атомных переходов, участвующих в стимулированном излучении. Однако оба эти предположения в действительности неправильны! В действительности, учет этих факторов приводит к выражениям на несколько по­рядков величины большим того, что наблюдается! Например, для резонатора Фаб­ри—Перо (с длиной d и коэффициентом отражения зеркал г, смотрите рис. 4.Г.1) зеркальность резонатора F и ширина резонанса Фабри—Перо Avc даются выраже­ниями (прочитайте дополнение 9. Г):

2К

~т

А = 1 С = 1

V° F 2d 2ктс

Где г — время жизни фотонов в резонаторе, определяемое (4.24б). Для резонатора длиной 10 см и коэффициентом пропускания 10-2 мы получаем зеркальность 628 и ширину полосы 2,4 х 106 Гц, что ярко контрастирует с экспериментальными значени­ями ширины полосы лазерного излучения порядка 1 Гц для определенных лазеров. Возможные вклады из-за ширины атомных переходов, а также их частот, имеют поря­док ГГц (смотрите таблицу 4.1). Для понимания чрезвычайно малых значений шири­ны полосы, связанной с лазерным излучением, нам необходимо возвратиться назад и до определенной степени модифицировать динамические уравнения, приведенные для фотонов в резонаторе (4.А.12). Для начала напомним, что электрическое поле Е(х, /) в любой точке лазера дается выражением Дх, /) = Яе(Дх, /)еНй"), где временная зависи­мость огибающей функции Е(х, /) описывает временную эволюцию электромагнит­ного поля вследствие лазерного усиления. Эта зависимость намного слабее, чем ко­лебания электромагнитного поля, даваемые е_1й". Заменим в (4.А.12) число фотонов в резонаторе Р на огибающую функцию электрического поля £(/), определенную в любой точке резонатора, предполагая, что входное зеркало находится в точке х = 0, и напомним, что связь между двумя величинами дается соотношением (см. (2.77):

(4.Г.2)

2hco

Где є —диэлектрическая постоянная среды (є= £0п2ор)- Отметим, что член спонтан­ной эмиссии (член + 1 в (4.А.12)) ничего не говорит нам о моменте спонтанного освобождения фотона. Таким образом, заменим его силой F(/), которая будет ис­пользоваться для описания хаотического характера этого излучения. В этом случае мы получаем:

D Е 1 dt + 2

(4.Г. З)

Уравнение Ланжевена

Где f{t) — сила Ланжевена, которая обладает следующими характеристиками:

• F{t) является стохастическим процессом случайной переменной с нестационар­ным характером. Рис. 4.Г.2 описывает такой стохастический процесс. Функция Дг, в) случайно выбирается в момент t = — а 9 — событие, принадлежащее

Рис. 4.Г.2. Стохастический процесс явля­ется стохастической функцией /(/, в), каж­дая реализация 0 которой приводит к фун­кции /(/). При заданном времени tf(t, в) есть произвольная переменная.

Ансамблю возможных результатов Q. Для каждого толчка (т. е. для каждой вели­чины в) F(t, в) является функцией времени t и для каждого значения времени t F(t, 9) является случайной переменной.

F{t) является эргодическим процессом (смотрите дополнение З. А), что означает идентичность временных и статистических средних в любой момент времени t

Т /2

(4.Г.4)

£2 “ - f/2 Процесс не обладает памятью, т. е. случайные переменные F(t) и /*(/ + t) не скоррелированы для любого тф 0:

F(t)F*(t + r)= AS(t) (4.Г.5 a)

Где A — константа, которую еще надо определить. Далее предположим, что:

F(t)F(t + T)= 0. (4.Г.5 б)

Это не является абсолютно необходимым (это может быть записано в виде BS(t)), но это сильно упрощает расчеты.

Наконец, F(t) — процесс с нулевым средним:

F(t) = 0.

Запишем теперь решение (4.Г. З). Можно легко показать, что решение дается вы­ражением:

T

E(t)= J

Где мы временно положили, что:

(4.Г.8)

Решение (4. Г.7) может быть интерпретировано как отклик системы с линейным усилением (когда отклик на импульс изменяется как е"') на случайное возбуждение вида /(/). Это является классической проблемой электроники (смотрите рис. 4.Г. З). Сначала мы рассчитаем среднюю величину электрического поля Д/) из (4.Г.6):

(4.Г.9)

Дисперсия поля E(t) дается выражением:

|£(/]2 = Jр*(ГУ('~г)At’ = Jdt'jdҐР(ґ)Р*(ґУ^-''-ґ) (4.Г.10)

E(t)

|SMl20e(w>

Рис. 4.Г. З. Система с линейным усилением $(со) преобразует стохастический процесс со спектром gc(co) в стохастиченский процесс с gs(c0) = 5(со)\(со).

С учетом того факта, что система не обладает памятью (4.Г.5) это последнее выра­жение принимает вид:

|Ј(r)|2 = = Ajdt'e2*'-') (4.Г.11)

Или, заменяя v на ее величину в виде (4.Г.8):

А

1 light

Или вновь, вводя число фотонов и с помощью (4.Г.2):

EVA 1 _[g(G/4*,-t/O _ iJ

P =

2hco (G /rligh, — 1/rJ

Сравнивая этот результат с аналогичным результатом, полученным в рамках Дополнения 4.А (смотрите (4.А. 13)), мы видим, что два подхода приводят к иден­тичному результату при идентификации А в виде:

SHAPE \* MERGEFORMAT

2Gb со light ^

Подход, основанный на уравнении Ланжевена лучше, чем подход «избыточного фо­тона», введенный в дополнении 4.А., в том смысле, что он описывает хаотичную динамику, связанную с лазерным излучением. Теперь мы введем амплитуду /(Г) и фазу ф{{) электрического поля (смотрите рис. 4.Г.4):

E(t) = V7(0e"

Очевидно, что /(/) и Д/) представляют стохатические процессы. Подставляя (4.Г.14) в (4.Г. З), получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

^- + 2vl = 41 Re[/XOe"] d /

D Ф _ 1 dt ~ iV7

Рис. 4.Г.4. Френелевское представление амп­литуды и фазы электрического поля. Под вли­янием силы Ланжевена вектор £(/) вращается в плоскости (говорят, что фаза имеет диффуз­ный характер), в то время как амплитудуа ос­тается, в основном, неизменной.

Мы видим, что в (4.Г.15я) / демпфируется членом 2VI. Как следствие, ампли­тудные флуктуации лазеров очень малы и ими часто пренебрегают. Мы проведем этот расчет в дополнении 13.Г применительно к полупроводниковым лазерам. Од­нако, уравнение (4. Г. 156) не содержит такого демпфирующего члена по фазе. Та­ким образом, фазовые флуктуации будут значительны. Этот эффект возникает из - за хаотичных временных характеристик, связанных со спонтанным излучением. Мы перепишем (4.Г.156) в следующем виде:

^[/■(/)е-Г*(/)е **] (4.Г. 16)

2Ь//

Где с учетом слабых флуктуаций по амплитуде / мы заменили / на ее среднюю величину. Уравнение (4.Г.16) формально может быть проинтегрировано следую­щим образом:

Г

-*(0= (4.Г.17)

Ясно, что средняя величина ф равна нулю. В то же время ее дисперсия дается выражением:

(4.Г.18д)

Это последнее выражение может быть существенно упрощено, если мы используем (4.Г.5) и, кроме того, предположим, что:

/•('У* = Е((У'* (4. Г. 186)

Это последнее выражение обычно выполняется несмотря на то, что процессы Риф являются явно коррелированными. В этом случае уравнение (4. Г. 18) принимает вид:

__ / / _______________ _________________________

Дф1 =~ Г ё/' Гс1/'[/г(/')^’*(г')+ =

4 / J J

'* (4.Г.19)

/0 г0 г0

В этом выражении мы видим, что стандартная дисперсия фазы изменяется со вре­менем в соответствии с соотношением:

Д0 = 7л7 = ^('-О (4.Г.20)

Мы видим, что уравнение (4.Г.20) принимает вид диффузионного уравнения, где кон­станта диффузии О дается О = А /21 или выражением для А в (4. Г. 13) и для / в (4.Г.2) и (4.Г.24в):

Р = ± = ^,1.11 (4.Г.21)

21 2 еттУ гПсоР 2 г|18„, Р К }

Выше лазерного порога усиление (7 фиксируется на своем пороговом значении, определяемом = 1/т. Более того, (4.Г.1) устанавливает, что ширина полосы

Холодного резонатора (т. е. ширина полосы резонанса Фабри—Перо) дается соот­ношением: Ду = 1/2ят. В окончательном виде коэффициент диффузии для фазы записывается в виде:

£> = (4.Г.22)

Коэффициент диффузии по фазе

Теперь нам остается только рассчитать ширину полосы излучения лазера. Для этого запишем электрическое поле, соответствующее лазерному излучению, в ка­ноническом виде, описанном в начале этого раздела:

£(,)= И^йе-“'] - * £'(/)е"''] (4.Г.23)

Где со0 — частота излучения лазера. Из дополнения З. А мы знаем, что спектральное распределение сигнала дается Фурье-образом автокорреляционной функции (урав­нение (З. А. 13)). Это есть теорема Винера—Хинчина (смотрите рис. 4.Г. З). Эта авто­корреляционная функция может быть рассчитана с использованием записи:

Е(г)Е(г + т)= + г)е 1<ч>(г+г) + £*(/ + г)е'^(г+г^ ^(/)е 1<ч/ + Е*^)ъщ'

Или вновь:

£(/ + г)£(/)=^[£(/ + т)£*(/)е 1<ч> + к. с.] (4.Г.24 б)

Заменим электрическое поле £(/) на его выражение в (4.Г.14) и вспомним, что амплитуда флуктуаций / достаточно мала, чтобы гарантировать нам ее замену на среднее значение:

Е(г)Е(г + т)= + т)1^У'(ф('*г)-т (4.Г.25)

Мы уже встречали среднюю величину ек*'+г) _ в (З. А. 16) в предположении, что процесс имеет пуассоновский вид. Делая то же самое допущение в отношении 0(О> находим:

Е!<,(»«)-,(О) = е~т*! = е4/>г (4.Г.26)

Где 8ф2 есть дисперсия фазовых флуктуаций. И, как следствие, выражение для авто­корреляционной функции (4.Г.24) принимает вид:

Ох{т)= Е({)Е({ + т) = — /е + к. с. = -~е 2°г соб(со0т) (4.Г.27)

4

Спектральное распределение для Е(со) в этом случае дается теоремой Винера— Хинчина (З. А. 13), т. е. с использованием Фурье-образа (4.Г.27) или:

{со)=ЁЩ = !~ ------- Ц2*г/А <4Г28>

Л (о)-о)0) + О1 /4

Используя выражение для коэффициента диффузии в (4. Г.22), мы находим, что ширина полосы спектрального распределения лазерного излучения (которая может быть измерена, например, с использованием дисперсионного спектрометра) дается выражением:

Ду5Т = Цл - (4.Г.29)

Ширина линии Шавлова—Таунса

Таким образом, мы заключаем, что ширина линии лазерного излучения есть ширина полосы резонатора Д ус, деленная на число фотонов в резонаторе (довольно значительное число). Таким образом, теоретически ширина полосы лазерного из-

Лучения может быть крайне малой. Уравнение (4.29) может быть представлено в более доступном для расчетов виде за счет использования (4.Г.1) для Дк, а также соотношения (4.30), связывающего число фотонов в резонаторе Р с мощностью лазерного излучения

Р, Я=Р— (4.Г.30)

В этом случае уравнение Шавлова—Таунса принимает вид:

H V

>

Ext

Уравнение Шавлова—Таунса

Пример----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

А) Ширина линии излучения лазерного резонатора на основе №3+:УАС (Иу = 1,17 эВ, пор = 1,82) длиной 1 см, с прозрачностью зеркала 0,5% (или фотонным вре­менем жизни 24 не) и мощностью излучения 1мВт составляет Дк8Т = 1,17 х х 1,6 х 10-19 Дж/(2я-х (24 хЮ-9 з)2 х 10_3 Вт) или 5 х 10“2 Гц.

Б) Ширина линии излучения полупроводникового лазера (Иу = 1,4 эВ, пор = 3) длиной 100 мкм, имеющего зеркала с прозрачностью 30% (что соответствует фотон­ному времени жизни 6 пс), а также мощность излучения 1 мВт составляет Дк8Т = 1,4 х 1,6 х 10“19 Дж/(2;гх (6 х 10-12 8) х 10_3 Вт) или 1 М Гц.