Оптоэлектроника

Эффективная масса и плотность состояний

Обе модели (жесткой связи или почти связанных электронов) приводят к одному и тому же результату в том, что касается дисперсии энергии Е (к) вблизи экстрему­мов валентной зоны и зоны проводимости kext (смотрите дополнения 5.А и 5.Б). В обоих случаях мы приходим к квадратичной зависимости Е от к, представляемой матричным произведением:

£(к) = Е'Я + - у(к - Kext)' М -'(к - kext) (5.14)

Где А — транспонированный вектор Ли М — действительная симметричная матри­ца, называемая матрицей эффективной массы по причинам, которые будут разъяс­нены позже. После диагонализации матрицы М~1 мы видим, что зонная структура может быть записана в виде:

Е(к) = Е'»+^

подпись: е(к) = е'»+^(K - kext t У ^ (к2 — ktxt 2 У ^ (къ — kext 3 У ^ ^

/я, т2 тъ

Где к. и kexi. являются компонентами к и kext так же, как собственные векторы М~1. Мы узнаем выражение, связывающее энергию и волновой вектор свободных электронов (Е = h 2к2/2т), но с другой массой. Это и есть эффективная масса, обусловленная взаимодействием электронов с периодическим потенциалом крис­талла. Эффективная масса положительна, когда кривизна такова, что направляет дисперсионную зависимость вверх, и отрицательна, когда дисперсионная зависи­мость направлена вниз. Значение этой отрицательной эффективной массы мы рас­смотрим позже. Поверхности постоянной энергии, получаемые при Е= const обра­зуют эллипсоиды, центрированные вблизи экстремумов зоны Бриллюэна. Рисунок

Эффективная масса и плотность состояний

Si

GaAs

Рис. 5.8. Эллипсоиды постоянной энергии в Si и GaAs.

5.8 иллюстрирует такие эллипсоиды постоянной энергии вблизи экстремумов зоны проводимости и валентной зоны кремния. Как следует из таблицы приложения (стр. 588) кремний характеризуется двумя эффективными массами — одной в попе­речном направлении тйХ и другой — в продольном направлении теУ

Для большинства полупроводников валентные зоны вырождены при к = 0. При­чиной этого является преимущественно триплетная природа sp3-орбиталей, форми­рующих валентную зону. Однако вырождение снимается при к ф 0, что приводит к подзонам с различной кривизной. При этом подзоны с малой кривизной обладают большей эффективной массой. Такие подзоны называются подзонами тяжелых дырок (позже мы объясним, что мы подразумеваем под понятием дырка). И напротив, подзоны с большей кривизной называются подзонами легких дырок. В таблице при­ложения (стр. 588) представлены различные эффективные массы в Si и Ge.

Теперь нам предстоит рассчитать плотность состояний в различных разрешен­ных зонах. Этот параметр имеет фундаментальное значение во всех расчетах, свя­занных с переходами между зонами. Для того, чтобы без необходимости не пере­гружать систему обозначений, временно сконцентрируем свое внимание на про­стом примере, связанном с зоной проводимости GaAs, где эффективная масса является изотропной. В этом случае зонная структура дается выражением:

SHAPE \* MERGEFORMAT Эффективная масса и плотность состояний

(5.16)

подпись: (5.16)Е(к) = Е' + + к] + К) = Ес +

2

2 тс

подпись: 2 тсТс

Где к есть модуль волнового вектора к, а Ес — энергия минимума зоны проводимо­сти. Мы можем легко рассчитать плотность состояний в к-пространстве. Уравнение

(5.10) показывает, что в объеме с!3к = дкйкдк1 в предположении цикличных гра­ничных условий Борна—фон Кармана имеется (УУях)(УУя )(Иа )/8я3 =^78я3 состоя­ний. Если бы мы использовали граничные условия в (^.9), плотность состояний составила бы У/Ък3, но объем интегрирования в этом случае (при положительной величине л2, п3) был бы в восемь раз меньше. Плотность состояний в ^-про­странстве есть бесконечно малое число состояний = р(к)сРк, расположенных в

Элементарном объеме сРк:

Эффективная масса и плотность состояний

(5.17)

Плотность состояний в /с-пространстве с учетом периодических граничных условий и в пренебрежении спином электрона

2т*

Где т* — средняя эффективная масса зоны проводимости, которая определяется соотношением:

Т* = (птУ2та)

2т*

1/2

(Е-Ес)

1/2

~ Е)

,3/2

1/2

(Е-Ес)

1/2

К2йк -2

Число состояний с1/Ув объеме между двумя сферическими поверхностями ради­уса к и к + йк вблизи экстремумов зон в этом случае дается выражением:

 

Ауу = -^-АлкЧк = ^к2йк

8л 2л2

 

(5.18)

 

Этот объем к2йк в &-пространстве соответствует эквивалентному объему в энергети­ческом пространстве, получаемом дифференцированием (5.16):

 

3/2

 

Эффективная масса и плотность состояний

(Е-ЕсУ/2йЕ

 

(5.19)

 

Энергетическая плотность состояний рс(Е) в зоне проводимости ваАз есть число состояний, расположенных между значениями энергии Е и Е + сЕ. Для того, чтобы найти число состояний, нам необходимо только подставить (5.19) в (5.18), не забывая учитывать вклад из-за вырождения электронов по спину (это позволяет двум электронам с противоположно направленными спинами зани­мать тот же самый энергетический уровень). Соответственно, окончательное вы­ражение должно быть умножено надвое, что дает:

 

Эффективная масса и плотность состояний

(5.20)

 

2п2

 

Плотность состояний для изотропной зонной структуры

Обобщение этого результата на случай эллипсоидов произвольной формы при­водит нас к теории конических сечений и в данном случае не представляет особого интереса. Мы находим, что для непрямых зон проводимости, в случае кремния и германия имеет место:

 

.3/2

 

Эффективная масса и плотность состояний

(5.21)

 

V

 

(5.22)

 

И где п — число эквивалентных долин (п = 6 в 81 и 4 в ваАБ). Эти величины также приведены в таблице приложения (стр. 588). Аналогично плотность состояний ва­лентной зоны определяется соотношением:

 

ЧЗ/2

 

Эффективная масса и плотность состояний

(5.23)

 

Где Еу есть максимум валентной зоны, при этом эффективная масса для эффектив­ной плотности состояний валентной зоны есть:

 

(5.24)

 

Важно помнить, что плотность состояний в трехмерном кристалле возрас­тает как Е?/2 и т3/2. Рис. 5.9. схематически показывает зонную структуру и плот­ность состояний, полученные с использованием квадратичной аппроксимации вблизи экстремумов зон.

Эта модель не позволяет сделать никакие общие заключения о характере посе­редине зоны, где квадратичная аппроксимация явно нарушается.

 

Эффективная масса и плотность состояний

Эффективная масса и плотность состоянийРис. 5.9. Зонная структура (а) и плотность состояний (б) вблизи экстремумов зон разрешенных состояний.

Оптоэлектроника

Приобретаем- купить осциллограф, тепловизоры, источники питания

Тепловизионные камеры. Тепловизоры testo - полупроводниковые приборы, наделённые возможностью наблюдать тепловое либо световое излучение. Тепловизор flir на собственном мониторе изображает оранжевыми, красными и желтыми цветами объекты, источающие тепло, но прохладные …

Конкуренция мод: перекрестные модуляторы

В дополнении 11.Д мы видели, что вблизи порога полупроводниковый лазер может генерировать в многомодовом режиме несмотря на то. что усиливающая среда яв­ляется однородной. При достаточно сильном возбуждении настолько выше порога, …

Униполярные квантово-каскадные лазеры

Одной из характерных особенностей полупроводниковых лазерных диодов являет­ся то, что в прямо смещенном диоде принимают участие два типа носителей (элек­троны и дырки). Это делает традиционные лазерные диоды биполярными приборами. Существует …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов оборудования:

Внимание! На этом сайте большинство материалов - техническая литература в помощь предпринимателю. Так же большинство производственного оборудования сегодня не актуально. Уточнить можно по почте: Эл. почта: msd@msd.com.ua

+38 050 512 1194 Александр
- телефон для консультаций и заказов спец.оборудования, дробилок, уловителей, дражираторов, гереторных насосов и инженерных решений.