Моделирование миграции подземных вод

Перенос в слоистых пластах

На процессы переноса значительное влияние оказывает слоистость водоносных пластов, генетически обусловленная для всех осадоч­ных отложений (см. рис. 6—8).

При движении потока вдоль слоев (горизонтальная фильтра­ция в горизонтально-слоистых пластах) учет слоистости наиболее просто производится по схеме послойного переноса, в кото­рой пренебрегают поперечной дисперсией между слоями. В этом случае перенос в каждом слое протекает как бы изолированно от влияния соседних пластов, а общее количество мигранта опреде­ляется суммированием его содержания в каждом слое. Соответ­ственно среднее значение концентрации мигранта ст в слоистом пласте общей мощностью т, состоящем из г слоев мощностью т, каждого 1-го слоя, будет 66

Cm =-" 2 ще і = 2 ті = тііт• (4.21)

Количество мигранта, проходящего в пласте через любое вер­тикальное сечение, характеризуется «выходной» концентрацией св:

= (4-22)

1-і

Где q — удельный расход потока; Vi — скорость фильтрации в і'-м пласте.

Рассмотрим наиболее простой случай послойного переноса по схеме поршневого вытеснения без учета кинетики обменных про­цессов, когда в начальном сечении х=0 одномерного потока, на­чиная с момента времени t=0, подается мигрант с постоянной от­носительной концентрацией с°= 1. При этом концентрация с бу­дет иметь значения сг = 0 при t^x/tii и cL= 1 при Г>х/щ (где щ — скорость конвективного переноса в 1-м слое).

Записывая выражение (4.21) в виде

-с,), (4.23)

1-і

Заметим, что, поскольку т( представляет собой относительную ча­стоту (частость) встречаемости в разрезе значений щ, входящая в выражение (4.23) сумма является функцией распределения коэффициента конвективного переноса х. А. А. Рошаль [30] рас­смотрел выражения для ст и св при нормальном и асимметричном законах распределения к. При нормальном распределении, когда плотность распределения величины % описывается выражением

А (х) =-........... ------ ехр

' У 2,- km Е 2km* Е»

Е == Ek - f - Е„ , Ek - Ея = , (4.24)

Km

(где nm и km — средние значения пористости и коэффициента филь­трации; и 0п — средние квадратические отклонения k и п), сред­няя концентрация ст описывается уравнением

С — effc * nmX — Vmt

Т 1 + erf (1//2 Е) ' y'2vm Е t '

Где Vm~q/m — среднее значение окорости фильтрации. Из этого уравнения следует, что время t0,5 прохождения средней концентра­ции ст=0,5 оказывается несколько меньше среднего времени пор­шневого вытеснения to—rimx/vm (например, для значений £= 1; "2; 3; 4 получаются следующие величины отношения /o, s/fo-" 0,83; 0,56; 0,41; 0,32), а величина /п//°к (где /п —размер переходной зоны; l°K=vmt/nm) остается постоянной во времени (при сравнительно малых значениях Е в диапазоне изменения относительной концент-

Рации Cm от 0,97 до 0,03 получа­ется /п//к°=Е). Несколько боль­шее различие значений to, s и до­получается при анализе выход­ной концентрации св.

Для асимметричного распре­деления А. А. Рошаль рассмот­рел также случай, когда плот­ность распределения х выража­ется однопараметрической функ­цией Релея

Рис. 12. Схема переноса в двухслой­ном пласте:

1 — разделяющий слой; 2 — проводящий слой; 3, 4 — направления переноса в про­водящем и разделяющем слоях

Cm = ЄХР

Из анализа этих выражений следует, что время прохождения средней концентрации немного сдвинуто относительно среднего времени поршневого вытеснения, а переходная зона остается по­стоянной во времени.

В более общем случае, когда на границе *=0 одномерного потока задаются реременные по сечению и во времени значения граничной концентрации cP(t), в выражениях (4.22) и (4.23) будет Ci—d°t—(х/щ), а если учитывать гетерогенно-блоковое строение пород внутри слоев, то значения с находятся из соответствующих решений задач переноса по схеме гетерогенно-блоковой среды (см. гл. 2).

Процессы переноса в слоистых пластах могут существенна усложниться в результате влияния поперечной диспер­сии, в связи с чем особый интерес представляет ее оценка при­менительно к используемым расчетным схемам переноса.

Дадим обоснование значимости и способа учета поперечной дисперсии при переносе в слоистом пласте применительно к условдям продольного фильтраци­онного потока в двухслойном пласте (рис. 12) при резком различии проницае­мости слоев (например, при чередовании глинистых и песчаных слоев), считая, что в таких условиях можно пренебречь конвективным переносом в разделяю­щем (слабопроницаемом) слое и дисперсией в проводящем (проницаемом). Тог­да распределение концентраций мигранта в проводящем Сі и в разделяющем слое описывается дифференциальными уравнениями

(4.25)

Где я, и п3 — пористость проводящего и слабопроницаемого слоев, соответствен­но; rtti и т2 — мощности проводящего и слабопроницаемого слоев; q=vxmі — удельный расход фильтраций в проводящем слое при скорости фильтрации Vn

Du — коэффициент молекулярной диффузии (поперечной дисперсии) в слабо­проницаемом слое.

Уравнение (4.25) удобно решать, вводя в него интегральные изображения по Лапласу — Карсону. Тогда при начальном нулевом условии первое из урав­нений (4.25) представится в виде

DCi п „ , л

ЩтурСх 4- q-------- + DUCZ = 0, (4.26)

Dx

Где p — параметр преобразования; Сі и С/ — изображения вличин сі и cz'~ Выражение для Сг' получается решением записанного в изображениях второго уравнения (4.25):

(4.27)

Подставляя выражение (4.27) в (4.26), получим уравнение с разделяющи­мися переменными, решение которого при

С, — СУ> ехр

Обратный переход от этого изображения к оригиналу рассмотрен в рабо­тах [30, 31, 38]. В частности, при т->оо решение имеет вид [38]:

* ел - tn * У "г®* сх = с0 erf с с0; ;н - •—

2 Vч (я* — щщх)

Рассматривая предельный случай этого решения при отсутствии диффузии, можно обосновать условие применимости схемы послойного конвективного пе­реноса в слоистых пластах. Для этого предположим, Что в нем с/с°=0,5, ЧТв соответствует |=0,476, и заменим х на ^(1—Ь„)і/(пііпі), где б» — погрешность расчетов скорости фильтрации по схеме послойного переноса. Тогда из выраже-

ДЛЯ I"

П\т\ (1-S^)3

Принимая реальные значения допустимой погрешности 6»— = 0,1—0,2, получим для времени применимости схемы послойног© переноса критерий

* <(0,1-0,3)

Такой же критерий (при нижнем значении числового коэффи­циента) получен в работах [23, 31] из анализа баланса мигранта в процессе обмена между слоями. Дадим по этому критерию примерную оценку времени применения схемы послойного пе­реноса при типичных значениях мощностей слоев Ш\ = ті = 1 м, за­давая т=%=0,3 и Z)M=2-10-S м2/сут, что дает (1,5—4) • 104сут, т. е. при диффузионном механизме поперечного переноса схема послойного переноса может очень широко применяться для расче­тов техногенных процессов.

ОтнЬсительное влияние поперечного конвективного переноса в таких условиях рассмотрено в работе [31].

Для оценки влияния гидродисперсии заменим DM на бт»2, где бт — параметр поперечной гидродисперсии и v2 — скорость фильт­
рации в слабопроницаемом слое. Тогда для безразмерного време­ни получим выражение

А__ лз&Л. v2 ^ 29)

У,

Где U^qiKtiitni)—длина пути конвективного переноса; vx=q/mh Считая v2/vi=k2/ki (где kx и k% — коэффициенты фильтрации слоев), запишем условие (4.29) в виде

B^h = 0,9—^—•. (4.30)

Щт^г (1-Ц)2

Проведя расчеты по выражению (4.30) при характерных зна­чениях параметров, можно показать, что в песчаных пластах, где бт^Ю-3—Ю-4 м, схема послойного переноса имеет широкую об­ласть применения и может давать существенные погрешности толь­ко в потоках очень большой длины (порядка километра и более), а также в слоистых пластах, представленных скальными породами (где может быть 6т=0,1—1 м).

Диффузионная модель макродисперсии

Для математического описания макродисперсии, обусловленной различными видами фильтрационной неоднородности пород и плас­тов, широкое распространение получило представление о возмож­ности использования аналогии с микродисперсией, когда макроне - однородная среда рассматривается как эквивалентная однород­ная. Такую модель можно назвать диффузионной, поскольку в ней дисперсия средней концентрации мигрантов в потоке описы­вается уравнением диффузии (4.3). При этом коэффициент DM за­меняется на коэффициент макродисперсии D, структу­ра которого принимается аналогичной коэффициенту гидродиспер­сии [см. выражения (4.10) и (4.11)], исходя из предположения, что размеру зерен соответствует характерный размер слабопроницае­мых включений. Положительная оценка возможностей использо­вания такой модели давалась, например, Д. Фридом, который, основываясь на доказательстве асимптотического перехода к диф­фузионной модели описания процесса переноса в слоистых плас­тах, делает вывод, что результаты, полученные для однородной среды, являются справедливыми и для гетерогенных сред [37]. В дальнейшем Д. Фрид приходит к более осторожным оценкам, признавая, что процесс дисперсии не обязательно может быть диф­фузионного типа [8]. Такая осторожность вызывается тем, что столь значительные изменения масштаба процесса при переходе от микроуравнений к макроуровням естественно вызывают сомне­ния в сохранении качественных представлений о модели процесса дисперсии на этих уровнях. Эти сомнения подтверждаются данны­ми определения расчетных параметров макродисперсии решением обратных задач по натурным материалам. Результаты этих реше­ний показывают, что расчетные параметры дисперсии существенно зависят от размера потока [8, 14, 46].

Рассмотрим обоснованность применения диффузионной модели на примере переноса нейтрального мигранта в одномерном потоке двухслойного строения при резком различии проницаемости слоев, когда перенос описывается системой дифференциальных уравнений (4.25). В этом случае согласно схеме макродис­персии концентрация мигранта в проницаемом слое описывается дифференци­альным уравнением

Дс, дс n тс. я*т« + . Я, л 01 „ —- - U v ------------------- — D —---------------- п = ; у — — . (4.31)

Dt дх дх2 тх + т2 /и, + т2

Фундаментальное решение уравнения (4.31) в изображениях по Лапласу— Карсону для полуограниченного потока имеет вид (6.17) при k—Q. Сопоставляя решения (4.28) и (6.17), после преобразований получим выражение для коэф­фициента дисперсии

ЩШоР — Vn^pDu th т-2 — f щр

D--------------- —----------- ^j!_____ _ч9 є, щ-т i/ - f. (4.32)

(mi + т2) р + у n2pDM th т2у у ич

При длительном времени процесса, когда р становится малым, величину th т2 можно разложить в ряд и ограничиться в числителе двумя первыми чле-* нами, а в знаменателе одним членом. Тогда выражение (4.32) принимает вид

Х>.--------- (4.33)

Зла (m, + т2) Du

В этом случае D уже не зависит от р и может рассматриваться как пара­метр процесса переноса. Следовательно, схема макродисперсин действительно является предельным случаем переноса в слоистом пласте при резком различии проницаемости слоев. Такое же выражение, полученное другим путем, приве­дено в работах [23, 37].

Оценим погрешность бл определения параметра макродисперсии выражени­ем (4.32) как относительную разницу значений D, определяемых выражения­ми (4.32) и (4.33). После алгебраических преобразований получим следующее выражение:

1

3 11 — th (1 4-да)

.. _ ..... --------- r~lz--------------- u m-jbol.. (4.34)

Т2Цт + -=-і\іт2ї \ Щ і

В табл. 9 приведены данные расчетов 6d по формуле (4.34) для предель­ных случаев.

Анализ этих данных показывает, что величина бd меняет знак при 0<т<1, однако по абсолютному значению оиа зависит главным образом от т2, меньше меняясь при различии ти причем предельные значення находятся в пределах —-1 < 6d < 2. При допустимой погрешности 6d=0,1—0,2 применимость диффузи­онной модели можно гарантировать при т2^0,7.

Принимая характерное значение p=l/(nt), представим это условие для оригиналов функции в виде

T>2m242i(*DM). (4.35)

Задавая, в частности, характерные значения параметров DM= =2-Ю-5 м2/сут; /г2 = 0,3; m2= 1 м, из выражения (4.35) получим условие />104 сут. Такая численная оценка показывает, что время наступления условий применимости схемы макродисперсии оказы­вается слишком большим, чтобы можно было принять ее в каче­стве базовой для практических расчетов переноса в слоистых плас­тах. Этот вывод подтверждается обстоятельными теоретическими исследованиями, показавшими, что диффузионная модель неперс­пективна для описания переноса в слоистых пластах, поскольку она асимптотически справедлива лишь при весьма большой дли­тельности процесса, выходящей за рамки реальной значимости [30, 38, 46].

С целью уч-ета этой изменчивости А. А. Рошаль [30] предло­жил пользоваться для слоистых пластов следующим интерполяци­онным выражением для зависимости расчетного коэффициента продольной дисперсии Di во времени:

= DTtj(nmh2), (4.36)

Где h — некоторый характерный размер пласта и слагающих его елоев; Е и пт определяются согласно уравнению (4.24). Для ма­лых и больших моментов времени из уравнения (4.36) получаются предельные выражения коэффициентов дисперсии D0 и А»:

D0 = г»т2 Е2 */2ля; а„ = г»т2 Е2

Причем величина D0 соответствует расчетному значению коэффи­циента дисперсии, которое получается из решения задачи послой­ного переноса при нормальном законе распределения фильтрацион­ных параметров слоев. Поскольку зависимость (4.36) является эм­пирической, ее применимость требует обоснования на представи­тельных фактических материалах (вместе с доказательством спо - еоба определения параметра h).

В работе [46] на основании представления макродисперсии как результата проявления случайного распределения поля скоростей утверждается, что расчетная величина коэффициента дисперсии должна быть функцией времени, а не расстояния, причем обра­ботка данных полевых опытов показала, что эта функция оказы­вается неповторимой во всех точках наблюдений. Сомнительна также целесообразность использования диффузионной модели для ©писания макродисперсии в гетерогенных породах неупорядочен­ного строения. Численные эксперименты по массопереносу в среде с непроницаемыми включениями показали, что даже в этом идеа­лизированном случае возникают значительные неясности в описа­нии процесса моделью гидродиоперсии, поскольку перенос мигран­тов существенно зависит от расположения и масштаба включений Ш
[76]. Например, анализ переноса в среде со статистически распре­деленной проницаемостью по логнормальному закону привел к вы­воду о невозможности прогнозирования и анализа натурных опы­тов массопереноса на основе диффузионной модели, т. е. как для гидродисперсии. В качестве альтернативы при этом предлагается модель конвективного переноса со статистическим распределением проницаемости [76].

Применение диффузионной модели для описания продольной дисперсии, по-видимому, рационально лишь для песчано-глинис - тых пластов с неупорядоченной неоднородностью с заданием пара­метра дисперсии, как функции стандартного отклонения нормаль­ного распределения величины k11 при О OK 1, параметры которого устанавливаются по косвенным данным (геофизическим, механиче­ского состава и т. п.).

Вместе с тем для описания поперечной макродисперсии модель диффузионного типа, по-видимому, является единственно реаль­ной. Однако при этом целесообразно особо обосновать структуру коэффициента поперечной макродисперсии и его зависимость от скорости фильтрации, не пользуясь только непосредственной ана­логией с поперечной гидродисперсией [23, 27, 37].

Один путь решения такой задачи, использующий определенную модель процесса поперечной макродисперсии в фильтрационном потоке, рассмотрен М. 3. Перльштейном [18] применительно к теплопереносу. В приведенном им выводе предполагается, что в поперечных каналах продольный перенос может описываться по схеме сосредоточенной емкости без учета изменения содержания - мигранта по направлению потока. При этих допущениях получа­ется эффективный коэффициент поперечной дисперсии, который имеет сложный вид зависимости от скорости фильтрации. Экспе­риментальная проверка этого предложения дана в работе [18] лишь для очень ограниченных условий теплопереноса в гравийных грунтах, поэтому для обоснования справедливости такой модели требуются более обстоятельные Исследования.

Простой и, по-видимому, более рациональный способ определе­ния расчетного коэффициента поперечной дисперсии в фильтра­ционном потоке основан на использовании модели «просеивания» мелких частиц через сетку крупных «фильтрующих» зерен. На та­кой модели для точечной подачи мелких'частиц экспериментальна установлено [14] следующее распределение их концентрации:

(4.37)

Где с0 — исходная концентрация; х и у — координаты по направ­лению просеивания (фильтрации) и перпендикулярно к нему; к*— диаметр фильтрующих зерен (блоков).

Сопоставим с такой моделью решение задачи конвективно-дис­персионного переноса, дающее распределение концентрации в по­токе, двигающемся со скоростью v без продольной дисперсии, и® с поперечной, характеризуемой коэффициентом Dr, при действии в начале координат источника. постоянной интенсивности P—vd*Co. Согласно уравнению (6.34) при t — nx/v решение такой задачи представляется выражением

С = ехр (_ (4.38)

2 VnDyXv 4 DyXj v '

Где Dy = DT — коэффициент поперечной дисперсии (в направле­нии у).

Сопоставляя выражения (4.37) и (4.38), можно видеть их иден­тичность, причем они тождественно совпадают, если

£>Т = 8Л 8т = 4/8. (4.39)

Значение d* связывается с параметром а* соотношением (4.13) при d* = 6/s,. Выбор рациональной модели поперечной дисперсии на базе рассмотренных выше или каких-либо иных путей решения должен быть сделан в дальнейшем на основе представительных опытных данных.