Механика гидро - и пневмоприводов

Переходные процессы в гидро — и пневмоприводах

Показатели качества переходных процессов

Системы с гидро - и пневмоприводами во время эксплуа­тации подвергаются как управляющим, так и возмущающим воздействиям, в результате которых происходят изменения со­стояния систем во времени. В реальных условиях воздействия на систему чаще всего бывают случайными, вызывая в систе­ме случайные или стохастические процессы. На практике све­дения о характеристиках случайных воздействий на системы с гидро - и пневмоприводами, как и на многие другие техни­ческие системы, обычно крайне ограничены, поэтому при ис­следованиях динамических свойств систем широко применяют так называемые детерминированные воздействия. Типовыми детерминированными воздействиями являются: ступенчатое, импульсное и гармоническое. При последнем виде воздействия рассматривают поведение системы в частотной области сигна­лов, в которой достаточно эффективно можно решать задачи устойчивости систем, а также исследовать влияние различных факторов на динамические характеристики отдельных элемен­тов и систем в целом.

В частотной области сигналов хорошо сочетаются рас­считанные по математическим моделям характеристики ча­сти устройств исследуемой системы с экспериментальными ха­рактеристиками тех устройств, для которых по каким-либо причинам математические модели не могли быть составлены. Благодаря отмеченным достоинствам методы исследований и расчетов систем в частотной области сигналов широко исполь­зуют на практике. Однако если при гармонических воздей­ствиях сравнительно просто провести испытания отдельных устройств и какой-то части системы, то натурные испытания систем, содержащих сложные объекты (энергетические уста­новки, летательные аппараты, строительно-дорожные маши­ны), далеко не всегда осуществимы.

В связи с чем наряду с частотными методами не менее широко применяют методы исследований и расчетов систем во временной области. При этом определяют переходные про­цессы, вызванные в системах ступенчатыми или импульсными воздействиями. Первые из них проще воспроизвести в реаль­ных условиях, что облегчает проверку адекватности рассчи­танных и полученных в результате физических экспериментов переходных процессов. К тому же процессы при ступенчатом воздействии на систему дают достаточно наглядное предста­вление о таких динамических свойствах систем, как быстро­действие, колебательность и продолжительность процесса.

Если линейная математическая модель системы в необхо­димой мере отражает динамику реальной системы, то по пере­ходным процессам при ступенчатых воздействиях можно вы­числить переходные процессы при импульсных воздействиях,

А также найти те и другие по частотным характеристикам си­стемы.

При наличии в системе существенно нелинейных звеньев такой пересчет процессов будет приближенным и не исключает получения неверных результатов.

На рис. 6.16 изображены основные виды переходных про­цессов, вызванных ступенчатыми воздействиями на систему, математическая модель которой близка к линейной. Переход­ный процесс 1 называют колебательным, переходный процесс 2 — монотоннным, переходный процесс 3 — апериодическим. В устойчивой системе, описываемой линейным дифференци­альным уравнением, выходная величина у приближается к своему установившемуся значению уж при < —> оо, поэтому продолжительность переходного процесса оценивают по зна­чению времени <П) при котором значения у отличаются от Уоо на ±Ау00. Эта величина определяет “канал” допустимых отклонений у, при которых процесс считается закончившим­ся. Для колебательного процесса кроме указывают время первого согласования изменяющегося значения у со своим установившимся значением уоо. Чем меньше тем выше быстродействие системы. Показателем колебательности про­цесса является число периодов Гпер, находящихся в пределах времени Обычно считают, что это число не должно быть более 1,5 ... 2,0. Важной величиной, характеризующей колеба­тельный процесс, является максимальная динамическая ошиб­ка (при Ь = Ьм)

Отах = —Х ~-—100 %, (6.112)

Уоо

Которая для большинства систем не должна превышать 25 ... ...30%.

Время переходного процесса, размер “канала” допускае­мых отклонений выходной величины и максимальная дина­мическая ошибка определяют границы области (отмечены на рис. 6.16 штриховкой), в которой должен располагаться гра­фик допускаемого для системы переходного процесса.

Монотонный и апериодический переходные процессы оце­нивают по времени <п - У одной и той же системы при разном

Выборе параметров, влияющих на вид переходного процесса, значение получается больше при апериодическом или моно­тонном процессе, чем в случае колебательного процесса. По­этому наибольшее быстродействие достигается в системе с ко­лебательным процессом. Если быстродействие несущественно, а необходимо обеспечить плавный переход системы из одного состояния в другое, то апериодический процесс будет лучше коле бательного.

Для качественного управления объектом важны не толь­ко вид и показатели переходных процессов, но и точность, с которой при заданных входных воздействиях устанавливают­ся значения выходных величин. Точность управления систе­мами с гидро - и пневмоприводами зависит от многих факто­ров, к числу которых относятся силы сухого трения, действу­ющие на отдельные элементы приводов, утечки рабочих сред в управляющих устройствах и исполнительных двигателях, люфты в механических соединениях, электромагнитный гисте­резис в электромеханических преобразователях сигналов и др. Но даже при совершенном исполнении всех устройств гидро - и пневмопривода, практически исключающих все подобные фак­торы, точность управления во многом будет предопределена
той структурой системы, которую можно описать линеинои математической моделью. Чтобы пояснить это утверждение, рассмотрим сначала применяемый в теории управления метод оценки ошибок при установившихся режимах систем.

С этой целью воспользуемся структурной схемой, изобра­женной на рис. 4.2, в, и передаточной функцией (4.61), из кото­рых при отрицательной обратной связи получим

С(5,=тжмм,)' (6Ш)

Если входное воздействие является ступенчатым (см. рис. 6.17), то

£^вх(0

Рис. 6.17. График ступен­чатой функции

Изображение по Лапласу функции (6.114) найдем по фор­муле (4.45):

Оо

МЮ = I е~а*ивхЦ)(И = -

= (6.115)

5

С учетом изображения (6.115) формулу (6.113) представим в виде

+ (6'Ш) В соответствии со свойством преобразования Лапласа зна­чение функции оригинала /(<) при t —> оо можно вычислить по изображению Р(з) при 5 —► 0 с помощью равенства пределов

Нш /(<) = Нш зР(з).

*—юо з—►О

Обозначив установившуюся ошибку 6уст и применив фор­мулы (6.116) и (6.117), найдем

<уст - йо L + H'wVo. cM' (вл18)

Следящие гидро - и пневмоприводы в большинстве случаев имеют отрицательные обратные связи по положению выходно­го звена. Для таких приводов примем, что

^о. с(5) = - Кп. ОС -

Кроме того, структурные схемы силовых частей приво­дов, как было показано в главе 5 (см. рис. 5.3 и 5.5), могут содержать интегрирующее звено. Если для этих силовых ча­стей значение коэффициента внутренней обратной связи (Кк или Кн) пренебрежимо мало, а управляющая часть не содер­жит интегрирующих звеньев, то используя формулу (6.118), можно получить

(вл19)

Где Ку — коэффициент усиления всего разомкнутого контура, значение которого возрастает с увеличением добротности си­ловой части привода и коэффициента усиления управляющей части.

Из соотношения (6.119) следует, что при наличии в конту­ре привода интегрирующего звена £уст = 0, когда UK = const. При изменении UK с постоянной скоростью, т. е. dUK/dt = = const, движение выходного звена происходит с постоянной ошибкой по скорости. Эта ошибка будет тем меньше, чем больше значение коэффициента Ку. Последнее обстоятель­ство объясняет причину, по которой может потребоваться уве­личить значение добротности привода. Кроме того, с увели­чением добротности привода обычно возрастает его быстро­действие. Однако повышение добротности ограничено усло­вием устойчивости, что, в частности, показывает неравенство

(6.14).

Если коэффициент (Кя или Kni) внутренней обратной свя­зи у силовой части привода нельзя принять равным нулю,

То передаточная функция разомкнутого контура привода при 5 —> 0 будет приближаться к апериодическому звену первого порядка, а не к интегрирующему звену. В этом случае уста­новившаяся ошибка определяется соотношением

^уст = (6.120)

Где К — коэффициент усиления всего разомкнутого контура привода, не содержащего интегрирующее звено.

В соответствии с формулой (6.120) для уменьшения уста­новившейся ошибки в конце переходного процесса, вызванного ступенчатым воздействием, необходимо увеличивать коэффи­циент усиления разомкнутого контура. Однако, как и в пре­дыдущем случае, такое увеличение коэффициента усиления свыше определенного значения нарушает условие устойчиво­сти привода.

Выбор параметров и расчет переходных процессов

При проектировании систем с гидро - и пневмоприводами необходимо выполнять противоречащие друг другу условия, по которым для обеспечения высокого быстродействия и ма­лых установившихся ошибок следует увеличивать коэффици­ент усиления разомкнутого контура привода, а для сохранения устойчивости системы — не превышать допустимых для этого коэффициента значений.

Параметры привода, удовлетворяющие указанным усло­виям, предварительно можно выбрать с помощью ЛАХ и ЛФХ разомкнутого контура так, чтобы обеспечивались рекомендуе­мые запасы по фазе и амплитуде (см. § 6.1).

Если наибольшая из постоянных времени управляющей части привода на порядок меньше любой из постоянных вре­мени силовой части, то для приближенного выбора параме­тров привода можно воспользоваться графиками, разделяющи­ми плоскость коэффициентов характеристического уравнения, записанного в предложенной И. А. Вышнеградским форме. Эти графики приведены на рис. 6.18.

Параметры А и В являются коэффициентами уравнения

ГЪ + Ах2 + Вг + 1 = 0,

И 2 И 5 6 7 6 9 10 11А Рис. в.18. Области параметров системы третьего порядка при различных видах переходных процессов

В которое можно преобразовать характеристическое уравнение рассматриваемой системы

Аз А3 а>22 И - а^А -1- ао = 0, (6.121)

Вводя новую переменную

V а0

И используя соотношения

А = -^==; (6.122)

У«оа|

В = —(6.123)

Формулы (6.122) и (6.123) позволяют найти по параме­трам А и В, которые соответствуют указанным на графиках переходным процессам, значения двух коэффициентов харак­теристического уравнения (6.121) при известном третьем ко­эффициенте.

Например, в случае следящего гидромеханического приво­да с дроссельным регулированием, для которого были получе­ны характеристическое уравнение (6.12) и условие устойчиво­сти (6.14), формулы (6.122) и (6.123) имеют вид

Б = , 1 (6.125)

По соотношениям (6.124) и (6.125) можно, выбрав параме­тры А и Б с учетом требуемого переходного процесса и вы­числив по формуле (5.27) постоянную времени Тц, найти ко­эффициент £ц относительного демпфирования и добротность Бт гидропривода. Затем с помощью формул (5.29) и (6.15) можно рассчитать коэффициенты линеаризованной расходно - перепадной характеристики золотникового устройства, а по ним получить его основные размеры. Коэффициент Кос обрат­ной связи обычно известен заранее, так как от него зависит перемещение выходного звена привода, которое вызывает за­данное значение входного сигнала.

В современных методах теории управления для расче­тов на ЭВМ переходных процессов применяют различные про­граммы. Одни из таких программ основаны на математиче­ских моделях, представленных в виде уравнений вход-выход, другие — на математических моделях, описывающих рассма­триваемые системы в переменных состояния. Первого ви­да программы обычно предусматривают использование струк­турных схем как линейных, так и нелинейных систем, причем в обоих случаях все переменные являются функциями времени, а не их изображениями по Лапласу. В связи с чем величина

5, которая в передаточных функциях звеньев таких структур­ных схем уже не является переменной в преобразовании Ла­пласа, должна рассматриваться как оператор дифференциро­вания, т. е. в = р1 (см. гл. 4).

Очень важно также иметь в виду, что при расчете по линейным математическим моделям входные воздействия не должны превышать те значения, при которых какая-либо из переменных может быть реально осуществимой в данной си­стеме. Это условие необходимо учитывать особенно в тех слу­чаях, когда при расчете используются размерные значения пе­ременных. В случае применения безразмерных переменных и
правильном выборе базовых величин при нормировании урав­нений данное условие автоматически выполняется.

Для примера перейдем к безразмерным переменным в ма­тематической модели электрогидравлического следящего при­вода, структурную схему которого получим, объединив струк­турные схемы силовой части гидропривода с дроссельным ре­гулированием (см. рис. 5.3, а) и электрогидравлического уси­лителя (см. рис. 5.10). В результате будем иметь структурную схему, изображенную на рис. 6.19, где Кп, ос — коэффициент преобразователя сигналов обратной связи от выходного зве­на (перемещение штока гидроцилиндра) к входу электронного усилителя с коэффициентом Кус.

Кррі+Кур+Крух

I-__________ т'——А

Ллос

И.

Рис. 6.19. Структурная схема электрогидравлического следя­щего привода

Безразмерные переменные обозначим чертой сверху, а ба­зовые величины — верхним индексом При этом размерные и безразмерные переменные будут связаны соотношениями:

Иъх = ^вхивх ие = иеие 1 = ФяЪФяЪ Ф* = ФяФя') х3 = х*хъ ушт = ушхушх; ^я1 ~

Чтобы после перехода к безразмерным величинам не про­изошло искусственного изменения коэффициента усиления ра­зомкнутого контура системы, значения базовых величин необ­ходимо согласовать между собой. Для этого за основную ба­зовую величину примем перемещение золотника X* = я3.шах-

Тогда

Кх<р

В безразмерных переменных математическое описание от­дельных участков структурной схемы можно представить сле­дующими уравнениями:

KycKiuK^iKi _

<Ря’1~ TyS + l Ue’

1 ~ T%s + 2№ + 1 Ve;

_ _

Хз = vпп^;

1 ЯuiT_T252 + 2Cur45 + lяi;

_ #4-

Y' = TTsX>'

Ue = иВх ~ ^п. о.с^5Ушт!

'fie = ^6 ^«,1 ~ (Koc.1 "i" KtppyKpyx)K$X3.

В эти уравнения входят дополнительные коэффициенты, обеспечивающие согласование базовых величин и имеющие следующие значения:

*i = <xMi; *2 = v*/*о; Кз = хУ<р*я) Ki = x*jy*;

КЬ = я7<x; JT6 = Vhlvl

При расчете переходного процесса, вызванного ступенча­тым воздействием, по математической модели привода с без­размерными переменными значение ^вх можно принять еди­ничным ступенчатым. В теории управления такое воздействие (единичный скачок) обозначают функцией 1(/). Однако в дан­ном случае

ПЪХ — 1(0

Вызовет безразмерное перемещение золотника х3 = 1, что со­ответствует язтах. Если переходный процесс будет колеба­тельным, то в какие-то моменты времени получатся значения х3 > 1, что может противоречить условию применимости ли­нейной модели привода. Поэтому с запасом на максимальную динамическую ошибку при переходном процессе правильнее принять иъх = 0,65... 0,75.

На рис. 6.20 показан график переходного процесса, рассчи­танный для электрогидравлического следящего привода по мо­дели с безразмерными переменными (штриховкой ограничены области, выделенные на рис. 6.16). Чтобы получить размер­ные значения входной и выходной величин, их безразмерные значения следует умножить на базовые величины.

Если для расчета переходного процесса предполагается применить типовые программы для решения дифференциаль­ных уравнений, то рассмотренную математическую модель (при s = d/dt) можно привести к системе уравнений, запи­санных в форме Коши. Аналогично составляют в безразмер­ном виде нелинейные математические модели систем с гидро - и пневмоприводами.

Переходные процессы, полученные для одной и той же си­стемы с разными значениями отдельных параметров, а также для различающихся по конструктивному исполнению систем, сравнивают либо по указанным в начале параграфа показа­телям (<7щах>*п>£уст)> либо с помощью интегральных оценок. Достаточно распространена оценка в виде интеграла

Где <т — модуль текущей динамической ошибки, для системы с приводом а = у — ук; ук — установившееся значение коорди­наты выходного звена, в отсутствие установившейся ошибки Ук — Уоо •

Синтез обратных связей в системах с приводами

С интегральными оценками процессов связаны решения задач оптимального управления различными системами. Для линейной системы, описываемой уравнениями (см. гл. 4)

Dx а / . ✓

— = А(<)х + В(<) и;

У = С («)х,

При начальных условиях х(*о) = хо задача оптимального упра­вления состоит в том, чтобы найти управление иОПт(0> обес­печивающее минимум функционала где (%' = <Э'(<) и К = Щ*) — положительно определенные симметричные матрицы при < і < *к! Рі — неотрицательно определенная симметричная матрица.

В такой постановке задачи предполагается, что А(<) есть непрерывная функция времени, а В (і), С(/), Q,(^), И(<) — кусочно-непрерывные функции времени, кроме того, все эти матричные функции ограничены.

Наиболее сложно выбрать матрицы Рі, Q/ и К, которые в функционале (6.128) являются матрицами весовых коэффици­ентов. Для определения этих матриц выделяют интегральную квадратичную ошибку управления

/(ут<і'у)Л,

О

Интегральную квадратичную входную переменную

J (итКи)(И

О

И квадратичную терминальную ошибку, характеризующую ко­нечное состояние системы (при / = /к). Затем матрицы весо­вых коэффициентов назначают исходя из допустимых средних квадратичных ошибок и допустимых значений входной пере­менной.

При решении задачи о выборе оптимальных обратных свя­зей (регуляторов) функционал (6.128) представляют в виде

Ік

1= у*(хт<3х + итКді) <И + хт(/к)Ріх(/к), (6.129)

О

Где <3 = (^(^(^'(^С^) — неотрицательно определенная сим­метричная матрица.

Решение может быть получено на основе принципа макси­мума Понтрягина и другими методами, подробно рассмотрен­ными в теории управления. При решении учитывают, что в случае управления с обратной связью существует зависимость

Вектора u(t) от вектора х(/). Эту зависимость получают с по­мощью симметричной матрицы Р(/) изменяющихся во време­ни коэффициентов. Для определения матрицы Р(/) используют уравнение

^ = - РА(0 - АТ(*)Р + PB(*)R-1BTP - Q (6.130) dt

С граничными условиями P(tK) = Pl-

По аналогии с обыкновенным дифференциальным уравне­нием для одной зависимой переменной матричное дифференци­альное уравнение (6.130) называют уравнением Риккати. Это уравнение в соответствии с заданным граничным условием ре­шают в интервале времени от tK до <о = 0. Задача упрощается, если матрицы А, В, С, Q и R не зависят от времени, а поведе­ние системы рассматривается в большом интервале времени. Тогда верхний предел интеграла (6.129) можно принять рав­ным бесконечности, а Р = 0. В результате матричное диф­ференциальное уравнение (6.130) становится алгебраическим уравнением

РА + АТР - PBR_1BTP + Q = 0. (6.131)

После того, как вычислена матрица Р, оптимальное упра­вление определяется уравнением

И = - Кх, (6.132)

Где К = R-1BTP

Рассмотрим в качестве примера задачу об оптималь­ном управлении выходным звеном гидропривода с дроссель­ным регулированием. Предположим, что параметры приво­да позволяют пренебречь сжимаемостью рабочей среды. При этом условии уравнение (5.24) можно упростить и записать в виде

^Ушт. Зц ^Ушт 1 QO

К,(ет)

Воспользуемся следующими переменными состояния:

Dx 1

Ушт — ^ — х2

И представим уравнение (6.133) системой двух уравнений йх 1

-Ж = хг’

<1x2 _ -^п ,

<Й "г-Й'рр Х2 К<Эрт Хз'

Для этой системы

^<?Р

Вследствие того, что система имеет одну входную вели­чину и = х3 и одну выходную величину 2/шт = у, матрица В редуцируется в вектор-столбец

ь) ’ Где “ КЯрт ’ а уравнение выхода имеет вид

У = (1 0)х.

Для данной системы уравнение (6.131) представим в виде

Р(2 Л)+(! -°<1)1>-р(б) ?(0 Ь)1>+

(£) (1 0) = 0, (6.134)

_ (Р11 Р12 Л.

Р21 Р22/

Г — весовой коэффициент, учитывающий энергетические за­траты на управление.

Удовлетворяющие решению уравнения (6.134) элементы матрицы Р определяют соотношения:

Ф / 2 26 Ри = туа +^;

Ф

Р12 = Р21 = - у;

Согласно уравнению (6.132), для оптимального управле­ния гидроприводом необходимо, чтобы

Х3 = —Кх,

Где

Компонентами вектора х здесь являются перемещение ушт и скорость (1ушт/(И штока гидроцилиндра. Поэтому получен­ное значение К показывает, что при принятых выше допуще­ниях для осуществления оптимального управления гидропри­водом следует применить кроме обратной связи по перемеще­нию выходного звена еще обратную связь по его скорости.

При таких обратных связях замкнутый контур гидропри­вода описывается уравнением

Где

С учетом сжимаемости рабочей среды алгоритм опти­мального управления гидроприводом может усложниться.

Рассмотренные в данном учебнике вопросы раскрывают основные особенности гидро - и пневмоприводов, вызванные взаимодействием их элементов с рабочими, средами, которое влияет на эффективность использования энергии, устойчи­вость и точность выполняемых приводами операций. К тому же гидро - и пневмоприводы представляют собой системы, про­цессы в которых существенно зависят как от характеристик

Отдельных устройств, так и от свойств, возникающих вслед­ствие соединения устройств между собой. В связи с чем си­стемный подход к задачам механики гидро - и пневмоприводов, описанный в учебнике, может быть полезен при их создании и использовании в различных машинах, аппаратах, станках и других технических объектах.