Моделирование миграции подземных вод

Опыты в фильтрующих образцах

Фильтрующие образцы (нарушенного и ненарушенного строения) имеют сравнительно небольшие размеры (обычно 10—20 см). На таких образцах целесообразно определять параметры обменных лроцессов между твердой и жидкой фазами, с учетом физико-хи­мических превращений в жидкой фазе, а также происходящих в связи с этим изменений проницаемости пород.

Методика интерпретации фильтрационных опытов разобрана ниже. На примерах этих — наиболее простых — опытов рассмот­рены различные методические предложения, которые могут ис­пользоваться для интерпретации полевых опытно-миграционных работ. Эти опыты рекомендуется проводить при ненарушенном строении образцов с раствором, возможно близким к тому, кото­рый предполагается в натурных условиях.

Для получения более ясной схемы проведения опыта породу в колонне сначала насыщают раствором с постоянной исходной концентрацией трассера с0 и выстаивают до наступления равнове­сия. В начальный момент проведения опыта во входном сечении колонны с постоянной скоростью подается трассерный раствор с концентрацией с0, которая может меняться во времени. Обычно такие опыты проводятся при постоянной входной концентрации трассера; для экономии трассера и более рельефного проявления процессов дисперсии проводятся также опыты с трассерным «па­кетом», когда трассер с концентрацией с0 подается с момента t=0 до момента to, после чего подается исходный раствор (с концент­рацией с0). В процессе опыта прохождение трассера фиксируется в выходном сечении (выходная кривая), а иногда также путем отбора проб или по датчикам в промежуточных сечениях. 148

В связи с небольшими размерами образца считается, что для иего характерна схема гомогенной среды. Дифференциальное урав­нение переноса для такой схемы с учетом обменных процессов име­ет вид

Дс. dN. дс д2с

И--------------- 4-і;------ = О гг— ,

0 dt dt ^ дх

Оно должно решаться совместно с уравнением кинетики обмена. Если можно пренебречь кинетикой обмена, считая сорбционные процессы равновесными, то это уравнение принимает вид

TOC \o "1-3" \h \z дс. дс —, дч, ,, /о

П —- + © — = 0 —; n=n9 = n0 + Kd. (8.3)

Dt dx дх2

Для такой модели переноса на входной границе колонны (об­разца) должно задаваться граничное условие vc°=[vc— D (dc/dx)]0,t, а на выходной границе — условие dc/dx=0, однако для чисел Пекле Pe=u//Z?>20-f-30 это условие на входной гра­нице можно заменить более простым с=с°, а выходную границу относить в бесконечность [56].

Нейтральный трассер. В случае использования нейтрального трассера в уравнении (8.3) «=«0, и искомыми параметрами явля­ются величины По и D.

Прежде всего рассмотрим опыт с постоянной подачей трассера, когда опытные данные обрабатываются на основе решения фунда­ментальной линейной задачи микродисперсии при фильтрации в колонне длиной I, первоначально заполненной раствором с кон­центрацией с0, при подаче в нее с момента £=0 раствора с кон­центрацией с0.

Для обработки опытных данных удобно использовать предло­женную Д. Роузом и Д. Пассиоурой [74] аппроксимацию анали­тического решения (6.18) в виде

С = 0,5erfcЛ; , (8.4)

Vt 4 А

Где величины А и В зависят от числа (параметра) Ре (табл. И). Таблица 11

Зависимость величин А и В от параметра Ре

Ре

А

-jf

В

Ре

А

~ 1А

В

/Ре

' ~ УР£~

640

12,7

1,оо

1,02

24

2,54

1,04

0,98

320

8,97

1,00

1,00

16

2,11

1,05

0,98

160

6,36

1,01

1,00

8

1,56

1,11

0,97

80

4,52

1,01

1,00

4

1,2

1,20

0,95

40

3,24

1,02

1,00

3,2

1,12

1,25

0,99

32

2,91

1,03

0,99

2,4

1,02

1,32

0,91

При расчетах опытных параметров в соответствии с выраже­нием (8.4) по данным выходной кривой строится график зависи­мости величины |=inferf (1—2с) от lg/, уклон которого |'= = A|/Algtf численно равен величине 2,3 А. По этой величине с по­мощью данных, представленных в табл. 11, находится значение па­раметра Ре, причем для удобства интерполяции лучше по табл. 11 находить значения Ж и по ним считать Ре=(2А/А)2. По этому зна­чению параметра Ре определяется значение D=t)l/Pe. Затем по любой паре значений \gt, снятой с прямой, получается величина активной пористости из выражения

0,435

6 vt А

Или

Vt ( Аг + 0,25В \

«.- — ex р( ^ ).

Для обработки такого опыта эффективно использование инте­гральных преобразований концентраций по Лапласу—Карсону,. изменение которых описывается уравнением (6.17), в котором па­раметр а находится из выражения

A2D-\~av = n0p. (8.5)

При таких расчетах прежде всего определяются значения ин­тегральных изображений относительных концентраций С при различных р (см. прил. 2). После этого для каждого значения р находится параметр а:

(8.6)

/ С I 6 с к '

Если имеются данные замеров на разных расстояниях х от входного сечения, то при каждом р строится график в координа­тах —lgC и х, на котором опытные точки должны лечь на пря­мую линию, проходящую через начало координат, что является диагностическим признаком применимости решения (6.17).

Получив значения а(р), следует нанести их на график, постро­енный в координатах а и р/а, где согласно уравнению (8.5) опыт­ные точки должны лечь на. прямую линию, отсекающую на осях отрезки a0~—v/D и (p/a)o=v/ti0, по которым находятся значения параметров.

Для удобства интерпретации опытных данных целесообразно подобрать параметры опыта так, чтобы иметь возможность описать выходную кривую зависимости относительной концентрации трас­сера с(0 уравнением (6.20):

?=0,5ErfcE=0,5(l-e, U); ї-і^-Л^,. (8.7)

Как показывает теоретический анализ [29], для применения этого уравнения требуется ограничить длину образца I и расчетное время опыта t неравенствами

T>[2і/----------- ЛЗІ, (8>8)

Vbn [ V bD+bn I V

Тде 6n и 6d — допустимые погрешности определения параметров по и D. Обработку выходной кривой по уравнению (8.7) целесообраз­но проводить следующим образом: по выходным данным при из­вестном значении с находится аргумент § из уравнения erf g= 1—■ 25 (учитывая, ЧТО функция erf является нечетной, Т. е. erf (-—ig) ===== =—erf I), после чего строится график зависимости от t, кото­рый, как это следует из выражения (8.7) для I, должен быть пря­молинейным и описывается уравнением

* уТ = 0,5 (8.9)

По точке tQ на пересечении этой прямой с осью і находим ак­тивную пористость из соотношения

= (8.9а)

Затем по любой точке (с координатами и і) на построен­ной прямой линии определяется коэффициент микродисперсии:

Достоинством такого способа обработки является возможность диагностической проверки используемой расчетной зависимости по тому, насколько хорошо опытные точки графика зависимости l~]/t от t ложатся на прямую линию.

Если при проведении опыта имеются замеры значений в проме­жуточных точках опытной колонны на расстояниях х от входного сечения, то для более полного обобщения («свертывания») инфор­мации целесообразно провести комбинированное прослеживание, представив выражение (8.9) при 1-х в виде

Х ' г D \ щ х}

При этом все опытные данные наносят на график, построен­ный в координатах z=%]/t/x и x—t/x. На таком графике все опыт­ные точки должны лечь на одну прямую, что является очень силь­ным диагностическим признаком правильности исходной матема­тической модели. Если это условие выполняется, то по точкам г0 и то, которые образуются при пересечении прямой, проведенной по опытным точкам с осями z и т, получим значения параметров

K0 = vx0 и D — . 0 0 4*0»

Как заметил Л. Лукнер [65], в этом случае можно воспользо­ваться аппроксимационным выражением (8.7) при

\ — 0,5 У^у In. (8.10)

Для обработки данных комбинированного прослеживания (при отборе проб в нескольких сечениях) согласно уравнению (8.10) опытные данные наносятся на график, построенный в координатах 1/Удс и lg(x/t). На этом графике опытные точки должны ложиться на одну прямую линию, причем по точке (x/t)о пересечения лога­рифмической прямой и оси x/t и по наклону 0=А (І/У*)/Alg (.*:/£) определяются значения параметров

И D =

С*/Оо

При малом числе опытных точек, когда диагностический анализ становится нереальным, параметры л0 и D определяются по двум элементам выходной кривой: времени to прохождения фронта ин­дикатора, фиксируемого при с=0,5, и наклону ct выходной кривой к оси t в точке t=t0(ct~dc/dt при t=t0). При этом величина п0 определяется по уравнению (8.9, а) а параметр дисперсии — по формуле

4 *Vo8

Рассмотрим особенности обработки опыта с запуском трассер­ного «пакета». Для условий такого опыта зависимости, описываю­щие распределение концентрации раствора, могут быть получены по принципу суперпозиции, как для ступенчатого закона изменения граничной функции, когда в начальном сечении задается условие с= 1 при O^t^t0 и с=0 при t>to. Например, принимая за осно­ву упрощенное выражение (8.7), получим уравнение для выход­ной кривой при подаче трассерного пакета:

С = erfcг — erfcS0, % = S0 — (8.11)

0 2 У n0Dt 0 2 У n0D (t — <o) v '

Выходной график, описываемый этим уравнением, представ­лен на рис. 36. Анализ показывает [37], что время /тах продвиже­ния пика концентрации практически соответствует бремени дви­жения середины трассерного пакета, откуда следует простая фор­мула для определения пористости:

N0 = v(tmax-0,5t»)!L (8.12)

Обработку такого опыта удобно проводить, используя решение задачи в интегральных преобразованиях по Лапласу—Карсону, которая в этом случае имеет тот же вид, что и при постоянном запуске трассера. Рекомендации по расчетам изображений для формы графика c(t), характерной для запуска трассерного пакета, приведены в прил. 1.

Сорбируемый трассер. Спосо­бы обработки опытов с сорбиру­емым трассером существенно различаются в зависимости от типа изотермы и проявлений ки­нетики сорбции. Если при линей­ной изотерме вида (3.2) можно пренебречь кинетикой сорбции, Л/. л

Тп пгтяютгя в липр ичппжрншр рис• 36■ Формы выходной кривои,

То остаются в силе изложенные получеНной по результатам запуска выше расчетные зависимости для трассерного пакета нейтрального трассера, в кото­рых вместо активной пористости

П0 вводится эффективная пористость (емкость) пэ, выражаемая согласно уравнению (5.1а). При этом для определения активной пористости и коэффициента дисперсии используются данные о про­хождении несорбируемого трассера.

При наличии замеров в различных сечениях колонны лучшее обобщение этих данных (комбинированное прослеживание) дости­гается, если из (8.4) величину пэ выразить формулой

В ходе расчетов по формуле (8.13) значения А определяются при среднем D из полученных расчетами по разным сечениям. Если при этом оказывается, что значения пэ имеют выраженную тенден­цию к изменчивости, то для достижения наилучшей стабильности параметра пэ можно варьировать величиной D.

При линейной изотерме с учетом кинетики сорбции в гомоген­ной среде процесс описываётся системой дифференциальных урав­нений (8.1) и (3.7).

Для обработки опытных данных по фильтрации сорбируемого трассера при линейной 'кинетике сорбции рекомендуется использо­вать решение задачи переноса в изображениях по Лапласу—Кар - сону в форме 6.17, которое имеет вид (6.18), причем для величи­ны а справедливо соотношение

A2D +m.-v = ппр --------------- ^f - . (8.14)

ЯкР +р

Для расчетов целесообразно преобразовать выражение (8.14) к виду

+ (8.15)

Где

AsD + av — asp

Опыты в фильтрующих образцах

При расчетах по этим зависимостям необходимо предваритель­но при различных величинах р установить значения изображений ср относительных концентраций, а также соответствующих значе­ний f^ln-Cp-1. Получив таким образом зависимость а(р), сле­
дует при значениях D и п0, определенных по данным миграции не - сорбируемого трассера, установить величины А и нанести опытные - точки на график зависимости А(р). Согласно уравнению (8.15) эта зависимость должна быть прямолинейной, причем по точке А0у, образующейся при пересечении такой прямой с осью А, и по на­клону этой прямой получаются сорбционные параметры Э=Л0 и ак=Ар/АА.

При переменной скорости фильтрации или нелинейной изотер­ме сорбции для обработки опытных данных целесообразно приме­нять конечно-разностные уравнения. Рассмотрим такое решение для конвективно-диффузионной модели переноса, записав уравне­ние (8.3) в форме

Nc,+vcx=*Dcxx. (8.16)

Существенное значение имеет форма конечно-разностных выра­жений производных, которые рекомендуется давать по достаточно подробной шеститочечной схеме в виде

Ct в 2дГ 1-1 + 1+1 + ^ 17)

<8Л9>

Ах \ Axi+1 Axt. t }

Где Aic,--i=aA*i_i/2A*; Act~c'—c°; Axi+i — xi+l/2Ax; Ах—0,5(A*/-i-h + Д*ж);с=0,5(с'+с°).

При малой значимости дисперсионного члена Dcxx можно вести расчеты отдельно в интервале сечений і—1, і и і, г'4-1, считая ct и сх по четырехточечной схеме, т. е. в интервале сечений і—1, і

С = 4 ~~Сы с = +

* 1 2At '

А в интервале сечений г", t'-f-l

С.+1 — а Асі + Дсг+1

Ах-М 2А t

Обработку опытных данных по конечно-разностным уравнениям для определения эффективной пористости (емкости) пэ целесооб­разно проводить в тех случаях, когда параметр дисперсии D можно считать известным из расчетов по нейтральному трассеру. Тогда

N = na=*-}-(Dcxx — vcx). (8.20)

Кроме того, для приближенных оценок при постоянном значе­нии v можно совместно определять величины п и D. Для этого исходное уравнение (8.16) делится на величину vcx и приводится к виду

N? i (с) + 1 — О'Ъ (с), <Р, (с) = cti(vcx), ср2 (г) = cj(vcx). (8.21)

Для обработки опытных данный по уравнению (8.21) рассчи­тывают на различные периоды времени значения фі и <р2 и строят график зависимости между ними, на котором, согласно выражению (6.19), опытные точки должны лечь на прямую линию. На осях Зта линия отсекает величины <рі° и 'ф2°, по которым получают зна­чения расчетных параметров:

D — 1/<?2° и Л = — 1/<р,°.

Использование конечно-разностных уравнений правомерно в условиях, когда производные по расстоянию не слишком сильно изменяются в пределах расчетного интервала времени At, а про­изводные по времени — в расчетных сечениях. Количественное обо­снование возможностей применения этих уравнений целесообраз­но приводить на тестовых примерах, имеющих более точное реше­ние.

Пример обработки лабораторного опыта по фильтра­ции сорбируемого мигранта в образце. Опыт проводился с об­разцом среднезерннстого песка, загруженным в трубку диаметром 5 см и дли­ной 24 см, в которой на расстояниях 4,5; 9,5; 14,5 и 19,5 см от входного сече­ния сделаны слнвные отверстия для отбора проб. Образец предварительно насы­щен дистиллированной водой, после чего во входном сечении задана непрерыв­ная подача раствора СаС12 (0,005 н.) с сорбируемым трассером 45Са. Графики изменения относительных концентраций раствора в различных сечениях пред­ставлены на рис. 37.

Расчеты ведутся в интегральных изображениях, значення которых рассчи­тываются по формуле (П.1) прил. 2. Аппроксимация опытных точек ломаными линиями, использованная для таких расчетов, показана на рис. 37, причем во всех случаях аппроксимирующая линия состояла из четырех отрезков (п.—4). Исходя из приведенных в прил. 2 рекомендаций, выбирались значения tp в пре­делах от 30 до 60 сут, причем расчеты по формулам (П.1) н (П.2) дали прак­тически совпадающие результаты.

Эти данные наносились на полулогарифмический график зависимости С от х, где при различных р по Опытным точкам проводились прямые линии, по уклону которых находились значения а согласно формуле (8.6). После этого строился график в координатах а—р/а (рис. 38), на котором проводилась пря­мая линия, имеющая координаты а0=—1,45 и (р/а)о=0,113. При скорости фильтрации о = 0,335 см/мин получается £>==0,335/1,45=0,23 см'/мин и пэ — = 0,335/0,113=3. Отметим, что в таком расчете проявляется высокая чувстви­тельность определения величины D по отношению к рассчитываемым значениям

Опыты в фильтрующих образцах

Рис. 37. Графики изменения относительной концентрации мигранта 45Са прн опытах в фильтрующем образце в сечениях 9,5; 14,5; 19,5 и 24 см [66]. 1 — опытные точки; 2 — точки излома аппроксимирующего графика

Опыты в фильтрующих образцах

0,25а

Рис. 38. График для обработки опыт­ных данных, приведенных на рис. 37, в изображениях по Лапласу—Кар - сону

А, требующая проведения прямой в координатах а — pja по уравнению регрессии с определением входных данных с высокой точностью. Для этого же опыта обработкой данных по С1~ получено значение D— = 0,24 см2/мин [66].

Следовательно, для такой обра­ботки основными являются ограниче­ния по длине колонны (расстояние от входного сечения до расчетного), а расчетное время может приниматься без ограничений.

Для иллюстрации такого расчета приведем два примера при х=24 см. Прн /=165 мин и с=0,126 получаем mterf 1=1—2с=0,748 и по таблице функции; erf, находим 1 = 0,81. Затем рассчитываем с = IVTjl = 0,43 мин°^-см"і т=/// = 6,88 мин-см. При <=268 мин и с=0,798 получаем mferf 1=1— 2с= = —0,404 и по таблице функции erf находим 1=—0,583. Затем рассчитываем; = $ уТ//= —0,4и T=t/l= 11,17 мин-см-1.

Полученные таким образом расчетные точки нанесены на график в коорди­натах s, т (рис. 39). Как видно, все опытные точки на таком графике подчи­няются практически единой зависимости, удовлетворительно аппроксимирующей­ся прямой линией, которая дает значения т<>=9 мин-см-1 и g0= 1,77 мин °-5-см-1.. По этим значениям, согласно уравнениям (8.9а) и (8.96), получают значения па­раметров пэ = 0,335-9 =3,02 и £>=3,02/(4-17,72) = 0,24 см^/мин. Значение D совпало с полученным по данным переноса нейтрального трассера, а пэ — со значением, определенным с помощью приведенного выше расчета в изображе­ниях.

Заметим, что при тщательной диагностике данных по графику на рис. 39і можно видеть некоторую тенденцию к криволинейности такого графика'. что,, возможно, объясняется влиянием нелинейности изотермы сорбциш

Приведем также результаты об­работки этих опытных данных по уравнению (8.7). Для проверки при­менимости этого уравнения использу­ем неравенства (8.8), принимая до­пустимые погрешности 8п=0,05 и бв=0Д при £>=0,24 см2/мин, г>=* = 0,335 см/мин и я=йэ=3:

Расчеты величины пэ по уравнению (8.13) при значении D = 0,24 см2/мии,. полученном по даииым опытов с нейтральным трассером С1-, дали довольно стабильные значення л3=2,85—3,25, причем нескольк<э меньшие значения полу­чаются при значениях 5=0,4—0,6; среднее значение пэ = 3 соответствует уста­новленным выше другими способами.

Приведем результаты расчетов по конечно-разностному уравнению (8.17) для сечений лгг_,= 14,5 см; дгі = 19,5 см; Жг+і = 24 см в интервале времени 135— 160 мин. По графику, приведенному на рис. 37, найдем значения относительных концентраций в расчетных сечениях: с°/_1=0,68; cj° = 0,19;c0i+1 = 0,01; с'і. і = = 0,81; Ci'==0,45;^+1 = o, l, откуда с,_1 = 0,74; с£=0,32; ё, + 1 = 0,055. При Ддгг_! = 5 см; ДлГг+і = 4,5 см и Дж = 4,75 см имеем Лжг_і = 5: 9,5 = 0,53 и AJcf+1 = 4: 9,5=0,47. При Ас1-1 = 0,81— 0,68=0,13; Лсг=0,45—0,19=0,26; ДСг+і = 0,09 по выражению (8.17) получим значение временной производной относительной концентрации трассера:

0,53-0,13 + 0,47-0,09 + 0,26 _ <Л

С( =-------------------- т.... ' „" ——-------------- = 7,4- 0-з мин-'.

' 2-25

По выражениям (8.18) и (8.19) рассчитываются пространственные производ­ные при средних (по интервалу времени) значениях относительных концентра­ций: Сг_і = 0,74; ё, = 0,32; с1 + , = 0,055:

Опыты в фильтрующих образцах

Принимая определенную ранее по нейтральному трассеру величину коэффи­циента дисперсии D = 0,24 см2/мин, при v = 0,335 см/мин найдем согласно выра­жению (8.20) величину эффективной пористости:

Пэ = 1А. (0,24-8,7-Ю-з + 0,335.7,21 • 10-2) = 3j56. 7,4-10'3

Определенные таким путем значения пэ для других интервалов в простран­стве и во времени приведены в табл. 12; расчеты в интервале 14,5—19,5 см даны без учета влияния дисперсии, т. е. при £>=0.

Значения Пэ подчиняются некоторой незакономерной изменчивости, но хо­рошо согласовываются со значениями, полученными расчетами по аналитиче­ским решениям.

Моделирование миграции подземных вод

Миграционная модель обезжелезивания в подземных водах

В качестве примера приведем построение системы уравнений, со - ставляющих теоретическую модель процессов обезжелезивания подземных вод[10]. Эта задача актуальна в связи с широким распро­странением подземных вод, в которых содержание железа …

Моделирование миграции подземных вод

Лукнер Л., Шестаков В. М. Для обозначения процессов перемещения химических элемен­тов в земной коре, ведущего к изменению их содержания (рассея­нию или концентрации), А. Е. Ферсман ввел понятие «геохимиче­ская миграция». Значительная …

Опыты на крупных фильтрующих монолитах

Опыты по фильтрации трассера в крупных монолитах проводятся для изучения миграционного процесса с учетом гетерогенного стро­ения породы. Для интерпретации данных такого опыта использу­ются модели гетерогенно-блокового строения. Таблица 12 Рассчитанные по …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.