Механика гидро - и пневмоприводов

Автоколебания в управляющих устройствах гидро — и пневмоприводов

Управляющие устройства вместе с силовой частью гидро - и пневмопривода образуют динамические системы, которые, как сказано в § 6.1, должны, прежде всего, удовлетворять усло­виям устойчивости. Если математическая модель системы представлена в линейном виде, то задачу устойчивости всей системы и отдельных ее частей можно успешно решить опи­санными в том же параграфе методами. Однако линейные математические модели не отражают полностью свойства ре­альных технических устройств и их применение на практике будет обоснованным, если характеристики составляющих эле­ментов не выходят за рамки допущений, принятых при соста­влении моделей. Из анализа влияния основных нелинейностей на устойчивость гидро - и пневмоприводов (см. § 6.2) следует, что в следящем приводе могут возникать автоколебания, при которых выходное звено вместо того, чтобы занимать задан­ное сигналом управления положение, совершает незатухающие колебания.

Автоколебания могут возникать также в управляющих устройствах. При этом управление исполнительными гидро - и пневмодвигателями так ухудшится, что весь привод бу­дет непригоден для использования. Кроме того, при авто­колебаниях возрастает вероятность преждевременного разру­шения элементов устройства. Автоколебания управляющих устройств, применяемых для регулирования источников энер­гопитания, сопровождаются периодическими изменениями да­влений в гидро - и пневмоприводах, что может вывести из строя всю систему.

Автоколебания в управляющих устройствах обычно про­исходят в случае взаимодействия подвижных механических элементов (золотников, клапанов, заслонок, струйных трубок) с потоками рабочих сред. Но могут иметь место и в устрой­ствах без подвижных механических элементов в результате взаимодействия между собой потоков рабочей среды, вытекаю­щей из различных каналов, а также из-за неустойчивости тече­ния в ограниченных твердыми стенками камерах. Не имея воз­можности рассмотреть здесь все эти устройства, остановимся на наиболее распространенных из них и позволяющих, к тому же, изучить достаточно общие закономерности возникновения автоколебаний. К таким устройствам относятся золотники, заслонки и клапаны.

Автоколебания золотников

Как показано в главе 3, к золотникам со стороны потока рабочей среды приложены гидродинамические силы, которые,

І

В общем случае, зависят от формы и расположения границ потока, а также от направления течения среды. Для оцен­ки возможных состояний золотника воздействие потока сре­ды представим нелинейной зависимостью гидродинамической силы Ргд от перемещения золотника я3, схема которого дана на рис. 6.6, а. График такой зависимости показан кривой 1 на рис. 6.6, б.

Учитывая нелинейность функции - Ргд(яз) вместо уравне­ния (3.57) запишем уравнение движения золотника в более об­щем виде

Где А;тр — коэффициент вязкого трения, вызванного движением среды в зазоре между золотником и гильзой; ккк — коэффици­ент, вычисляемый по формуле (3.60); спр — жесткость каждой из пружин, нагружающих золотник силой Рпр в осевом напра­влении (см. рис. 6.6, б прямая 2); и — управляющее воздей­ствие на золотник, создаваемое разностью ру — Ру 2 давлений в торцовых полостях А и В.

Введем переменные состояния, обозначив

/1 <т*

X 2 — х3)

(6.45)

(6.46)

Где

Га3

2сПрЖ3 -Ргд(‘^з)<

Система (золотник), описываемая уравнениями (6.45) и

(6.46) , при различных фиксированных значениях г^о будет иметь ряд возможных состояний равновесия, при которых (1х/<И = <1x2/Л = 0. На фазовой плоскости координаты то­чек равновесия найдем из уравнения

Щ + р(яь) = 0.

Эти точки являются особыми, их тип можно определить из анализа решений, линеаризованных в окрестности х = х3, х2 = х2з уравнений (6.45) и (6.46). График нелинейной функ­ции Р(х) будет таким же, как кривая 3 на рис. 6.6, б, которая получена для га3Р(я 1) сложением ординат точек кривых 1 и 2. После линеаризации функции Р(х) в окрестности особой точ­ки имеем

(6.48)

Х=Х3

12=0

Системе уравнений (6.48) и (6.49) соответствует характе­ристическое уравнение

А2 ЬХ су = 0. (6.50)

Значения корней уравнения (6.50) зависят от параметров Ь и су. Вблизи среднего положения золотника, как показывает кривая 3, су > 0, параметр Ь может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Первый случай будет при &тр > 0, если коэффициент кик положительный (/х > /2)5 или отрицательный (/1 < /2)5 но по абсолютной величине меньше, чем ктр, а также в случае кин = 0, (/1 = /2)- Второй — при отрицательном значении А;ин, если он по абсолютной величине больше кТр. Третий — при ^тр “Ь &ин — 0.

Если 6 > 0, су > 0, то корни уравнения (6.50) — комплекс­ные числа с отрицательной вещественной частью при Ь2 < 4су или отрицательные вещественные числа при Ь2 > 4су. Особую точку называют устойчивым фокусом и устойчивым узлом со­ответственно. Если 6 = 0, су > 0, то корни уравнения (6.50)

— чисто мнимые сопряженные комплексные числа, и особая точка — центр. Если 6<0,су>0, то при Ь2 < 4су особая

Точка — неустойчивый фокус; при Ь2 > 4су особая точка — неустойчивый узел.

При названных типах особых точек возможны следующие процессы: затухающие колебания золотника в окрестности его среднего положения, апериодическое возвращение предвари­тельно смещенного золотника к среднему положению, незату­хающие колебания золотника с амплитудой, равной его началь­ному отклонению, уход золотника от среднего положения с рас­ходящимися колебаниями или без колебаний (апериодически).

Под действием сигнала управления щ золотник может за­нимать любые положения в пределах х3 < |хзтах|. При этом, согласно уравнению (6.47), на фазовой плоскости координата будет изменяться, а Х23 оставаться равной нулю.

Предположим, что золотник смещен от среднего положе­ния на х3 или х32 (см. рис. 6.6, б). Эти смещения определяют точки 0 и О2 на кривой 3, в них су 0. При малом от­клонении от точки 0 вправо или от точки О2 влево су < 0.

Если к тому же 6 = 0, то корнями уравнения (6.50) будут два равных по абсолютному значению числа, из которых одно по­ложительное, а другое — отрицательное. Особую точку при таких корнях уравнения называют седлом. Через нее прохо­дят сепаратрисы, разделяющие на фазовой плоскости области, которым соответствуют незатухающие (при 6 = 0) колебания золотника, и области неустойчивых равновесных положений золотника. Для смещений золотника от среднего положения в отрицательном направлении траектории, построенные в пра­вой половине фазовой плоскости, зеркально отображаются на левую полуплоскость. На рис. 6.7 показаны сепаратрисы, ил­люстрирующие возможность появления незатухающих колеба­ний золотника в окрестности его среднего положения и вблизи смещений, близких к хзтах.

Рис. 6.7. Области незату­хающих колебаний золот­ника на фазовой плоскости

Условия, при которых возможны автоколебания золотни­ка, определим с помощью критерия Бендиксона о существова­нии предельных циклов на фазовой плоскости. Согласно этому критерию, если в какой-то области фазовой плоскости выраже­ние

Ад д

Дх дх2

Сохраняет постоянный знак, то предельный цикл не существу­ет. Здесь /1 = /1(^1; х2) и /2 = /2(^1; х2) являются правыми частями уравнений, описывающих движение исследуемой си­стемы на фазовой плоскости.

В нашем случае в соответствии с уравнениям (6.45) и

(6.46)

Л = /2 = Р(х) - Ьх2 + МО,

Поэтому д}/дх = 0; д/2/<9^2 = —Ь. Следовательно, автоко­лебания возможны при Ь < 0.

Чтобы исключить возможность возникновения автоколе­баний, необходимо обеспечить во всем диапазоне перемещений золотника положительные значения су (см. рис. 6.6, б) и 6. Значения С/ > 0 достигаются, если сила пружины будет су­щественно больше гидродинамической силы, а 6 > 0 будет в отсутствие “отрицательного демпфирования” золотника.

Автоколебания в устройстве “сопло-заслонка”

Автоколебания заслонки, управляющей расходом рабочей среды через сопло, также могут быть вызваны действием ги­дродинамических сил. Для анализа устойчивости составим математическую модель устройства, схема которого дана на рис. 6.8. Уравнение движения заслонки 1 вместе с якорем 2 электромеханического преобразователя запишем в виде

Где /я — момент инерции якоря заслонки; <ря — угол откло­нения якоря от положения, принятого за нейтральное; Мэ — крутящий момент, создаваемый электромагнитными силами, действующими на якорь; Мд. я — демпфирующий якорь мо­мент (см. формулу (5.77)); спр — жесткость пружин^ удер­живающих заслонку в нейтральном положении, эквивалентна жесткости упругой трубки, если заслонка закреплена в ней, (см. рис. 5.8, 6); Ртд —гидродинамическая сила, действую­щая на заслонку при истечении рабочей среды через сопла 3; 1пр — 1 — 11.

Рис. 6.8. Схема сопла-заслон­ки для расчета автоколебаний

При малых углах поворота якоря допустимо считать, что

Hy = 1<ря. (6.52)

Гидродинамическая сила Ргп зависит от режима истече­ния рабочей среды через сопла. При малых зазорах hc поток среды может прилипать к торцу сопла, а при несколько боль­ших значениях hc не соприкасаться с ним. Изменение режима истечения отражается на гидродинамической силе, определять которую с учетом возможной смены безотрывного и отрывно­го движения среды в зазоре между заслонкой и торцом сопла крайне сложно. Поэтому для анализа влияния гидродинами­ческой силы на устойчивость положения заслонки представим эту силу функцией

Ргд = F(hy), (6.53)

Которая может быть нелинейной и неоднозначной. Такая функ­ция не линеаризуема при переходе к малым отклонениям пере­менных, в связи с чем применим метод гармонической лине­аризации. Вследствие того, что функция (6.53) может быть неоднозначной, усеченный в пределах первой гармоники ряд Фурье запишем в виде

F(hy) = F°(h°,ah) + q(h%,ah)ah sin ф+

+9l(^’abWcos^> (6.54)

Где ^0(/1у, ад) — постоянная составляющая гидродинамиче­ской силы; hy — смещение заслонки, относительно которого измерена амплитуда ад ее колебаний; 5(Лу, ад) и 51(Лу, ад) — коэффициенты гармонической линеаризации, вычисляемые по формулам для коэффициентов ряда Фурье.

С целью большей наглядности результатов анализа пред­положим, что при выбранном положении заслонки F°(hу, ад) = = 0. В этом случае коэффициенты гармонической линеариза­ции вычисляются по формулам

2тг

Q(ah) =----- / F(ah sin ф) sin ф<1ф-, (6.55)

Тга/, J 0

После замены функции (6.53) ее гармонически линеаризо­ванным выражением (6.54) с учетом принятого выше допуще­ния опишем гидродинамическую силу уравнением

(6.57)

Где hy = ад sina;^; ut = ф] ч{аь) и Ql(ah) являются функциями (6.55) и (6.56) от ад соответственно.

В основе метода гармонической линеаризации лежит пред­положение о наличии в исследуемой системе гармонических ко­лебаний. Чтобы заслонка совершала такие колебания вместе с якорем, при Мэ = const характеристическое уравнение, по­лученное для дифференциального уравнения (6.51), в которое предварительно подставлена вместо Ргд правая часть уравне­ния (6.57), должно иметь мнимые корни. Выполнив указанные подстановки и учитывая соотношение (6.52), получим харак­теристическое уравнение

При А = уравнение (6.58) содержит вещественную и мнимую части, которые по отдельности должны быть равны нулю:

(6.59)

(6.60)

Уравнение (6.59) позволяет найти

(6.61)

А уравнение (6.60) — определить амплитуду ад. Подставив по­лученное значение ад в выражение для <?(ад), можно по фор­

Муле (6.61) вычислить частоту колебаний заслонки с якорем. Если эти колебания устойчивы, то они являются автоколеба­ниями. Для проверки устойчивости колебаний в уравнение (6.60) подставим значение ад с положительным и отрицатель­ным приращениями Лад. Если при ад + Дад левая часть урав­нения (6.60) получится больше нуля, а при ад - Дад меньше нуля, то колебания будут устойчивыми, т. е. имеют место авто­колебания с вычисленными указанным выше образом частотой и амплитудой.

Проведенный анализ показывает, что причиной автоколе­баний в устройстве сопло-заслонка могут быть режимы тече­ния, при которых гидродинамическая сила создает “отрица­тельное демпфирование” заслонки. Однако в данном случае природа явления отличается от “отрицательного демпфирова­ния” золотника, рассмотренного выше.

Для иллюстрации возможных особенностей гидродинами­ческой силы, действующей на заслонку, предположим, что функция (6.53) имеет график, изображенный на рис. 6.9. При таком графике

(6.62)

(6.63)

Подставив 91 (ад) из формулы (6.63) в уравнение (6.60), нетрудно найти ад и убедиться, что возникающие с такой ам­плитудой колебания будут автоколебаниями.

С

Рис. 6.9. Возможная за­висимость гидродинами­ческой силы от переме­щения заслонки при рас­чете автоколебаний

Неустойчивость клапанов в системе с распределенными параметрами

При анализе причин возникновения автоколебаний золот­ников и заслонки эти устройства были представлены как срав­нительно простые нелинейные системы, выделенные из более сложных гидро - и пневмосистем. Однако вследствие образова­ния в последних системах внутренних динамических контуров на устойчивость устройств, управляющих потоками рабочих сред, наряду с рассмотренными ранее могут влиять и другие факторы. Для примера рассмотрим систему клапан — тру­бопровод, схема которой дана на рис. 6.10. В этой системе на конце трубопровода длиной I установлен клапан, нагруженный пружиной с жесткостью спр. Рабочая среда поступает в тру­бопровод из аккумулятора А. Используя уравнения (4.23) и (4.24), составим модель системы с учетом распределенности параметров по длине трубопровода. Выполнив при нулевых начальных условиях одномерное преобразование по Лапласу этих уравнений, получим

РМ*) + ~т°н00 = (6-64)

Изображение tqh(s) нестационарного касательного напря­жения в месте контакта рабочей среды и стенки трубопровода определим с помощью передаточной функции

Wrv(s) = (6.66)

V{s)

(6.67)

Продифференцировав уравнение (6.67) по I и применив уравнение (6.65), приведем систему из двух дифференциаль­ных уравнений к одному уравнению

(6.68)

Где

(6.69)

Величина t?(s) в изображениях по Лапласу характеризу­ет распространение возмущений в рабочей среде вдоль трубо­провода, поэтому ее называют операторным коэффициентом распространения. Она связана с операторным волновым со­противлением ZB(s) соотношением

J3Xpi?(s) = sZB(s). (6.70)

Уравнение (6.68) имеет решение

Р(з, х) = Cie*W* + C2e-*W* (6.71)

Постоянные С и С*2 определяются граничными условия­ми. Пусть при х = 0 (см. рис. 6.10, сечение 1-1)

P(a,*) = pi(в,0); (6.72)

Dp(s, x) ^(s)5-rp

•t>i(a,0).

Dx в

После подстановки постоянных С и Сг, вычисленных с помощью соотношений (6.72) и (6.73), решение (6.71) прини­мает вид

Р(з, х) = -

^(з)ДТр^1(д>0) _ л-0(в)

2s

Р(з, X) = Рі(з, 0) сЬ[і?(5)ж] -

SHAPE \* MERGEFORMAT

Решив систему уравнений (6.64) и (6.65) относительно г;(5, ж), найдем

Подставив в уравнения (6.75) и (6.76) х = I и выполнив затем несложные операции, определим передаточную функцию

(6.77)

Где

(6.78)

(6.79)

^в. л(з) — волновое сопротивление линии (трубопровода); $2(5>0 — изображение расхода в сечении 2-2 (см. рис. 6.10); ^г(5) — операторное сопротивление (импеданс) нагрузки, под­ключенной в сечении 2-2 к трубопроводу.

Передаточной функции (6.77) соответствует изображен­ная на рис. 6.11 структурная схема. Устойчивость такой си­стемы с распределенными параметрами можно проверить по критерию Найквиста, предварительно получив ^(з). Ддя это" го согласно соотношению (6.79) необходимо найти связь между изображениями рг(5) и $2(5)- Если расход через сечение 2-2 (см. рис. 6.10) регулирует клапан, то изображение $2(5) мож­но найти после линеаризации функции

(6.80)

Здесь фкл — расход среды, пропускаемой клапаном из трубо­провода на слив; /хкл — коэффициент расхода клапана; гікл,

Рв(*)

Рис. 6.11. Структурная схема системы клапан - трубопровод с распределенными параметрами

#кл — диаметр клапана и его перемещение; ркл — перепад давления, при котором происходит истечение среды через кла­пан; р — плотность среды.

В малых отклонениях переменных от своих установив­шихся значений, линеаризовав функцию (6.80), имеем

#КЛ) Ркл? Р-

Чтобы найти изображение рг(5)> запишем дополнительно уравнение движения клапана в малых отклонениях перемен­ных

Где гакл — масса клапана; £д — коэффициент демпфирования клапана; спр — жесткость пружины, нагружающей клапан; стд — коэффициент линеаризованной зависимости гидродина­мической силы от перемещения клапана (жесткость “гидроди­намической пружины”); 5КЛ = ^кл/4 — площадь клапана.

После преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях уравнений (6.81) и (6.82) найдем

Р2(3) _________ гпклв2 + +____________ СПр + сгд ^

$2(5) + ка$ + Спр "I" сгд)

Необходимую для применения критерия Найквиста АФЧХ ИЛс(У^)разомкнутого контура системы определим, под­ставив в = Зш в передаточные функции звеньев, показанных на рис. 6.11. В результате имеем

= г..л0у»М^)/1

^2 (Зи)

Комплексные выражения в формуле (6.84) для вычисления ]¥с^и) определим следующим образом. Согласно соотношени­ям (6.70) и (6.78)

2.» =

7Г ГдЗ

Поэтому

*„1*0 = (6.85)

7Г Г^и

В комплексном выражении коэффициента распростране­ния выделим действительную и мнимую части:

‘<и) = 6 + 1е, (6.86)

Где 6 — коэффициент затухания, который характеризует уменьшение амплитуды давления или скорости среды в вол­не, распространяющейся вдоль трубопровода; е — коэффици­ент фазы, связанный с фазовой скоростью волны соотношением сл = и/е.

С учетом нестационарного сопротивления трения эти ко­эффициенты можно вычислить по формулам

4аел1/ I ро

Г Г

Втр — модуль объемной упругости среды, находящейся в упру­гом трубопроводе, радиус проходного сечения которого равен го] і/ — кинематическая вязкость среды.

Комплексную величину Z2(ju>)) подставив э = їй ъ фор­мулу (6.83), найдем в виде

С помощью формул (6.84)-(6.89) можно построить АФ - ЧХ разомкнутого контура системы или ЛАХ и ЛФХ

Этого контура. По ним описанным в § 6.1 методом на основа­нии критерия Найквиста проверяется устойчивость системы трубопровод-клапан.

Для анализа влияния гидродинамической силы на устой­чивость клапана упростим математическую модель системы, предположив, что можно пренебречь сопротивлением трения трубопровода (течение маловязкой среды) и для малых х^л принять Кцр — 0. При таких допущениях АФЧХ (6.84) ра­зомкнутого контура системы приведем к виду

Где

В случае АФЧХ (6.90) система трубопровод - клапан мо­жет быть неустойчива, если при какой-то частоте и значение а^ТУсС?^) станет равным —7Г при значении модуля ¥с^и) больше единицы. Указанные условия имеют место при

(6.91)

Из соотношения (6.91) следует, что при неизменных пара­метрах клапана устойчивость системы зависит от длины тру­бопровода. При одной и той же длине трубопровода причи­ной неустойчивости системы может быть изменение частоты а;о, поскольку изменяется коэффициент сгд гидродинамической силы, действующей на клапан. В свою очередь сгд зависит от режима истечения среды из-под клапана. Если происходит смена отрывного обтекания клапана безотрывным, то возмож­но возникновение неустойчивости системы, сопровождающееся автоколебаниями клапана и среды в трубопроводе.