Механика трубопроводов и шлангов

Уравнения движения абсолютно гибкого стержня (нити), взаимодействующего с потоком

Для абсолютно гибкого стержня выполняются следующие условия:

3%=.Аа=М-=Ъ *2^2—<2л= 0, (23.1)

Поэтому векторные уравнения движения стержня, полученные в § 21, можно существенно упростить. Прежде чем перейти к пре­образованиям уравнений движения, следует отметить, что для нити безразмерные величины связаны с размерными иными со­отношениями, а именно:

*=/«; т =Ро*; А|=и//)1/В;

Я=Ч(,т^ х=-/у/. (23.2)

В последующих уравнениях, относящихся к задачам дина­мики абсолютно гибких стержней, считается, что они приведены к безразмерной форме в соответствии с соотношениями (23.2). Индекс нуль в безразмерных величинах, как и в предыдущих безразмерных уравнениях, в дальнейшем опускается.

130

Абсолютно гибкий стержень имеет нулевые жесткости (Л„- = 0), поэтому нет и внутренних ^

Моментов. Из уравнения (22 1) —

Видно, что аэродинамические мо­менты (II, (.1а) следует считать равными нулю. Для многих при - — кладных задач это допущенне не приводит к ощутимым погрет но - стям, как, например, колебания провоюв линий электропередач Рис. 23.1 [5; 43], трос при буксировке и

Другие, когда гибкий стержень имеет круглое сечение. Но есть много задач, когда эффектом действия от возникающих аэро­динамических моментов пренебречь нельзя, в частности, к таким задачам относится задача о колебаниях проводов при обледене­нии. В этом случае сечение провода со льдом имеет несиммет ричпую форму (рис. 23.1), что приводит к смещению центра дав леиия относительно центра тяжести сечения и появлению рас пределенных аэродинамических моментов ра, которые изменяют местный угол атаки аа, а через угол ап и аэродинамические рас предсленпые силы Ц„, т. е. имеет место полная аналогия с клас­сической задачей флаттера стержня.

В подобных задачах динамики абсолютно гибких стержней пренебрегать цп нельзя, т. е. следует считать, что Ац^= 0 Наири - мер, для нрэводов линий электропередач можно считать, что Иа—МпСі (возникает только крутящий распределенный аэроди­намический момент), и в уравнениях движения учитывать толь­ко жесткость стержня на кручение.

Ра^смотргім два варианта уравнений движения нити, взаимо­действующей с потоком воздуха или жидкости, — уравнения дви­жения, записанные относительно неподвижных осей, и уравне­ния движения в связанных осях.

Уравнения движения нити в неподвижных осях. В приклад­ных задачах, как правило, необходимо знать вектор перемоще­ння точек осевий ЛИНИИ их ^их = V их - і^ И НаТЯЖЄНІІЄ (Зі, по­этому из общих уравнений имеем

«о-^г - (23.3)

Где _ -

(23.4)

А компоненты производных вектора нг удовлетворяют условию

Исключая из (23.3) вектор ()Л-. получим

Яо— — ^1—) =</+?*. №6)

Дг2 * I 1 дг I ' Ча

Уравнение (23.6) совместно с условием (23.5) дает возмож­ность определить четыре неизвестные величины иХз (/= 1, 2, 3) и фр В скалярной форме получаем

Уравнения движения нити в связанных осях. В ряде задач более удобными для решения являются уравнения в связанных осях, которые имеют следующий вид (знак тильды в обозначе­ниях частных производных опущен):

П° ("лГ+х5е)~_х ^=?+?«: <23-8)

-^Е-+*.хо„-Кхё1)=0; (23.9)

*« = + (23.10)

= (23.11)

Система четырех уравнений (23.8) — (23.11) содержит пять неизвестных векторов: ьЄі сос> хе н - Ое, но векторы <?е н ке име­ют соответственно одну и две компоненты:

Ке= к^+х^з, (23.12)

Поэтому общее число неизвестных компонент векторов равно числу уравнений системы (23.8) — (23.11), записанных в скаляр­ной форме. В ряде прикладных задач могут быть использованы и уравнения

X й=(1 — /п) ё. — /21ё2—/31ёг; (23.13)

Де

— —----------------------- йхх=0. (23.14)

Дв дл ' ,

В скалярной форме имеем dv

I OVi I 1 C'Vl I

П" (-sr+^-^r

■“Л ) —■*Гз^1 = ?2+9‘й’ (23.15)

«о (-^- +®л+'«i“2 )=?3+ї»;

~h изг,2—О;

D^2

-[- T^Vy X^g = 0)3; (23. 16)

<?l>3 .

^ H - *1*>2 — ЗД = —

Xj = +xioj Cos Ф cos 9---------- sin 4»—{-

-{- (cos ^ sin © sin & — sin <|i cos &) x30;

0=-^— —J- xj0j sin 9 4"Cos 9 sin ^*30» (23.17)

K3 = COS Ф -|-r.10J Sin Ф COS <p - j - (COS Ф COS &-{-

4- sin ^ sin 9 cos tt) *80; t«i = — cos Ф cos <? — sin Ф;

TOC o "1-5" h z dr dt

To2=J^------------ ~ sin tp; (23.18)

Dt dz

Df, 1 <3& . ,

F»A——— cos Ф ---- sm Ф cos f.

Dr r dr T

Уравнения (21.20) — (21.21) в скалярной форме записи име­ют вид

Du , , <5toi dr. х

----- «зП2 = 1 _ I ; —-------------- — = ї2..,3 — 0J2v:,;

De (5є с? є

~а^+Чи1-у. Іиа=- /21; -*L —*Й-=Шіх,_„Л; (23.19)

----- 1~ *jK2= — /31>

<5є 1 1 017 <3є

Частные случаи уравнений движения абсолютно гибкого стержня, взаимодействующего с потоком жидкости или воздуха.

1. Уравнения движения стержня в плоскости потока (см. рис. 21 2) в проекциях на неподвижные оси имеют вид

(2з-2о>

<2з-21)

TOC o "1-5" h z двдгдг К

= (23 23)

Дг де де. 4

Х?+х£=1. (23.24)

Если на нить кроме аэродинамических сил действуют только силы тяжести, то д-с( равны

<?д, = 0; 9Л'= — 1.

2. Уравнения движения стержня в плоскости потока в проек­циях на связанные оси имеют вид

( дvl _____

(23.25)

Г»

----------- у Ль =0

(23.26)

В проекциях неподвижные ОСИ IIMfc QM

В связанной системе координат уравнение движения абсолют­но гибкого стержня с учетом продольного движения имеет вид

(23.31)

Дт дх

В проекциях на связанные оси

Где проекции аэродинамических сил находятся из выражений

Ча} = ЧашЄ]) ИЛИ qaj =