Итак, в сложных запутанных…
Неопределенность уступает место определенности. Вывод этот настолько ошеломлял, что знаменитый статистик К. Пирсон не поленился бросить монету 24 ООО раз и... получил 12 012 «гербов», что дает частоту, весьма близкую к 0,5. Закономерность и здесь оказалась вполне определенной.
Вряд ли кто-нибудь из читателей станет повторять вслед за Пирсоном этот весьма нудный и требующий большого времени опыт. (Даже если вы потратите на одно подбрасывание, наблюдение и запись результата всего 3 секунды, то и тогда потребуется не менее трех дней напряженной работы. )
С помощью теории вероятностей можно подсчитать вероятность такого, обычно не безразличного нам, события, как выигрыш в лотерею.
Вот типичный пример условий денежно-вещевой лотереи. На каждый разряд, включающий 10 ООО лотерейных билетов, приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность выиграть деньги, вещь или хоть что-нибудь по одному лотерейному билету? Решение столь простой задачи под силу ученику начальной школы, стоит лишь применить классическую формулу:
Вероятность выиграть деньги = 120 : 10 ООО = 0,012, или 1,2%.
Вероятность выиграть вещь = 80 : 10 000 = 0,008, или 0,8%.
Вероятность выиграть хоть что-нибудь = (120 + 80) : 10 000 = 0,02, или 2%.
В последнем расчете мы суммируем в числителе дроби, так как число благоприятствующих шансов складывается из количества денежных и вещевых выигрышей.
Несколько сложнее дело обстоит со спортивной лотереей. Здесь не все отдано на откуп случаю: каждый участник может избирать номера для вычеркивания по своему полному усмотрению. Участники спортлото как бы играют друг с другом. Однако, как мы сейчас убедимся, и здесь места для Случая остается вполне достаточно.
Какова, например, при игре в лотерею вероятность вычеркнуть правильно все 6 номеров из 49? Подсчитано, что вычеркивание 6 цифр из 49 может быть произведено почти 14 млн различных способов (точная цифра 13 983 816). Следовательно, вероятность единственного правильного вычеркивания равна
= 7,2 х 10~8, или 7,2 миллионных процента.
13983816
Отгадать 5 цифр — это значит указать ошибочно одну из нужных шести. Такую ошибку можно сделать 258 способами. Значит, именно таковы шансы, благоприятствующие угадыванию 5 номеров. А вероятность этого события по классической формуле равна 258
= 1,8х Ю-5, или 1,8 тысячных процента.
13983816
Четыре номера угадает, естественно, значительно больше людей, число благоприятствующих шансов повышается здесь до 13 545.
13545
И вероятность соответственно будет выше: =9,6х10~4,
13983816
или 9,6 сотых процента.
И наконец, вероятность угадать три номера равна 246280 , „
= 1,8 х 10 ", или 1,8 процента. Все это ничтожно мало. 13983816
На непосредственном подсчете основано и свойственное всем людям интуитивное определение вероятности. Скажем, нас спрашивают, что вероятнее: отгадать в лотерею три или четыре номера? Мы, не задумываясь, без всякого расчета отвечаем — три. (Правда, мы вряд ли сможем сообразить без расчетов, что для трех номеров вероятность выше почти в 20 раз!)
Интуитивное определение вероятности, выработанное человеком в ходе многовековой эволюции, не раз выручало его в сложных ситуациях. Принимая решение, «что лучше», «что быстрее», «какова мера опасности», люди, сами того не ведая, часто основывают свой выбор на интуитивной вероятностной оценке. «Лучше поездом, чем самолетом». «Поеду-ка я трамваем, автобуса не дождаться». «Сегодня стоит надеть плащ». Во всех этих решениях явно просматривается учет возможности случая.
Интуитивная оценка вероятности, к которой мы часто прибегаем на практике, может служить основой для принятия решений. Делать это, однако, следует осмотрительно. Так, во многих рассказах о войне описывается бывалый солдат, который спасает свою жизнь тем, что во время артиллерийского обстрела перебегает от воронки к воронке — прячется там, где только что разорвался снаряд. «Дважды в одну воронку не попадет», — объясняет он. И это кажется правдоподобным. Эта же мысль руководит действиями игроков в рулетку или другие азартные игры, когда они ждут удобного момента, чтобы поставить на какую-нибудь цифру, карту либо на выпадение «орла» при подбрасывании монеты. «Чем дольше не выпадает, тем шансы выше» — думают они. Да и мы с вами, если нам предлагают на выбор два лотерейных билета, один, скажем, с номером 74381, а второй 77777, не задумываясь выбираем первый — может ли быть такая редкая случайность, как выигрыш на билет с пятью семерками...
Все это распространенные заблуждения. Причина их в том, что мы переносим на вероятностные расчеты наш жи тейский опыт, не имеющий к данному случаю никакого отношения. Нам кажется, что выпадение каких-либо событий исчерпывает их шансы и тем самым уменьшает возможность повторения этих событий в дальнейшем. Между тем в примерах, которые мы привели, с каждым новым испытанием начинается все сначала, заново. И если эти явления — спасение от снаряда, угадывание номеров при игре в рулетку, падение монеты «орлом», выигрыш по лотерейному билету — действительно случайны, то никакой зависимости между тем, что произошло, и тем, что произойдет в будущем, не существует. Признание противоположного означало бы, что все эти случаи имеют память — запоминают, что было, для того чтобы больше не повторяться. С этим, однако, вряд ли можно согласиться.
Рассмотрим несколько задач.
Задача № 1
Автомобиль снабжен двумя противоугонными приспособлениями — механическим и электрическим. Каждое из них имеет свою вероятность срабатывания. Это не что иное, как надежность, которую можно установить из опыта: сколько раз из ста предохранитель сработает. Так вот, надежность механического приспособления Рм = 0,9, а электрического — Рэ = 0,8.
Какова же вероятность того, что автомобиль не угонят?
Известно, что вероятность того, что сработает какое-нибудь одно приспособление (нам совершенно безразлично, какое именно), равна сумме вероятностей Рм и Рэ. Но вероятность второго предохранителя следует здесь учитывать не полностью, а лишь при условии, что первое приспособление не сработает. Мы исходим из того, что если раньше срабатывает, скажем, механическое приспособление, то электрическое уже не нужно. Математическая запись, видимо, будет понятна:
Д, или Рэ = Рм + Рэ (1 - Рм). (18.1)
По этой формуле вероятность никогда не будет получаться больше единицы. Подставив цифры, получим:
Рм или Рэ = 0,9 + 0,8 (1 - 0,9) = 0,98. (18.2)
