Оптоэлектроника

Поглощение и спонтанное излучение

Из главы 3 мы знаем, что подход, основанный на оптической восприимчивости не позволяет нам учесть спонтанное излучение. Естественным методом трактовки та­кого эффекта является использование скоростных уравнений Эйнштейна. Мы рас­сматривали эту теорию в разделе 3.6 применительно к широкополосной электромаг­нитной волне. Мы вновь воспроизведем указанный подход по ряду причин: во - первых, он представляет очень тонкий расчет (следите за размерностью), имеющий большое практическое значение, во-вторых, в силу исторических причин в случае полупроводников используются другие обозначения и, наконец, в-третьих, в дан­ном случае этот подход используется в другом контексте: теперь мы имеем дело с уширенным энергетическим спектром (впрочем мы уже упоминали об эквивалентно­сти широкополосной волны и энергетического спектра уширенного перехода.)

Рассмотрим в полупроводнике объемом V уровень Еу/ (к) в валентной зоне и уровень £(к) в зоне проводимости при определенном значении к, имея в виду в дальнейшем перейти к квазиквантованию. Как мы видели в разделе 3.6, в случае электромагнитной волны с широким спектральным распределением /?рЬ( Н со) скорость оптического перехода £ус(с-1) по всему объему V и между уровнями Ес и £ пропорци­ональна вероятности того, что состояние £ занято, а состояние Ес является пустым.

*ж(к) = ВкДЕ)[ 1 - /с(Ес)]ррЬ(П V) (7.28)

Где (Дж-1) есть плотность фотонов на единицу энергии в объеме V, а Вус (Дж с-1)

Есть скорость перехода в расчете на один фотон в резонаторе, определяемая золо­тым правилом Ферми (смотрите (3.76)—(3.77)) в виде:

=-Я<12Ео2х1 (?'29>

Где Е0 есть электрическое поле, связанное с одним фотоном в объеме V (величина Вус дается для одного фотона в резонаторе!) и определяемое (2.77):

= ^«оР£(А2(/ (7.30а)

ИЛИ

(7.306)

Из этого следует:

_пд2х1а _ пдгЕр (7 31)

“ £у0/ Зе^т. аУ

Где мы использовали (7.116). Обратите внимание на присутствие члена Vв знамена­теле: это следует из делокализованной природы блоховских волновых функций, ко­торая требует, чтобы мы рассматривали в качестве объема взаимодействия полный объем кристалла К(смотрите дополнение 1.А). Напоминаем, что сохранение энергии требует выполнение соотношения к со = Ьсоус = Еус(к) = Ес(к) — £(к). В то же время имеются два отличия от условий, которые предполагались в разделе 3.6. Во-первых, функции^ и/у, приведенные в (1.25а) и (7.256), обеспечивают описание неравновес­ных явлений с использованием квазиуровней Ферми и, во-вторых, коэффициент Эйнштейна Вус на этот раз выражается в единицах Дж см-1 (мы предлагаем читателю в качестве самостоятельного упражнения проверить размерность величины Вус в (7.31)). Аналогичным образом скорость стимулированного излучения дается соотношением:

«„(к) = Вс^(Е)[ ~ЦЕ)рф(Иу) (7.32)

К этому, естественно, мы должны добавить скорость спонтанного излучения (см-1), которая не зависит от плотности фотонов в полупроводнике и дается выражением:

Сро„(к) = Ас/с(Ес)[ 1 -/„(£)]

Асу есть скорость спонтанного перехода в объеме К Для начала рассмотрим случай термодинамического равновесия. Плотность фотонов на единицу энергии в объеме К дается спектром излучения черного тела в Дж с_1м_3 (уравнение (2.91)), который следует разделить на Ну с тем, чтобы выразить этот параметр в виде плотности числа частиц), а не в виде плотности энергии) и вновь — на к с тем, чтобы выра­зить этот параметр в единицах энергии, а не частоты:

« (Иг)- 1 у (7 34)

РЛ^)- Лзсз ехр (Иу/кТ)- 1 '

Подобным же образом в равновесии распределения Ферми—Дирака идентичны для двух зон (£ =/у =/ и ЕРс = ЕРу = Е).

Стационарное условие для состояния термодинамического равновесия может быть записано таким же образом, как и в случае (З. В.4):

В, ЛЕ, XI - Ж Ж ) = В„/{ЕС XI - ж Ж )+ Л, Же XI - Ж,.)] (7.35л)

Или иначе:

Ълп1Е1У Л„, (7.356)

Л3с3 [exp(Evr / кТ )- l] Bvr exp(Evr / kT )- B„r

Это может быть справедливым при любых температурах только в том случае, когда коэф­фициенты Эйнштейна Bcv, Bw и Acv связаны соотношением:

В =В (7.36 а)

VC cv v '

A" = ~™h0CV В" {7'm

Эти уравнения аналогичны (3.77) и (3.78) за исключением того, что Bcvи ^12 вьфажены не в тех же единицах. Здесь хотелось бы подчеркнуть концепцию, лежащую в основе под­хода Эйнштейна, а именно: хотя соотношения между коэффициентами А и В устанавлива­ются для термодинамического равновесия, они, будучи собственными характеристиками системы, остаются справедливыми во всех случаях, включая даже сильное отклонение от термодинамического равновесия.

Теперь мы можем заменить Bw в (7.36) на выражение, приведенное для этого парамет­ра в (7.31), что позволяет найти:

К = — (7.37а)

TR

Где tr есть излучателъное время жизни, определяемое выражением:

1 _ _ 42nofEgEP

Tr яс2Не0 3 ясъН2е0те

(7.376)

Излучательное время жизни в полупроводнике

Отметим, что в излучательном времени жизни как в полупроводниках, так и атомах проявляется та же тенденция. Чем больше величина запрещенной зоны, тем короче становится излучательное время жизни и тем тяжелее становится добиться инверсии заселенности в такой системе. Такой характер проявляется, например, при переходе от полупроводников с шириной запрещенной зоны, соответствующей инфракрасному излучению (например СаАз), к широкозонным полупроводникам (например Са! Ч).

Теперь мы можем пойти вперед и рассчитать скорость поглощения гаЬ8(к)(с-1) для произвольного волнового вектора к, обусловленного конкуренцией переходов с —> V И V —> с.

Или:

Гаь.(к) = ВусЩЕ)-Ж)]ррЪт

Где Е и Ес есть состояния, связанные через энергию фотона 1п и приведенные в

(7.18) " и (1.25).

Теперь рассмотрим принципиально другую ситуацию. Найдем поглощение монохроматической волны с частотой ц падающей на кристалл (т. е. в данном случае р ь есть дельта-функция Дирака 3{Е— к у) — в резонаторе объемом К имеется един­ственный фотон). Поглощение в объеме V обусловлено переходами по всей зоне Бриллюэна и (смотрите (7.15)) определяется выражением:

(7.39)

Яа|к(Ау)= 2^гаЬ5(к„) = |р, гаЬ5(к)с13к

С учетом требования по сохранению энергии (7.18) и преобразования переменных в

(7.19) это приводит к скорости поглощения в виде:

4*.М = |Р,(Е)УВЖеУ /АЕ'Ме - Иу)дЕ = - /,(£,))] (7.41)

Е

(Заметьте: объемный член V будет устранен членом 1/УвВ^, что является наградой за квазиквантование.)

Коэффициент поглощения а(Иу) получается из анализа эксперимента, иллюстрируе­мого рисунком 7.3. В рассматриваемом случае фотон с энергией к со падает на полупро­водниковую пластину с поверхностью £ и толщиной Д& Энергия, поглощаемая в течение времени А/ составляет ЯаЬксоА/ (при объеме V = 5Аг), а энергия, пересекающая поверхность есть ксос/порА/. Отношение этих двух величин есть просто а(ку)Аг и оно может быть записано в виде:

Л мощность, поглощенная в единице объема Я^Нсо

Ашсо)=--------------------------------------------------------------------------------------------------- = ——

Мощность, падающая на единицу поверхности Нсос / пор

Или иначе с учетом (7.41) и (7.31):

А(а>)= р.(/,у)[/;(/,у)_ /Дйу)]

Это выражение в точности соответствует уравнению (7.22), полученному при ис­пользовании формализма матрицы плотности, если вспомнить, что плотности на единицу частоты и энергии связаны друг с другом соотношением р^Иу) = р.(со)/Н.

Понятно, что мы предприняли эти усилия не только для того, чтобы подтвер­дить соответствие формализма матрицы плотности и скоростных уравнений Эйн-

Рис. 7.3. Экспериментальная геометрия для определе­ния коэффициента поглощения.

Штейна. Используя такой подход мы дополнительно получили в наше распоряже­ние средство для расчета скорости спонтанной эмиссии К&роп(Ьу) из-за распределе­ния носителей в условиях термодинамического квазиравновесия в полупроводни­ке. Эта скорость определяется суммированием (7.33) по зоне Бриллюэна:

V. (М= /^„(Ю = 2£ —— /ДЮ[1 - Ш8{Е' - Е, = /ту) (7.44)

Т1 V гя(к)

При этом суммирование проводится по всем волновым векторам к, удовлетворяющим ус­ловию сохранения энергии (выражаемому дельта-функцией Дирака 8), а именно:

Используя эквивалентность (7.15) и (719), находим:

Ко« (лО = }^роп (Е)рАе)5(Е = АV)1 £■ = гвроп (йу )р1 (Ау) (7.46)

О

Откуда получаем:

(АО= — 1 - /,[£,(*О]} (7.47)

^ я

Спектральное распределение скорости излучатель - ной рекомбинации в полупроводнике (с-1 см-3 Дж-1)

В этой формуле мы узнаем выражение типа п/тк, полученное для атомов (смотрите главу 4). С использованием (7.376) это выражение может быть записано в следую­щем виде:

СМ = {1 - ЖМ } (7-48)

Ж Й£0

Деля выражение (7.48) на формулу для поглощения (7.43), получаем соотношение меж­ду поглощением и спонтанной эмиссией, которое остается справедливым для всех термо­динамически квазиравновесных ситуаций:

Ттг—- (7.49)

Уравнение Ван Рузбрека—Шокли

Уравнение (7.49) позволяет рассчитать спектр спонтанного излучения Я&роп(Иу), исходя из спектра поглощения, и оно представляет собой ничто иное, как состоя­ние микроравновесия для фотона с энергией Ну между спонтанной эмиссией и поглощением, обусловленных спектром черного тела.

Попробуем теперь определить спектральное распределение К&роп(Ну) спонтанного из­лучения полупроводника вблизи термодинамического равновесия. Функции Ферми—Ди­рака в (7.41) могут быть аппроксимированы функциями Больцмана:

(7.50)

Следовательно:

Где АЕр есть зазор между квазиуровнями Ферми АЕр = ЕРс - Еру. Таким образом, мы приходим к спектральному распределению Я (Ну):

Я5роп(М= ^ро„(Л^ - Ев)1'2 ехр

Спектральное распределение скорости спонтанной эмиссии (с-1 см-3 Дж-1)

При этом константа К с учетом (7.47) дается выражением:

(7.526)

КТ

Уравнение (7.526) показывает, что мощность оптического излучения возрастает как ехр (Д/у, т. е. она возрастает тем больше, чем сильнее выводится полупровод­ник из состояния термодинамического равновесия.

Пример----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Рассчитаем коэффициент поглощения а(Е) и скорость спонтанной эмиссии тК для ваАБ:

Е = 1,45 эВ

8 ’

Ту = 0,46/я, т = 0,067/я

С 7 е

Х = 3,2 А

УС 7

П = 3,6

Ор 7

В соответствии с (1.25а) коэффициент поглощения составляет:

«(Лу)= Кл

Таким образом,

Kabs = (1, 6 х 1(Г19 Кл)5/2 х 3,2 х 10"10 м)2 х (2 х 0,058 х 0,9 х Ю"30)372/

/ (0,8 х 10"6 м х 8,85 х 10"12 Ф м'1 х (1,05 х 10"34)3 х 3,6)

Или Kabs = 12 ООО см"1 эВ"1/2.

Таким образом, для фотона с энергией, превышающей ширину запрещенной зоны на 0,01 эВ, коэффициент поглощения составляет 1200 см-1.

В этом случае излучательное время жизни составляет:

1 45xln (hat^/qf

(7.54)

Гк 71с*И*е0

Таким образом:

/тя = (1,5 В)3 х (1,6 х 10"19 Кл)5 х (3,2 х 10"10 м)2 х 3,6/

/ (3,14 х (3 х 108 м с"1)3 х (1,05 х 10"34 Дж с)4 х 8,85 х 10"12 Ф м"1)

Или тк = 0,7 не.

Обратите внимание на то, что не является величиной, полученной из теории Кейна (табл. 7.1). Эта величина была выбрана подбором исходя из наилучшего соответствия с эксперимен­тальными данными по поглощению. Это же лишний раз вскрывает тот факт, что двухзонная модель параболических зон Кейна является упрощенной, поскольку она не учитывает непа - раболичность зон, анизотропию валентных подзон и т. д.