Оптоэлектроника

Модуляторы электропоглощения на эффекте Франца—Келдыша

Когда мы прикладываем к полупроводнику статическое электрическое поле, бло - ховские волновые функции уже не представляют стационарные состояния кристал­ла, т. к. потенциал более не обладает периодичностью межатомного расстояния. Соответствующее изменение в волновых функциях оказывает существенное влия­ние на оптическое поглощение. В данном случае полупроводник может поглощать фотоны с энергией Ь (о, меньшей ширины запрещенной зоны Е&. Более того, выше запрещенной зоны спектр проявляет осцилляции, накладывающиеся на обычный характер зависимости (%о)— £)1/2, реализующийся в условиях Р = 0. Это и есть т. н. эффект Франца—Келдыша. Как мы увидим позже это явление эффективно исполь­зуется в электромодуляторах. Начнем с того, что представим формализм, позволя­ющий описать этот эффект.

Произвольно предположим, что электрическое поле ориентировано в направлении ь В этом случае уравнение Шредингера приобретает вид:

4— + КДг) - е/% ¥(Т) = Еу/(Т)

Мы можем разложить волновую функцию у/ в базисе блоховских функций |як) = ип к(г)е1кг (решения уравнения в отсутствие электрического поля) в виде:

(7.А.2)

(7.А. З)

Второй член в последнем уравнении, обусловленный полем, может быть преобра­зован следующим образом:

(7.А.4)

Последний член в этом выражении исключается, т. к. интеграл по к является периодичес­кой функцией по к с периодом 2п/а^ где аг есть постоянная элементарной ячейки. С уче­том периодичности млк(г) по г и ортогональности базиса другие члены имеют вид:

£ (М£|фк)а„(к) = і + £ іаЛЮАк | СІГИ;К(Г)^Р =

= і^^ + Ха"<К)г»»<К)

Гм,(К) = - рт|дгц*к(г)э“^(г) = у— | (1ги*к(г)ги^к(г)

В этом случае уравнение Шредингера с коэффициентами а (к) приобретает вид:

ЕР£ г*,(К)й,(К) = [Е -г„(К)>„(К) (7.А.6)

П

Уравнение Шредингера для кристалла в присутствие электрического поля

Последнее уравнение возникает во всех случаях, связанных с наложением элек­тростатического поля на кристаллический потенциал, как это имеет место в эффек­те туннелирования через запрещенную зону (эффект Зенера).

С использованием подхода теории возмущений найдем решение, близкое к ^0); сна­чала мы можем пренебречь влиянием членов, обусловленных зонами спф N(3 этом случае зоны являются несвязанными). Член остающийся в сумме, может быть перенесен на­

Право. В то же время не будем пренебрегать им и будем надеяться на то, что я^К) будет играть важную роль только при К = 0 и zNlJ^0) = 0 для экстремума зоны N

При Е=€^0) решение (7.А.6) имеет вид:

Я„(К) = ЯдДК,, Кг) = а„(К||( 0)ехрЦ-1[Е - £„(К')]с1К; =

Мы ввели эффективную массу для ТУ1 ной зоны и 1^ = (Кх, К^. В действительности, сделан­

Ные аппроксимации являются теми аппроксимациями подхода эффективной массы, которые мы более детально изучим в Главе 8. Теперь мы уже может рассчитать следующую функцию:

(7.А.8)

Она представляет собой ничто иное, как огибающую функцию, описывающую из­менение волновой функции стационарного состояния в направлении электрического поля. С этой целью используем следующую формулу (смотрите уравнение (10.4.32) Аб - ромовича и Стегуна):

(Зя) ,/3яАі[(Зя) 1/3 х= Jсо8(яг3 + хґ)&

Таким образом мы получаем следующее выражение для огибающей функции:

2/Яд,

(7.А. 10)

Огибающая функция для электрона в зоне N

В представленном выражении АЦг) есть функция Эйри, которая по определению есть решение уравнения:

Д2М

--<Аі(с) = 0

Сії2

Эта функция стремится к нулю, когда г —> °°. Рисунок 7.А. 1 иллюстрирует общий вид этой функции. В действительности:

3/2

(7.А.12)

При I < 0 функция осциллирует с уменьшающимся периодом:

3/2

(7. А. 13)

С первого взгляда решение (7.А. 10) может показаться несколько сложным. Однако мы увидим, что поведение функции легко может быть понято. Сначала мы отметим, что аргумент функции Эйри в (7.А.10) равен 0 для ^ = (£— е^О) - Н2К^/2т„)/еР. При £ < %о функция уменьшается экспоненциально. Рис. 7.А.2 показывает, что этот эф­фект аналогичен туннельному эффекту, когда волновая функция проникает в зап­рещенную зону полупроводника. При г > функция осциллирует все более и более быстро, что соответствует увеличению кинетической энергии (смотрите рис. 7.1). Более того, решения для других энергий — те же самые за исключением того, что они являются транслированными на Аг0 = АЕ/еР. Одним из следствий этого свой­ства является то, что нормировочная константа аы(0) не зависит от или Е.

Рис. 7.А.2. В присутствии элек­трического поля волновые функ­ции С, электронов и дырок пере­крываются даже в том случае, если они разделены по энергии на ин­тервал, меньший размера запре­щенной зоны Это обеспечива­ет возможность оптического по­глощения фотонов с энергией, меньшей ширины запрещенной зоны.

Теперь мы можем описать квантовые эффекты, связанные с поглощением, име­ющие место в полупроводниках в условиях приложенного электрического поля. Рисунок 7.А.2 показывает две электронные волновые функции в валентной зоне. Решения для дырок в валентной зоне эквивалентны решениям для электронов: нам нужно лишь заменить те на —/яЛ, где дяЛ есть (положительная) масса дырок. Как следствие этого направление движения частиц в поле изменяется. Мы видим так­же, как электроны (и дырки) могут перемещаться через запрещенную зону за счет туннелирования. Вероятность проявления этого (зенеровского) эффекта связана с интегралом перекрытия между экспоненциальной волновой функцией и обращен­ной к ней валентной зоной. Аналогичным образом мы можем догадаться, что можно перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости за счет поглощения фотона, даже если его энергия Н со меньше Е&. Для этого необходимо лишь, чтобы две волновые функции имели ненулевое перекрытие. При фиксированной величине Н со это перекрытие уменьшается экспоненциально по мере того, как /г-> 0. Говоря более точно, скорость перехода между состоянием |Кц, Е{) в валентной зоне и состоянием |Кц, Е2) в зоне проводимости дается золотым правилом Ферми: 5(1 ->2)=1 (2еЕш • г|1)|2<5(£2 - Е1 - По>) (7.А. 14) Если мы подставим в это последнее выражение волновую функцию, получен­ную в (7.А.10), мы найдем аналогично (7.10) оптический матричный элемент:
(2|еЕ„ ■ г|1) = Дкк'|(«сН„ • гК)|2£ а'ЛК'ЫК')
(7.А.15)
В этом выражении частью, которая изменяется по отношению к случаю с Р= 0, является сумма:
(7. А. 17)
2-
П2е2Р2

Существенным моментом является то, что / отличается от 0, когда Е2~ Ех = Н со меньше, чем Е'. Именно этот член ответственен за эффект Франца—Келдыша. Для расчета полной скорости перехода на заданной частоте нам необходимо просумми­ровать по всем начальным состояниям, т. е. по всем Кц и Ег при этом энергия конечного состояния Е2 составляет Ех + Ьсо. Для этого мы временно опустим кон­станты и вновь подставим их позже при стыковке полученных результатов с фор­мулой при Р = 0. Вводя характеристическую энергию Франца—Келдыша:

(7. А. 18а)

А также безразмерную переменную:

Получаем для суммы по Кц*.

Последний интеграл можно проверить, беря его производную и используя уравне­ние для определения Аі(г): Аі'Хг) =

При Е -> 0 поглощение в функции Ь а) должно согласовываться с ранее полу­ченным результатом (уравнение (7.24)):

А(^го), Е = 0)= аь^Нсо- Е%

При Р 0 и Нсо < Е8, — <*> (7.А.18) стремится к нулю, как этот и должно

Быть. При Е-> 0, к со >Е, £—> ©о мы должны использовать асимптотическую форму (уравнение (7.А. 13), что приводит к:

А(П(о, Р = 0)=А^-4'/2 = Р О

К 71 у р

Приведенная зависимость имеет такой же характер, как и (7.А. 19). Сравнение (7.А. 19) и (7.А.20) определяет, таким образом, окончательный результат:

А(Па>, Р)= аьри2я[Аі,2(-£)+|Аі2(-£)]

Поглощение в присутствии электрического ПОЛЯ

Рисунок 7.А. З иллюстрирует особенности поглощения в полупроводнике в ус­ловиях приложенного электрического поля.

Для фотонов с энергией меньше ширины запрещенной зоны наблюдается не­нулевой коэффициент поглощения, в то время, как при Нсо > Е наблюдаются ос­цилляции поглощения в функции энергии фотонов.

Пример--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Для приложенного электрического поля с напряженностью Е= 10 кВ/см и тг = тетИ(те + /ял)= 0,059/я0 (в случае ваА*) мы получаем характеристическую энергию Франца—Келдыша величиной:

В этом случае поглощение при Ь. со - Е = —8,6 мэВ составляет (смотрите рис. 7.А. З) Д-1) = 0,022 или 2,2% от той величины, которая была бы при Нсо — Е& = +8,6 мэВ в отсутствии приложенного поля.

Этот эффект используется в модуляторах на эффекте Франца — Келдыша. Основ­ной принцип их функционирования достаточно прост (смотрите рис. 7.А.4). На полу­проводниковый волновод (с шириной запрещенной зоны Eg) наносится металличес­кий электрод для формирования барьера Шотгки с полупроводником (см. главу 10).

При приложении разности потенциалов V между этим верхним электродом и омическим контактом с тыльной стороны полупроводника мы вводим электрическое поле напряженностью F= V/d, где d — расстояние между верхним и нижним контак­тами (для минимизации какого-либо падения напряжения из-за эффектов простран­ственного заряда уровень легирования полупроводника выбирается достаточно низ­ким). Приложение разности потенциалов величиной 5 В к межконтактному зазору величиной 1 мкм приводит к напряженности электрического поля 50 кВ/см, что соответствует характеристической энергии р = 25 мэВ. В результате этого фотоны, распространяющиеся в волноводе с энергией Eg — 25 мэВ будут испытывать погло­щение, в 100 раз большее по сравнению со случаем отсутствия поля. Из этого легко видно, каким образом мы могли бы использовать такой прибор для преобразования электрического (изменяющегося во времени) сигнала в оптический сигнал.

Такие приборы называются модуляторами электропоглощения на эффекте Фран­ца-Келдыша. Модуляторы этого типа являются чрезвычайно быстродействующими (с максимальной рабочей частотой, лежащей в диапазоне десятков ГГц), так как для своего функционирования они не требуют пространственного смещения элект­рических зарядов. Что не имеет места, например, в случае SEED-модуляторов (прибо­ров на основе собственного электрооптического эффекта, смотрите дополнение 8.В).

Лл

Рис. 7.А.4. Функционирование электрооптического модулятора на эффекте Франца - Келдыша.