Оптоэлектроника

Оптическая восприимчивость полупроводника

Теперь мы можем рассчитать оптическую восприимчивость, связанную с перехода­ми из валентной зоны в зону проводимости. Рассмотрим полупроводниковый кри­сталл объемом У в условиях квазиквантования. Предполагается, что структура ва­лентной зоны и зоны проводимости является параболической и описывается соот­ветствующими эффективными массами ту и /яс. При условии, что оптические переходы являются вертикальными, попробуем найти оптическую восприимчивость связанную с переходами при постоянной величине к между валентной зоной и зоной проводимости. Уравнения (7.4) и (7.(9) дают связь между валентной зоной £(к) и зоной проводимости Ес(к) в условиях связи через оптический переход (смот­рите рис. 7.1):

(7.12)

8

Где к есть модуль вектора к. Для упрощения (7.12) полезно ввести приведенную эф­фективную массу:

1 1 1

Тг тс тх,

Приведенная эффективная масса

Безразмерная оптическая восприимчивость, связанная с переходом между ква - зидискретными уровнями £(к) и £(к), в этом случае дается (3.26):

Где хДк) (= хус в соответствии с нашим предположением о независимости диполь - ных матричных элементов от к) есть элемент перехода в направлении Ох, выбран­ном произвольно для упрощения обозначений, ^с(к) = (£(к) - £(к))/й и Т2 есть время релаксации электронов в зонах. Л^(к) и ТУ (к) представляют концентрации носителей (см-3) на уровнях Ес и £. В этом случае полная восприимчивость опреде­ляется суммированием членов восприимчивости (7.14я) по волновым векторам к зонной структуры, т. е.:

Где множитель 2 связан с тем фактом, что для каждого вектора к имеются 2 спино­вых состояния. Предположим, что объем виртуального ящика достаточно большой, чтобы суммирование заменить интегрированием по к:

(7.15)

Правило эквивалентности между суммировани­ем по к и интегрированием по к и энергии Е

Где плотность р(к) выражена в 1/(см_3), р(Е) — в 1/Дж, а множитель 2 обуслов­лен спиновым вырождением. В изотропной среде микроскопические плотности #с(к) и #(к) в (7.14) определяются /?с(к)с13к и /?Дк)с13к, где рс(к) и рДк) равны и даются (5.17), при этом рс(к) = ру(к) = 2 К/8пъ = У/Ая7, (мы умножили результат на 2 для того, чтобы учесть вырождение по спину, при этом напоминаем, что У есть объем кристалла). К этим членам мы должны добавить выражение, соответ­ствующее термическому квазиравновесию: а именно мы должны ввести функ­ции Ферми—Дирака/с(Ес(к)) и fv (Еу (к)), описывающие вероятности заселенно­сти для уровней £(к) и £(к) и приведенные в (5.38) раздела 5.6:

1 + сМ‘Т

1 + Е, <7.16»)

/* = _____ 1_____

] + Р(Е-Е'.)'*Т

ЕРс и ЕРу есть квазиуровни Ферми для электронов и дырок (заметьте, что в дан­ном случае/у отличается от (5.44), поскольку здесь мы используем вероятность того, что состояние валентной зоны занято электроном). В этом случае бесконечно ма­лую разность плотности ТУ — ТУ в (7.14) для элемента с!3к можно заменить на:

N - N ~ ^к[/Д£(к)]{1-/Д£(к)]} ~/с [£(к)]{1 -/Д£(к)]}] =

(7.16 б)

= Р&щ[Е(Ю]-/с[Ес(т

Таким образом, оптическая восприимчивость получается интегрированием (7.14) по первой зоне Бриллюэна или:

*(«) = [ла3к{дК(к)]- /еК(к)]} - й>ге(к)]г - / (7Л7)

£0Й [®-^(к)]2Г22 +1

Мы предполагаем, что теории Кейна (смотрите дополнение 5.В) матричный элемент не зависит от к. Требование сохранения энергии может быть записано с использованием (7.4), (7.12) и (7.13) в виде:

Ьсо„=Ес{Ъ)-Еу(Ъ) = ^ + Ее 1тг

Ес(к) = Ее+^£- (7.18)

П2к2

Ад = -

2т„

Поскольку волновые векторы к и энергии фотонов Н су^ связаны, мы можем проин­тегрировать (7.17) по частотному интервалу падающих фотонов с использованием выра­жений (5.19) и (5.20):

Р'М = = - Ц^У /ь)'ПМ' (7.19л)

2я >

Или вновь:

’>)=-У^Г(*-£г/й),/2

Щс- (Е - )|/2 (7.19й)

А ,

Комбинированная плотность состояний (Дж-1 см-3)

Выражение (7.19) описывает комбинированную плотность состояний, связан­ную через энергию фотона Нсо. Подставляя последнее выражение в интеграл (7.17), мы получаем основное соотношение настоящего раздела:

^=13^ ?рХа^свЖЕ*)- 1 (7.20)

(со-а)КУТ2 +1

Оптическая восприимчивость, связанная с межзонным переходом в полупроводнике

В этом выражении связанные энергии £ и Ес являются функциями Н со посред­ством соотношений в (7.18). Коэффициент поглощения связан с мнимой частью оптической восприимчивости через (3.36), т. е.:

А(а>)=— Хы (7-21)

Ся„Р

ИЛИ

,2 v2

«И= Щ *'*(° х Г Р](юк)юк/, (£„)- /С{ЕС%--------------------------------- —уТ Ттг (7'22)

Е0Ьпорс ^ {а-о)кУ+ /Т2

Последнюю формулу легко упростить, если заметить, что лоренциан ведет себя как функция Дирака в сравнении с более медленно меняющимися функциями под знаком интеграла. В результате мы получаем коэффициент поглощения (в см-1) в виде:

А(а>)= ру(а>)|/,(Ла>) - /,(»®)] (7.23)

£0ЙИорС

Или вновь:

А{со)= - у(са)= а0(й) )(/„(/гй))- /Дйю)] (7.24)

Поглощение и усиление в полупроводнике (см-1)

Где у(со) есть усиление полупроводниковой среды, а а0(со) есть поглощение опусто­шенной зоны проводимости, при этом:

3/2

АМ-^кхг) ,7'2So)

Поглощение опустошенной зоны проводимости (см-1)

Функции/Хй со) и fv(hco) являются функциями Ферми—Дирака:

Л(й®)=----------------- J^—-

1 + ехр §Е с (hco)- Е F / кТ }

(7.256)

E'(f><»)= Eg+^(h<o-Eg)

Уравнение (7.24) показывает, что поглощение в прямозонных полупроводниках для фотонов с энергией, большей ширины запрещенной зоны, возрастает как ^1(Нсо — £) (смот­рите рис. 7.2). Уравнения (7.23)—(7.24) позволяют описать оптические характеристики полупроводника в условиях отклонения от термодинамического равновесия.

Условие оптического усиления (т. е. а(со) < 0) дается соотношением:

/с(Псо)-/у(Псо)> 0 (7.26а)

Или иначе с учетом (7.256) и (7.25<?):

ЕРс - ЕР>Ь с* (7.26 б)

Условие Бертрана—Дюррафура

Это последнее уравнение утверждает, что усиливаться будут лишь те фотоны, которые обладают энергией, меньшей энергетического зазора между квазиуров­нями Ферми. Эти квазиуровни связаны с неравновесной заселенностью N усло­вием, полученным в разделе 5.6:

N = рс{Е)------------- г-!--------------- ЛЕ (7.27)

Ъ 1 +ехр[(£- ЕР)/кТ

Это выражение относится к квазиуровню Ферми для электронов ЕРс, и анало­гичная формула имеет место для квазиуровня дырок. В условиях положительного усиления кривая, описываемая (7.23), называется кривой усиления в полупроводни­ке. Рисунок 7.2 иллюстрирует эволюцию кривой усиления в функции возрастаю­щего отклонения от термодинамического равновесия.