Оптоэлектроника

Линейная оптическая восприимчивость в приближении матрицы плотности

Поинтересуемся теперь взаимодействием между двухуровневой квантовой системой и пла­нарной электромагнитной волной. Эта двухуровневая система описывается гамильтонианом Я0 со стационарными состояниями |1) и |2) и собственными энергиями Ех и Е2 (т. е. #0|/) = Е.|/)). С тем, чтобы более не беспокоиться о путанице между операторами и классически измеряе­мыми величинами, мы (временно) позволим себе отбросить символ «А» в обозначении опера­торов. В базисе стационарных состояний гамильтониан Н0 может быть записан в виде:

(3.14)

В момент времени / = 0 система подвергается возмущению ]¥{() = - ег (электрический дипольный гамильтониан). В базисе состояний |1) и |2) матричное представление IV имеет вид:

О 012 А, 0

Где члены представляют собой элементы дипольной матрицы:

Оу = д(іє ■ г|у)

Напомним, что в этом выражении є— вектор поляризации волны. Мы предположили, что система симметрична относительно центра и, как результат этого, элементы £>и и 022 рав­ны нулю. Кроме того, для упорядочения обозначений мы предположили, что Е>п и /)21 действительны и таким образом равны. Как мы видели в разделе 1.9, система может быть описана своей матрицей плотности и в этом случае уравнение Шре - дингера (смотрите (1.101) может быть записано в виде:

Рп)с05М -Г,(ри - р$)

~ Р2 — Г] (р 22 ~ Рп )

-іГ2)р2І ІР22 - А1 )с<*

Где Г{ (= 1/Т{) — скорость неупругой релаксации заселенности между двумя уров­нями, а Г2 (= 1/Т2) — скорость фазовой релаксации. Как описано в дополнении

1. Д, нам известно, что после переходного периода, длящегося несколько Т2, рп будет осциллировать как cos cot, в то время как члены р п и р 22 будут стремиться к своим стационарным величинам. Таким образом, целесообразно провести замену переменных:

Рп =

(3'“’

Которые после введения в (3.17) и после пренебрежения нерезонансными членами в со + со2Х, приводят к системе уравнений:

(®21 - »)- »4" а21 = * Е0^Р

Т2

(3.19)

4: *Р + Ар гР = Х^Р-Ео(о~2! - ^2)

Dt Тх П

Будучи в стационарном состоянии, заселенности рп, р22 и таким образом Др=рп— р22 являются постоянными так же, как и амплитуды ах2 и <т21. В этом случае уравнения (3.19) приобретают вид:

Я12 1 К -0))-1 —

Ар ~гдр = -20,2 Im (сх21),

Где, как мы напоминаем, Ц2 = дЕ0|(1|г * я|2>/й = Е0Г)п/Ь, — частота Раби (смотрите дополнение 1.Д). Эта система может быть сразу решена, что дает:

1 + (со2Х - со)2Т2 а «ч /л ч

Ар =------------- —------------ у-——2---- Ар (3.21а)

1 + (со21 — со') т2 +

1ш (Т21 = ----- ----------- -^—5-------- 5------ д(3.216)

1 + (р2х - (о) Т2 + £1Х2ТХТ2

^ <Т„ = ^--------------- -------- ^4------------- 1----- Vе4 (3.21«)

1 + (со21 - со) Т2 + 0.Х2ТХТ2

Для того, чтобы перекинуть мостик к макроскопической шкале, мы должны вспомнить, что число частиц в состоянии |1) и |2) дается выражениями — Ырпи

ЛГ2= Ир22, где N — полное число частиц. С другой стороны уравнение (1.92) дает нам среднее смещение частицы в двухуровневой квантовой системе:

(г) = Тг(р г) = гп(ра + р2Х) (3.22)

С учетом (3.16) и (3.18) поляризация среды в направлении вектора поляриза­ции дается соотношением:

Или вновь:

Р = 2NDn (Re (T2l cos cot + Im a2l sin cot) (3.236)

Таким образом мы вводим линейную оптическую восприимчивость ^ (я;), опре­деляемую как:

Р(0 = Re[eQz(co)eia*] = Ђ0E0ixRcos cot - izlm sin cot) (3.24)

Оптическая поляризация и линейная восприимчивость

Где

Z(<o) = ZRc(co) + izlm(co) (3.25)

В атомной физике величина e^ico) является поляризуемостью квантовой систе­мы. Член zRc, который синфазен с волной i^cos cot, описывает мгновенную реак­цию среды и приводит к росту коэффициента преломления. С другой стороны,

Член Хт отстает по фазе на 90° от возбуждающей волны и, как мы увидим в следу­

Ющем параграфе, описывает поглощение (или диссипацию, имеющую место в сре­де). Проводя идентификацию члена за членом, мы можем обнаружить три макро­скопические величины, которые описывают взаимодействие двухуровневой систе­мы с электромагнитной волной, а именно: различие заселенностей, действительную и мнимую части линейной оптической восприимчивости:

", - ".--------------------------------------------- ("Г - "Г ) (3.26с)

1 + fa*», - ап Т, + ПлГ. Г, V )

1 + (а)21 - а))2Т2 + £1пТхТ2

(лС-лС) (3.266)

Х = х ---------------- (3.26е)

Эти уравнения иногда записывают в более компактном виде:

Д ^ = 1—ЬМ 4 (3.27а)

1 + 6а>2Т2 +£1пТ, Т2

0.1Т22 & .. ,

У =——----------------------------- =—г-А N (3.276)

Кс е0Н + 8(02Т2

П2Т2 1

Х --------- (3.27в)

Лы е0П 1 + Яй)2Т2

Теперь мы опишем связь между этими величинами и макроскопическими свойства­ми, такими как поглощение и усиление квантовой системы.