Механика трубопроводов и шлангов

Основные уравнения движения трубопровода, заполненного движущейся идеальной несжимаемой жидкостью

Как уже указывалось выше, трубопроводы отличаются от шлангов тем, что обладают изгибной и крутильной жесткостью. Поэтому при выводе нелинейных уравнений движения трубопро­вода воспользуемся методом, который использовался при полу­чении нелинейных уравнений движения стержня, взаимодейст­вующего с внешним потоком воздуха или жидкости, учитывая особенности взаимодействия трубопровода с внутренним пото­ком жидкости. При выводе основных уравнений движения тру­бопровода рассмотрим наиболее общий случай, когда полость стержня имеет переменную площадь [53].

Векторные уравнения движения трубопровода. Рассматривая отдельно элемент стержня и элемент жидкости (рис. 37.1), сов­падающий в данный момент с элементом стержня, можно полу­чить следующие два уравнения движения:

	(37.1)
О Ірр-2Єі) 7 і - Де
(37.2)
(т2 (5)=/Г2(5)

Где /тг1 (£■)—масса единицы длины стержня; р! — плотность ма­териала стержня; т2 (я) — масса жидкости, приходящаяся на

Единицу ДЛИНЫ стержня; р>2 — плотность жидкости: Л (я),

—

площади соответст­венно сечения стержня и от-

Абсолютной скорости центра тяжести элемента стержня;

Ной скорости жидкости; (/ — вектор внутренних сил в стер­жне; § — вектор внешних рас-

Предсленных СИЛ, Приложенных К стержню; Yb V2 — векгоры распределенных сил, вызванные силовыми полями; р — давление в жидкоеги; ё — единичный вектор, направленный по касатель­ной к осевой линии стержня; / — вектор сил взаимодействия между стержнем и жидкостью.

Для стержня с переменной по координате s площадью отвер­стия

' /£>+/£» (37.3)

Где ё2, ёз — единичные векторы, направленные по главным осям сечения стержня (ёго — единичные векторы, определяющие поло­жение связанного трехгранника осей при равновесии стержня).

Если F2= const, то для идеальной жидкости вектор / всегда ортогонален вектору Ъ. Движение жидкости может быть как ста­ционарным (в этим случае скорость w зависит только от s), так и нестационарным (г£ зависит от s и t). В любом из этих случаев, для несжимаемой жидкости справедливо условие

F2jw_{0, t)=F2w(s, t), (37.4)

Где ш_(0, /)—скорость жидкости на входе в трубопровод, ко­торая известна, если известен массовый расход на входе, поэто­му в любом сечении стержня скорость жидкости ш($, t) — =F2qW— (0, t) IF2 (s). Скорость ш(з, t) не зависит от движения стержня (это справедливо только для несжимаемой жидкости). Давление в жидкости (в отличие от скорости) неизвестно, так как зависит от возникающих при движении стержня сил инер­ции m2{dvldt--wdv/ds), действующих иа жидкость.

Если при решении конкретных задач не требуется определять силы взаимодействия, то. исключив / из (37.1) и (37.2), получим

(m,+mj и, j-f V: (37.5)

Q=Q' -{pF2- m2w2)e1; y=Yi + Vj - (37.6)

При выводе уравнения (37.5) учитывалось условие постоян­ства секундного расхода жидкости; m20w0—m2w, поэтому имеем

Dw dw - . ,ttei д. /0_

Ггыш---- — m2w------- е, - f - ----- —------ {rtuw2e,).------- (67.7)

Ds дь ~ ds дь

Вектор Q в общем случае, когда рассматривается движение стержня относительно состояния равновесия, можно представить в виде суммы

Q - Q0±Qq, (37.8)

Где Qq — значение векюра (7 в статике; Qq — динамическая со­ставляющая вектора Q.

Рассмотрим два варианта уравнений вращения элемента тру­бопровода, заполненного движущейся жидкостью: без учета инерции вращения стержня и жидкости и с учетом инерции вра­щения стержня и жидкости

В первом случае уравнение моментов полностью совпадает с уравнением (5.10) и имеет вид

-^- + ё1хд=?. (37.9)

Во втором случае имеем уравнение

— (/<■>»)+—хд+[1=о, (37.Ю)

<И <Н

Где 1(2) — матрицы, зависящие от физических моментов инер­ции элементов стержня и жидкости (для трубопровода перемен­ного сечения, они зависят от 5); юг — угловая скорость вращения элемента жидкости, равная

Й2=ш+йог (ш„=то.*). (37.11)

4-та2— им?.)------------ ^-^хд + ^О. (37.12)

Следует заметить, что учет инерции вращения жидкости, как это сделано в уравнении (37.12), является приближенным, так как предположение, что элемент жидкости, совпадающий в дан­ный момент с элементом трубопровода, имеет такую же угловую скорость о) (например, при йу=0), не является точным. Из-за от­носительной подвижности жидкости средняя угловая скорость элемента жидкости будет отличаться от угловой скорости эле­мента стержня, но Для приближенной оценки влияния инерции вращения жидкости можно принять, что угловые скорости (пе­реносные) элемента жидкости и элемента стержня совпадают.

Остальные уравнения, характеризующие движение трубопро­вода, полностью совпадают с уравнениями, полученными в гл. IV, которые приведены без дополнительных пояснений:

М = А[*-1&1)) + М0;

^._1хё,=0;

— ;Хй=0; (37.13)

Д1

Ди - -

----- =е—ет-

Дs

Перейдем в уравнениях (37.5) - (37.13) к безразмерным ве­личинам, считая 5=/е, /=т'/?0, ъ‘ = ъл [рь, и=и01, <2=ОМ33(0)//2, Л? = ЛГ"Л33(0)//, р 1 ($) = /=■ щ/, (е), /Г2(«)=^Г2оЛ (Е), т=1ю,>1рс, [х=^М33(0]//2, ш=ш°Ро, *'-=хо//- ■у=-у«Л83(0)//3, 9=9°Л33 (О)//3,

Л = Мл №(«10 + т2о1 '41Г.

1Р=рРцр1А& (О), где Л33(0), тю, Ш20, /-,0, — значения соответствующих вели-

Чин в фиксированном сечении, например в начале координат. После преобразований уравнения (37.5), (37.9) в связанной сис­теме координат принимают вид (опущен индекс нуль над без­размерными величинами, и при этом сделан переход к локальным производным д'(дх, д'/дг)

«2 (е) ( +ш X о) + 2/г, щ| +«1 6 —х X о=

, ,^ЗМ±МЙ.); (37.14) Щъ + ^20 /»10 + т20 I

Ш +* X м+-^+; X М„-Ъ хё,=|Х(Т1=л б-З1’)).

(37.15)

Дополнительно к (37.14), (37.15) имеем

■^--|-шхй-щ=0; -4^+*х и=в1—е,0; (37.16)

—-йхя-тхё^О;— ----------------------------------------- ;)Х;=0; (37.17)

Де де дг

Д=ё(,) - [я/2 (.)+®,Ч//2 (.)] ё„

Где А — матрица жесткостей с безразмерными элементами Л» (е)/Л3з(0).

С учетом инерции вращения получаем уравнения (в безраз­мерной форме)

(умй)+» X (/<2>й) 4- * X У<21йта=

= + ^ (37.18)

Где №=№ |- ^ I2).

Напомним, что переход от базиса {ё, о} к {с,} осуществляется с помощью матрицы Ь (см. § 3).

В скалярной форме получаем следующие уравнения движения в связанной системе координат трубопровода, заполненного иде­альной несжимаемой жидкостью (без учета инерции вращения):

+*,<,/“,434+ ,,*,4%®=—+

Де. ' с>е у

+-^72-+«к,/*,'И/0_ч, Л; = Л, (37 27)

В уравнениях (37.19) — (37.26) знак «штрих» в локальных производных опущен.

Напомним, что входящие в уравнения (37.19) — (37.27) про­екции векторов и(хг) и со (о,) связаны с углами поворота по­движных координатных осей соотношениями (3.37) — (3.39), (4.12) —(4.14):

Я1 = (_^_|_х10 cosФ cos?—~ sin 6-L(sin Ф sin V —j—

V де. I де

-|- cos sin cos v) *20+(cos $ sin <p sin v — sin ^ cos v) x30,

-x2 — —hyio^ V Hb cos? cos VJt2o+ c°s 9 sin vx30; (37.28)

TOC o "1-5" h z Hg == —COS Ф “I - —* tt10 sin Ф COS © - f - (sin Ф sin <p Cos‘vi­de v J

— COS sin v) «20+ (C0S ф C0S V + sin Ф sin ® Sin v) x4f);

Dv. д<р. , дф dv

0). =------ cos Ф COS CO - - Sin ш2——------------------ sin 9;

Dx dii dr ox

ws= ~~ cos 4> +• sin 4» cos®. (37.29)

В каждом конкретном случае расчета (с определением vK или ик) используется система из восемнадцати уравнений, причем шесть уравнений не содержат производных по безразмерной ко­ординате [уравнения (37.23) и (37.29)]. Остальные двенадцать содержат только первые производные неизвестных функций по е, т. е. для решения системы необходимо иметь двенадцать крае­вых условий (по шесть на каждом конце трубопровода).

Рассмотрим более подробно возможные варианты краевых условий. При закрепленных концах трубопровода (но не упру­гое закрепление) краевые условия не связаны с компонентами вектора Q, поэтому решение системы (37.19) — (37.25), ^37.28), (37.29) дает возможность получить компоненты вектора Q, кото­рые равны

Qi=-QP -

<32=Q! I); q3=q!,1’.

Для определения внутренних усилий Q,<1> в трубопроводе не­обходимо определить Р (при известном значении а>_), поэтому рассмотрим проекцию уравнения (37.2) на направление каса­тельной Переходя к локальным производным и безразмерным величинам, имеем

'г‘/2 --pJЈ~

Уравнение (37.30) содержит неизвестную безразмерную силу Р, так как VI и ш. известны нз ренгсния системы (37.19) —

(37.25) . Рассмотрим возможные случаи краевых условий для жидкости.

Из уравнения (37.30) находим безразмерную силу Р, завися­щую от давления в жидкости:

О

(37.31)

Безразмерная сила Р10 находится нз краевых условий для по­тока жидкости. Если на выходе из трубопровода поддерживается постоянное давление рк (первый случай краевых условий), то нз уравнения (37.31), при известной скорости до, можно найти дав­ление на входе

Рю= Як—|у21_ и,/2|^--Нг>зМ2—туоз^Е —

Если известно давление Рю(0,тг) на входе в трубопровод (скорость до_ неизвестна) и известно давление на выходе (Рь), то из (37.32) можно определить скорость до_ на входе. Зная фк, Р и ш_, находим внутренние усилия в трубопроводе:

(37.33)

Второй случай краевых условий имеет место, когда один из кондов трубопровода свободный или упруго закрепленный В этом случае внутренние усилия в стержне или равны нулю (имеются в виду краевые условия), или равны реакциям упру­гих опор. Для решения уравнений надо знать краевые условия ДЛЯ (Эк, которые зависят от Р и ш_, поэтому следует совместно с системой (37.19) — (37.25), (37.28), (37.29) рассматривать и уравнение (37.30). При этом удобнее уравнения движения тру­бопровода и жидкости в проекциях на касательную к осевой ли­нии трубопровода рассматривать отдельно, что приводит к урав­нению [вместо (37.19)]

Где

И уравнению (37.30).

Число неизвестных (и уравнений) в этом случае увеличива­ется на единицу.