Моделирование миграции подземных вод
Опыты на крупных фильтрующих монолитах
Опыты по фильтрации трассера в крупных монолитах проводятся для изучения миграционного процесса с учетом гетерогенного строения породы. Для интерпретации данных такого опыта используются модели гетерогенно-блокового строения.
Таблица 12
Рассчитанные по опытным данным значения пэ
Пэ в интервалах времени At (мин)
183-210 |
85-ПО |
110-135 |
160-185 |
135—160 |
Расчетные сечения х, см
9,5; 14,5; 19,5 3,00
14,5; 19,5; 24,0 — 14,5; 19,5 —
Следует подчеркнуть необходимость тщательного обоснования размеров таких монолитов, поскольку для их представительности •требуется, чтобы они по крайней мере превышали характерный размер блоков. Вследствие того, что на развитие миграционных процессов в натуре значительное влияние оказывает неоднородность (размеры блоков) порядка 0,1 м и выше, для правильного •отражения гетерогенности пород размеры монолитов должны быть не менее 0,3—0,5 м и во всяком случае их следует специально обосновывать, исходя из наблюдаемой фильтрационной, неоднородности пород и масштаба гетерогенности с точки зрения прогнозирования процессов переноса.
При проведении такого опыта для обеспечения постоянных по длине колонны начальных условий следует провести предварительную промывку насыщенного монолита раствором с концентрацией трассера с0, соответствующей его средней концентрации в исходном поровом растворе (при отсутствии трассера в исходном растворе со=0).
При таких опытах в процессе фильтрации трассера фиксируется только выходная кривая, поскольку получение представительной пробы из пьезометров нереально, а для получения данных в промежуточных сечениях требуется специальное оборудование монолита.
Математическая модель для переноса нейтрального трассера в гетерогенно-блоковой среде получается из дифференциальных уравнений (6.14) и (6.15) при щ—хщ; kx~k2=a*\ &4=(1 —к)п0.
При обработке опытных данных для такой модели целесообразно использовать решения задач переноса 6 изображениях по Лапласу—Карсону. Для опыта с монолитом, имевшим равномерную начальную концентрацию трассера с0, изображение относительной концентрации на выходе из монолита длиной I согласно выражению (6.18) можно записать в виде
~с = _Јzifl_ = e~al, а = ~р + Р (8 22)
Р СО —с0 v а* 4-0 —*)ПоР
Где С и С0 — изображение концентраций трассера в выходном и входном сечениях монолита соответственно.
Для обработки опытных данных по выражению (8.22) предварительно рассчитывают значения С и С0 при различных значениях р, после чего находят соответствующие значения а(р) по формуле
2,3 . 1 I & С
Затем по этим данным строят график зависимости р/а от р, которая имеет вид
JL = JL[і (1 —•*■)*п0р
А п0 а* + х(1—~*-)п0р\'
При малых значениях р, соответствующих большим tp, график зависимости р/а от р должен получиться прямолинейным, причем 158
Таблица 13 Значения показателей А і и В і
|
P/a=v/n0 при р=0, а угол этой прямой с осью р численно равен величине (1—х)2/а*. В обшем случае можно строить график зависимости р! а от величины pj[ 1 - f - ~^П*-р\ подбирая вели
Чину х(1—х)л0/а* таким образом, чтобы опытные точки на графике лучше ложились на прямую линию, которая отсекает на оси р/а величину v/n0 и имеет угол с осью р, равный л0(1—х)2/а*. Таким образом находят все три параметра модели гетерогенно-блоко - вой среды: По, а* и и.
Удобный способ обработки опыта с постоянной подачей трассерного раствора (при c°=const) при гетерогенно-блоковой схеме переноса предложил А. А. Рошаль [29] на основе выявленной им аппроксимации фундаментального решения (6.20) вида
С — 0,5 erfc с; с = — At In
Vt-n^x +1
[2%* (1 —у.) ' "J 4Л ' (8-23)
Где А\ и В\ определяются по табл. 13 в зависимости от величины x—a*x/v. При *>20 можно считать х и 23i=l.
Исходя из выражения (8.23) для представленного в форме
С--Л [in (7 + tx) — In 2n0 (1 — *)]
4 Aj x
= 2 *)д0, (8.24)
Рекомендуется для обработки опытных данных строить график зависимости аргумента Ј = inferf(l—2с) от lg(Ј+Fi) при серии значений 11, добиваясь максимального спрямления графика. По наклону такого спрямленного графика Ј'=AЈ/Alg(?+Fi) определяют константу А = 0,434'ст, по которой, пользуясь данными табл. 13, находят значение х. По этому значению х устанавливают a—xv/x. Заметим, что для удобства интерполяции лучше по табл. 13 находить величину Ах и считать ^=(Л1Д1)2. Затем на графике lg(?+?i) при величине ординаты —ВХ1(ААХ) находят соответствующее значение величины? о+?ь после чего определяют n0=t0 и х = 0,5[1— — (?i/no)].
Особенности обработки опытов на модели гетерогенной среды при промывке монолитов для решения мелиоративных задач свя
заны с тем, что до опыта монолит не насыщен водой и имеет довольно неравномерное распределение солей. Обычно при таком опыте промывка осуществляется подачей воды на поверхность монолита без предварительного замачивания. При этом в начальный период опыта происходят пропитка монолита водой при сложном режиме влагопереноса и некоторое выравнивание распределения солей по длине монолита. Для этого периода характерны изменение (нарастание) скоростей фильтрации и увеличение концентрации раствора на выходе из монолита. В связи со сложностью процесса в этот период его целесообразно исключить из рассмотрения, начиная отсчет времени опыта для обработки данных с момента начала периода равномерного просачивания и принимая в качестве исходной концентрации с0 величину выходной концентрации в этот момент. Пример интерпретации такого опыта приведен в работе [39].
2 vt П* = |
При обработке данных по схеме гетерогенной среды расчеты эффективной пористости можно упростить, если определить параметры а* и к по данным прохождения несорбируемого трассера и рассчитывать /гэ по формуле
Ехр (------------------ Ц+2.2'-1
(1 —\ Al 4AJ) ' 1
Целесообразно применять конечно-разностные уравнения для обработки опытов по промывке образцов (монолитов), содержащих ереднерастворимые соли в твердой фазе слабопроницаемых блоков. Принимая уравнение кинетики растворения (выщелачивания) в виде (3.14), запишем следующую систему уравнений переноса и блокового обмена:
%Nct + а* (с — с*) + vcx = 0; (8.25а)
(1 —x)nct* — i{cK—c*)=*a*(c — c*). (8.256)
При обработке опыта по переносу среднерастворимых солей предполагается, что параметры к, п и а ранее определены по данным переноса хорошорастворимых солей, который рассматривается в предпосылке о мгновенном переходе твердой фазы в растворимое состояние.
Значения производных Ct и сх в любой расчетный интервал времени At определяют по конечно-разностным выражениям: с' — со Дс° + Ас'
/ ' * 2 At
Где с' и с0 — средние в интервале - At значения концентраций рассматриваемого мигранта в выходном и входном сечениях; Ас° и Ас' — изменения этих концентраций за интервал времени At.
Определив значения ct и сх из уравнения (8.25а) при средней концентрации мигранта в каналах с=0,5(с'-}-с0) находим среднюю концентрацию с* в блоках:
С* = - L (mct - f vcx) + с.
А
После Этого при Ct* = (с*—С-*)/At (где с~* — значение с*, определенное таким же расчетом на предыдущий интервал времени при A^=const), из уравнения (8.256) находим значение у: __ (1 — *) Ncj* — а (с — с*)
Ся — С*
Начальное значение с*, по-видимому, можно принять равным выхбдно. й Концентрации мигранта с в начальной порции раствора.
Для определения параметров более сложных гетерогенных моделей (например, с учетом гидродисперсии) целесообразно использовать оптимизационный подбор с минимизацией некоторой функции качества.
JI. Лукнер применил такой способ обработки для анализа данных проведенного К - Ницше опыта по фильтрации в песчаной колонне длиной ^=120 см и диаметром 20 см при постоянной скорости фильтрации и = 3,6-10~5 см/с. В этом опыте с начала опыта во входном сечении подавался раствор СаС\2 постоянной концентрации с мигрантом 45Са2+, а на выходе были получены следующие данные изменения относительной концентрации во времени:
С........................ 0,09 0,35 0,51 0,63 0,73 0,81 0,86 0,9 0,93
І, 104с.... 0,67 1,00 1,33 1,67 2,00 2,33 2,67 3,00 3,33
Математическая модель, использованная Для обработки этих данных, представляется системой дифференциальных уравнений (6.15) и (6.16) при &3=0, т. е. была принята гетерогенная модель с сосредоточенной емкостью блоков, ® которой роль слабопроницаемых блоков выполняли застойные зоны. Обмен между проводящими и застойными зонами описывается уравнением (6.15) с различными скоростями прямого и обратного обмена {k^k2), а сорбционные процессы считаются равновесными и учитываются заданием величин ni = n0+Kd и kt—nQ*+Kd* (где п0 и п0* — активная пористость проводящих и застойных - зон; Kd и Kd* — коэффициенты распределения для проводящих и застойных. зон).
Входящие в уравнения (6.14) и (6.15) параметры D, v, п0, п0*, Kd, Kd*, А, и k2 обобщаются в пять независимых переменных: Х]=2)/лэ, х2—и/п3, х3= = ki/na, Щ = кз1пэ и Ks—Пз/Пз* при Пя — tlQ + Kd и n9* — tl0 + Kd*, введя которые, запишем уравнения (6.14) и (6.15) в виде:
Д2с дс дс
** лГ~Х8"аГяя1Г + *зС"'*іС*: (а26)
Дс*
—— ^Хз *5с-*лс*.
Если подвергнуть эти уравнений преобразованию Лапласа, то независимая •переменная t переходит в параметр Лапласа s, L[dc/dt]=sC при с(/=0)=0, а система дифференциальных частных уравнений (8.26) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение
<РС etC / \
Которое приводится к безразмерному виду 1 — АС — «і \?pe—Vlo. г — С ■
PT^F ~5Г d" с»;
I Mo k2l0 пэ 1 t S* rt3/0
«— . ; «і = ; a2 = r; = ~тг = — = -------------------------------------------- •
To v V Пэ* 1 t* S V
Аналитическое решение уравнения и его обратная трансформация в область оригинала представляются выражениями (6,18) и (6.26). Для en компьютер - иол оценки используется программа ALSUB-3 [65].
Исходя из понимания процесса, оцениваются значения параметров для крупнозернистого песка при скорости фильтрации о=3,6-10-5 м/с и длине колонны /0=1,2 м: Ре=і>!0/£>==!в/бі~50; ai=ЈjWf=2,0 (при известном на основании аналогичных опытов значении &і = 6-І0~5 с); <х2= 1,0 (при кг*=кі в = 0,5); т=Ы0~* с-1 (при и0=ОД и іС<і—0,2).
Проверка метода интерпретации опытных данных по уравнению (8.27) и анализ его чувствительности при §=1 могут быть представлены нескольким» вариантами (табл. 14),
На рис. 40 приведены расчетные варианты представления измеренных величин с=/(Ре, «ь аг, і*), соответствующие трем выбранным значениям т.
Если в качестве абсциссы для представления вариантов расчетов выбраны lg t*, а для опытных данных lg /, то параметр т можно приближенно определить путем смещения по горизонтали до наилучшего совпадения измеряемый величин с эталонной кривой - для достаточно большого семейства кривых вида с*=}(Ре, a,, aj, lg (*). Для рассматриваемого примера получается т= 1,4Х Х10~4 с-!.
Сравнение вариантов, представленных на рис. 40, а также вариантов с различными значениями Ре. показывает, что область чувствительности рассматриваемого примера для Ре и at находится в диапазоне 0<с<0,1 нли 3-Ю3 с< <t<6 1(P с, а для а, и а2 в диапазоне 0,3<с<0,9 или 1 • 10* с<(. Соответственно, эти области должны быть надежно подтверждены опытными данными.
В качестве функции качества FK была использована наиболее простая форма
(ct — смі)2 — rnin,
Где gi — весовой коэффициент; с и cU[ — измеренное и модельное значение с в момент времени it. Можно считать значение весового коэффициента если в качестве с{ используются равноотстоящие значения субъективно выравненной кривой опытных данных. Функция качества FK должна быть чувствительной к идентифицируемым параметрам, а в области рациональных параметров (идентификации или поисковой области) по возможности иметь только одни минимум и достаточно большие градиенты в направлении этого минимума в качестве меры чувствительности. Очень нагляден такой анализ для двух идентифицируемых параметров, проводимый путем графического изображения изолиний функции качества. Если в предлагаемом примере исходить нз того, что i — i*/t с достаточной точностью идентифицировалось с помощью эталонных кривых, то возможен анализ функций FK = /(Pe, at) и FK=f(ab a2). На' рис. 41 приведены соответствующие данные, обнаруживающие достаточную чувствительность всех трех параметров в Войсковой области.
Безразмерные параметры для различных вариантов |
Вариант |
Ре |
«і |
«а |
1 |
20 |
2,0 |
1,0 |
2 |
50 |
1,0 |
0,5 |
3 |
50 |
1,5 |
1,6 |
4 |
Да |
3,0 |
0,5 |
5 |
50 |
1.0 |
1,5 |
Т*= л-10~4, с-' при п, равном |
1 |
0,5 |
1,5 |
Идентификация происходит по схеме, показанной иа рис. 42. Если т недостаточно точно определено по графику на рнс. 40, то производится поиск н этого Параметра, Начальные значения оцениваются по данным, приведенным иа рис. 40 (например, Ре=50; ai = l,0; a2=l,5). Для решения этой задачи составляется компьютерная программа. Таким путей, например, при т= 1,4-10~* с-1, находят (см. рнс. 40) ai —1,51; a2=l,41; Ре=53. Расчетная функция, вычисленная при этих параметрах по программе ALSVB-3, приведена на рис. 40, где наглядно показана репрезентантность идентифицированных параметров.
Рис. 40. Графические выражения вариантов расчетов выходной кривой относительной концентрации с трассером 45Саа+ при
A-c*~f (Ре, а,, а2, xt), Ре=50, £=1,0, т,=0,5-10-4 с-1, т2-1-10-4 с-і, Тз=1.510-« с-1; 6-c*-f(Pe, аь Оз, tg**, 1=1,0, x*=(t */*) —1,4 : І-І0-4 c-l = l,4-10-4 с-I. 1, 2, 3, 4, S~ номера вариантов; О — опытные данные
—; СО О О* |
Конечно, получение восьми модельных миграционных параметров из четырех идентифицированных возможно только в тех случаях, когда представлены четыре дополнительные информации. В предлагаемом случае можно исходить из того, что значение о может быть достаточно точно измерено и поэтому известно, а также Принять ki = k2 (поскольку молекулярная диффузия является симметричным процессом). Далее можно предположить, что по отдельности определяются п0 и tio/rio* (например, по данным выхода анионов). При » = = 3,6-10~3 м/с, k1 = k2, /іо=0,09і, njn0* = \,\ и l0—1,2 м, исходя из идентифицированных значений т=**//=1,4-10-4 с-1, cti = l,51, СЄ2=1,41 и Ре=53>, получа-
РЄ 70
60
4 lg? |
50
40
30
О 0,4 ав U 1,6 1,8 2,4 2,80 04 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 «2
Рис. 41. Графики функции качества FK при изменении параметров Ре, щ и а2. а — аі=1,5, |=1,0, 1=1,4-10-4 с-1; б-Ре=50, |=1,0, t-1,4-10-4 с-1
Ют восемь миграционных параметров: Z> = y/0/Pe=0,82-Ю-6 м2/с или бі = =Z>/o = 0,023 м, &1 = ^2=<xio//o=4,5- Ю-5 с-', «0=0,09, п0*=п0/1,1 = 0,08, Kd = = о/(/от)—«0=0,12, Kd*=^nak2lal(va2)—na* = 0M, т. е. пэ = 0,21 и п»* = 0,22. Другие дополнительные предположения приводят к несколько иным результатам интерпретации. |