Оптоэлектроника

Нестационарные возмущения и вероятности переходов. Общий случай

Ситуации, при которых точные решения нестационарного уравнения Шредингера (1.12), к сожалению, встречаются нечасто. Нестационарное поведение электрона в квантовой яме достойно специального рассмотрения: оно может быть проанализиро­вано в качестве примера. В общем случае используем подход с использованием тео­рии возмущений, который дает нам возможность определить скорость переходов. Рассмотрим систему, описываемую гамильтонианом Н0 с начальным состоянием |у/.) в момент времени 0. В момент времени 0 мы включаем возмущение Ж (г) = а £/(/), при

Этом на а и и (0 накладываются те же условия, что и в предыдущем разделе,

А именно а « 1 и V ~ Н0. Для решения уравнения Шредингера:

1До + И'Ч'ЯМ*) (1.63)

И описания эволюции системы, мы можем разложить у/(1)) по базису стационар­ных состояний, как это дается уравнением (1.6):

И0) = Хс„(0Ю (1.64)

Подстановка (1.64) в (1.63) и перегруппировка подобных членов дает систему связанных дифференциальных уравнений, связывающих коэффициенты сл(/) друг с другом:

1й-^с„(0 = Е„сп(!) + '£аи„р(0сри) (1.65)

Р

Где и — элементы матрицы:

1.6. Нестационарные возмущения и вероятности переходов 29

U„p(t) = (ҐnU(t)Ґp) (1.66)

Предположим, что из соображений симметрии Umn = 0 для любого заданного уровня п. Теперь сделаем следующее изменение переменных:

B„(t) = (1.67)

Это приводит к следующей записи уравнения:

1й^л(о= (1.68)

Р

Где о) = (Еп — Ep)/h — блоховская частота колебаний для перехода п —»р. Как и в разделе 1.5, осуществим ограниченное разложение:

Bn(t) = £<0)(0+ &bw({)+ a2b^(t)+ ... (1.69)

Позволяющее сгруппировать подобные по степеням а члены после подстановки

(1.69) в (1.68).

Нулевой порядок

Находим, что Ьп (0) является константой. Это соответствует решениям для стацио­нарных состояний, даваемых (1.29).

Вклад q-ro порядка

Мы получаем:

Й £ Г(') = (г) (1.70)

Р

Таким образом, как только найдено решение нулевого порядка, мы можем рас­считать решение первого порядка и затем последовательно решения других поряд­ков. На протяжении оставшейся части главы нас будут интересовать возмущения нулевого порядка. Подход с использованием возмущений второго порядка будет развит в главе 12 в связи с нелинейной оптикой.

При t =0 система находится в состоянии | у/) с начальными условиями:

Ао(, = О)= 1

' (1.71)

Ли°(/ = 0)= 0 , для / Ф п

В нулевом порядке эти величины остаются неизменными во времени. Подста­новка этих величин в (1.70) дает уравнение временной эволюции:

(1.72)

Которое приобретает интегральную форму:

(1-73)

О

Теперь мы уже в состоянии рассчитать вероятность Р^(0 обнаружения системы в конечном стационарном состоянии Щ) в момент времени /. Следуя вероятност­ной интерпретации квантовой механики, это может быть получено с использова­нием оценки Ьр)2 или выражения:

T

Pr(t) = j t'4'W Ґ

0

Вероятность перехода между уровнями / и f под воздействием нестационарного возмущения

Где

(1.74 б)

Эта формула является одной из наиболее важных в квантовой механике, и она будет использоваться на протяжении всей книги. Сейчас же мы используем ее для рассмотрения особенно важной и интересной задачи с изменяющимся во времени синусоидальным возмущением.