Механика трубопроводов и шлангов

Уравнения движения стержня, имеющего продольное движение в вязкой среде

Подобные задачи возникают при переходных режимах в тех- .нологических процессах смотки и перемотки провода при дей­ствии на стационарном режиме движения стержня (ленточного радиатора, баллистической антенны), периодических возмуще­ний и т. д. Ограничимся случаем, когда сечение стержня круглое и постоянное ПО 8 (по = 1).

Выделив элемент стержня (рис. 22.1) и воспользовавшись принципом Даламбера, получим уравнение движения в безраз - мерпой форме

+- (221)

Дх ~ дх дг ~ а ]

Переходя к переменным Эйлера, получим

= + ^ + (22.2) Дх дг дг. ое

Где

<3=$<и-л,_ (22.3)

С учетом инерции вращения элемента стержня из уравнения

(21.4) получаем

Л^1+_0(^1т=-^1-+ё1хО+Ри+^. (22.4)

(Эи № ое

Входящая в уравнение

(22.4) угловая скорость ы* равна сумме скоростей: угло­вой скорости со, элемента трубки, с которым в данный момент совпадает элемент стержня, плюс угловая ско­рость элемента стержня, по­являющаяся при движении_по криволинейной траектории соот. Если криволинейная трубка неподвижна в пространстве, то при движении внутри ее элемент стержня должен вращаться, поэтому

(22.5)

Где со — угловая скорость вращения трубки; со0т — угловая ско­рость элемента стержня вследствие относительного движения. Найдем зависимость со0т от относительной скорости движения. Для неподвижной трубки имеем

Дв{ __ де-{ ^

Ди дв

Так как

Де.1 — — дег - —

—— = Ч, Т х в;,------- =х X е£,

Дх 0 * де

Из •соотношения (22.6) получим

Из уравнения (22.2) и переходя к локальным обозначении

Производным, получим (см. § 21) (знак тильды локальной производной опущен)

-^+^хс-Ь2ШХ™+-^=-^ + ххС> + ?0-Н; (22.10)

Д(/°м*) ш I

- ш--к х/°Л!>=

=^+* х м+е, х сг+н-„+1».

Как правило, инерция вращения элемента стержня мало влияет на динамику стержня (в частности, на частоты стержня), однако имеются прикладные задачи, сводящиеся к расчетной модели стержня, где инерция вращения играет весьма сущест­венную роль, как, например, в случае, показанном на рис. 22.2 На гибком стержне находится много сосредоточенных масс тп с конечным моментом ннерции Jq. При колебаниях такого стерж­ня инерцию вращения масс /о необходимо учитывать. К таким задачам относятся, иапример, задача о колебаниях цепных пе­редач, задача колебания пинтониого мосга, состоящего из мно­гих секций {рис. 22.3). Можно перейти к модели стержня с рас­пределенными параметрами, учитывая инерционные особенно­сти эгнх задач и связи между сосредоточенными массами, что приведет к уравнениям, содержащим слагаемые, учитывающие инерцию вращения масс 1Щ (непрерывно распределенную гю цлпне стержня).

При движении гибкого стержня в вязкой среде (например, колебания ленточного радиатора или баллистической антенны относительно стационарного режима движения) дополнительно к силе сопротивления, направленной по касательной к осевой лшшн стержня и зависящей при стационарном движении от й7, возникают аэродинамические силы, зависящие от переносной скорости го - Получить точные зависимости аэродинамических сип от скоростей и пdq не представляется возможным, поэтому
остается вариант приближенного определения обобщенных аэ - родинамичсских сил, которые для частных случаев давали бы известные выражения. Например, для стержней, имеющих про­дольное движение, можно считать, что полная аэродинамическая сила равна сумме сил:

Где да— аэродинамическая сила, появляющаяся при колебаниях стержня относительно стационарного режима движения; <]1 (ю) — дополнительная сила сопротивления, направленная по касатель­ной к осевой линии стержня. Такое представление аэродинамиче­ской силы дает возможность получить все ранее рассмотренные частные случаи. Обоснованием для такого разделения аэродина­мических сил может являться тот факт, что подъемная сила д^ н сила лобового сопротивления дп (входящие в </С() зависят только от нормальной составляющей относительной скорости стержня, которая не зависит от скорости продольного движения стержня.

В уравнения (22.12) — (22.13) входят аэродинамические силы, которые зависят как от скорости потока г;о, так н от переносной скорости V и относительной скорости т элемента стержня Вы­ражения для аэродинамических сил для этого случая взаимо­действия внешнего потока с движущимся стержнем получены в § 20 (формулы (19.27) — (19.46), (20.33)].