Матрица плотности и время релаксации для двухуровневой системы
|
М0 = |
Рассмотрим двухуровневую систему с гамильтонианом #0, обладающим собственными энергиями Е1 и Е2 и стационарными состояниями 11) и |2) (т. е. Я0|/) = £.|/))- В базисе стационарных состояний гамильтониан Н0 может быть записан в виде:
(1.98)
В момент / = ї0 мы подвергаем систему синусоидальному возбуждению Ж(/), которое в базисе |1) и |2) может быть записано следующим образом:
|
Щ: ТТ |
|
СОБ Ш |
 |
|
|
|
|
|
Где т — (/|Ж|у). Мы можем предположить из соображений симметрии, что элемен
*п, ,п22 нулевые и что члены тп и т2Х являются действительными и равными. Общий случай может быть рассмотрен как упражнение. В этом случае уравнение (1.97) может быть записано следующим образом:
-^Г = -1 - у - 0^21 - Рп )соз Ш
Ты ая,.
|
(1.100) |
■^(Рп + Ргг) = 0
^і - = - І(Огхрп + І^~-(р22 ~ Рп )С08 Ш
Второе уравнение системы (1.100) означает, что полная заселенность сохраняется (т. е. рп + р22 = 1). Решения этой очень важной системы связанных дифференциальных уравнений даны в дополнении 1. Д. Тем не менее, уже сейчас мы можем исследовать временную эволюцию системы. Например, ясно, что члены при cos cot будут вести себя таким образом, чтобы ввести систему в колебательный режим. Если возбуждение прекращается (т. е. предполагая, что приравниваем тп нулю) диагональные элементы останутся постоянными, а недиагональные элементы будут продолжать осциллировать с частотой со21.
Интуитивно мы могли бы ожидать, что как только возбуждение прекратится, уровни заселенности р.. будут стремиться к уровням термодинамического равновесия рр с определенной постоянной времени, определяемой стохастическими взаимодействиями. Эту постоянную времени часто называют временем диагональной релаксации или временем заселенности, не говоря о других названиях. Обозначается оно обычно как Т{, когда его величина не зависит от i в т. е. не зависит от уровня. В другихх ситуациях принято использовать скорость релаксации Г.. Аналогичным образом мы можем ожидать, что недиагональные элементы теряют когерентность с постоянной времени Г~1 или Т2, если эта постоянная не зависит ij. При введении этих различных времен релаксации уравнения для матриц плотности приобретают вид:
0^2’ — P12 )cos oyt — Р" ~Р"
= РпУо&Ш(1.101а)
At п 7,
•%L = - Ш21р21 + i ^-(р22 - рм )cos cot - at п /2
Временная эволюция элементов матрицы плотности для двухуровневой системы
Или
^ - pjcosat - Г^ - р«)
At п
%- = - pjcosat - г;(рп - А?) (1.1016)
At п
= - i(й^| - ir,2)p2l + i (р - р )cosat at h
Временная эволюция элементов матрицы плотности для двухуровневой системы
Последние два выражения представляют собой два наиболее важных заключения этой первой главы, и они будут интенсивно использоваться на протяжении всей книги. Дополнение 1. Д дает пример применения полученных результатов, трактовка которых подводит нас к оптическим блоховским уравнениям.
