Механика гидро - и пневмоприводов

Течения в коротких каналах с дросселированием потоков рабочих сред

Рассмотрим течение жидкости в канале с дросселирую­щей поток диафрагмой (рис. 3.1). Исходным для определе­ния характеристик такого течения может служить уравнение (2.52). При установившемся течении последний член в правой части уравнения равен нулю. Если принять для простоты по­ложение оси канала горизонтальным, то, выбрав контрольные сечения а — а и ж — я, из этого уравнения получим

(3.3)

Рис. 3.1. Схема течения жид­кости в канале с дросселирую­щей поток диафрагмой

КччччччччуАчччж^

Г N

Для сечений х — х и 6 — 6 соответственно имеем:

(3.4)

В уравнения (3.3) и (3.4) входят следующие величины: ра, Рх> Ръ — давления в указанных на рис. 3.1 сечениях; уа, т;*, уь и аа, ах> <*ь — скорости жидкости и коэффициенты кине­тической энергии в тех же сечениях; (ах, СхЬ — коэффициен­ты гидравлических сопротивлений участков между сечениями (а - а) — (х — я) и (ж — х) — (6 — 6).

У реальных дроссельных устройств значения уа и ^ не­значительно различаются и каждое из них всегда меньше ух, а коэффициенты кинетической энергии при турбулентных тече­ниях, наиболее частых в таких устройствах, близки к единице. С учетом этих дополнительных допущений по уравнениям (3.3) и (3.4) находим

(3.5)

ГДе Сдр = Сах + СхЬ — коэффициент гидравлического сопроти­вления короткого канала с дросселированием потока жидко­сти.

Чтобы вычислить расход фдР жидкости, протекающей по каналу, скорость ух необходимо умножить на площадь 5Х жи­вого сечения потока, которая вследствие сужения потока будет несколько меньше площади 5др проходного сечения дроссель­ного отверстия. Вводя коэффициент сжатия потока

(3.6)

Получаем

Где /лДр = б/ у/Сдр — коэффициент расхода короткого канала с

Установленной в нем дросселирующей поток диафрагмой.

Формула (3.7) является одной из основных среди применя­емых в технических приложениях при расчетах разнообразных

Дроссельных устройств. Коэффициент ^др, который входит в эту формулу, обычно принимают по экспериментальным дан­ным, представленным в зависимости от числа Рейнольдса

45,п>''* (3.8)

Хдрі/

Где Хдр — смоченный периметр отверстия (для круглого от­верстия диаметром 45др/Хдр = Для прямоугольного от­верстия, открываемого кромкой золотника на величину х3 С Ь, Ь — ширина, 45др/Хдр = 2ж3); V — кинематическая вязкость жидкости.

На рис. 3.2 приведены графики зависимостей /хдр от Ле для круглого отверстия с острой кромкой (кривая 1) и для пря­моугольного окна в гильзе гидроаппарата с цилиндрическим золотником, бурты которого имеют острые (кривая 2) и при­тупленные (кривая 3) кромки. При больших числах Рейнольд­са коэффициент расхода отверстия с острой кромкой достигает значения, равного 0,62. Почти такое же значение получено в механике жидкости и газа в результате решения задачи о плос­копараллельном истечении невязкой несжимаемой среды через отверстие с острыми кромками. Это показывает, что коэф­фициент расхода в основном определяется значением коэффи­циента сжатия потока после дроссельного отверстия. Данное положение известно из гидравлики и подтверждается также
тем, что при притупленных кромках золотника коэффициент расхода прямоугольных окон несколько выше, чем при острых кромках.

Течения газа в каналах с дросселями отличаются от тече­ний жидкостей из-за более значительного изменения плотности газов в зависимости от давления и вследствие меньшей вязко­сти газов. Связь между расходом газа и разностью давлений во входном и выходном сечениях канала можно найти с помощью уравнения Бернулли для установившегося движения невязкого совершенного газа. Вычисленные таким способом теоретиче­ские значения расхода удается приблизить к действительным, используя экспериментальные коэффициенты расхода. Для га­зов, учитывая их большую сжимаемость, обычно определяют массовые расходы.

Для баротропного установившегося движения газа урав­нение Бернулли выводят из уравнений гидродинамики Эйле­ра. Пренебрегая объемными силами, представим уравнение в виде

РО

В случае адиабатического движения невязкого газа зави­симость плотности газа от давления описывается соотношени-

Содержащиеся в уравнении (3.10) величины ро и ро выбира­ют постоянными и соответствующими адиабатически затор­моженному газу при V = 0. Из уравнения (3.10) следует фор­мула Сен-Венана и Ванцеля

(3.11)

Формула (3.11) определяет скорость V в любом живом сечении потока газа, в котором давление равно р.

Если принять скорость в канале перед дросселем доста­точно малой, чтобы в этой области считать газ адиабатически заторможенным, то скорость ух в сечении х — х после дросселя можно вычислить по формуле (3.11), предварительно подста­вив в нее вместо ро и ро давление ра и плотность ра газа в сечении а — а перед дросселем.

Массовый расход (7др газа на выходе из дросселя равен:

Сдр — Рх1)'г 5®,

Где рх и5х — плотность газа и площадь живого сечения потока на выходе из дросселя.

Согласно соотношению (3.9)

(3.13)

Плотность ра зависит от абсолютной температуры 0а газа пе­ред дросселем. Для совершенного газа эта зависимость описы­вается уравнением Клапейрона

(3.14)

Где Д — газовая постоянная, для воздуха равная

287,14 м2/(с2-К).

До тех пор, пока скорость ух не превышает скорость зву­ка в рассматриваемом сечении потока газа, давление рх можно считать равным давлению ръ в канале после дросселя, где, как и до дросселя, будем пренебрегать скоростью движения газа. Используя с учетом сказанного уравнения (3.13) и (3.14), по

Формулам (3.11) и (3.12) нетрудно найти теоретическое выра­жение для массового расхода через дроссель, умножив которое на коэффициент /хдр расхода, получим

(гГ

Где 5др — площадь проходного сечения дросселя.

Коэффициент /Хдр расхода в формуле (3.15) учитывает как возможное различие значений 5Х и 5др, так и гидравлическое сопротивление канала с дросселем. Этот коэффициент зависит от формы дросселя и режимов течения газа в канале, он может находиться в пределах от 0,6 до 1,0.

При уменьшении давления ръ на выходе из канала до кри­тического значения ркр, при котором скорость V движения газа в сечении х — х или в каком-либо другом сечении потока после дросселя становится равной местной скорости с звука, возни­кает запирание выходного сечения канала. В этом случае ис­течение газа происходит с постоянной критической скоростью даже при дальнейшем уменьшении давления Критерием смены режимов движения газа служит число Маха

Ма = —. (3.16)

С

Если Ма < 1, то движение газа дозвуковое, если Ма > 1, то движение газа сверхзвуковое, при Ма = 1 имеем рь = ркр. Критические параметры ркр, 0кр, скр, рКр вычисляют с помо­щью параметров ра, 0а, са, ра заторможенного газа, используя соотношения:

К

0*

К - 1

/кр * .

0а к+11

1

Скр __ / 2 рКр ^

Са V к + 1 ’ Ра

В соответствии с первым из этих четырех соотношений усло­вие, при выполнении которого движение газа будет дозвуковым

И справедлива формула (3.15), имеет вид

К

21 > 2 1* ~ 1

Ра [к + 1

Для воздуха к = 1,4, поэтому течение является дозвуковым, если

— > 0,528. Ра

Оценка влияния сжимаемости газа на значения расхода показывает, что при Ма <0,14 ошибка не превысит 1 %, если расход вычислен как для несжимаемой жидкости.

При (рь/ра) < (Ркр/Ра) массовый расход газа через дрос­сель определяется соотношением

(3.18)

Сд — ^, Рд — Рай®а

Формулу (3.18) можно привести к виду

(3.20)

Формула (3.20) показывает, что в данном случае массовый рас­ход газа через дроссель не зависит от давления рь на выходе из канала, а изменяется только при увеличении или уменьшении давления ра на входе в канал.

Разделив формулу (3.15) на (3.20), получим

(3.21)

С помощью функции (3.21), график которой показан на рис. 3.3, массовый расход газа через дроссель можно вычислять по фор­муле

(3.22)

Рис. 3.3. График функции для расчета массового расхода газа через дроссель

Для воздуха Л. Прандтль предложил приближенные фор­мулы, которые представим в виде

(3.23)

(3.24)

Явление, аналогичное запиранию канала с дросселем при критическом истечении газа, наблюдается и при течении жидкости в канале с жиклером в виде цилиндрического насад­ка. В таком жиклере после снижения давления в сжатом се­чении потока до значения, близкого к давлению насыщенных паров жидкости, возникает кавитация, которая сопровожда­ется отрывом потока от стенок жиклера. При последующем увеличении давления на выходе из канала расход жидкости не изменяется до тех пор, пока это давление не станет равным приблизительно половине давления на входе в канал.