КАК СЧИТАЮТ МАШИНЫ

ЗНАЮТ ЛИ МАШИНЫ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ?

Продолжая наше ознакомление с механизацией счёта, перейдём теперь к следующим двум арифметическим дейст­виям — умножению и делению. Всякий пользуется для этого таблицей умножения, но в то же время любой школьник знает, что умножить одно число на другое — это зна­чит сложить множимое с самим собой столько раз, сколько единиц содержится во множите - л е. Другими словами, умножение можно заменить сложением. Обычная для умножения запись 35X12 = 420 представится тогда как

35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 = 420 12 раз по 35

Аналогичная картина и в делении. Его можно изобразить как последовательное вычитание делителя из делимого. Количество возможных вычитаний и явится частным.

Убедимся в этом. 420 : 35 = 12.

420— 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 —35=0

^ ____________________ шящ/тя_________________ >

35 в 420 содержится 12 раз

Исходя из этого, ясно, что на суммирующих машинах можно делать умножение и деление. Однако в действительности слишком много причин мешало «машинной математике» исполь­зовать этот приём.

Во-первых, пришлось бы многократно устанавливать на клавиатуре одно и то же слагаемое (при умножении) или одно и то же вычитаемое (при делении), во-вторых, неизбежен подсчёт в уме количества произведённых действий и, наконец, в-третьих, даже при тех больших скоростях сложения и вычитания, которые обеспечивают суммирующие машины, процесс этот протекает слишком медленно.

Выявив причины, мешавшие осуществлению на машинах умножения и деления, конструкторы, работавшие в области счёт­но-вычислительной техники, сразу же попытались их устранить.

Для того чтобы не тратить времени на многократную установку, были созданы конструкции, многократно передаю­щие в счётчик однажды установленное число. Удалось избе­жать и подсчёта в уме количества произведённых действий, то-есть числа передач в счётчик слагаемых или вычитаемых. Эту работу взял на себя специальный счётчик.

Наконец, используя простое правило умножения на 10, 100, 1000 и т. д., удалось значительно сократить число операций сложения или вычитания. Ведь для того чтобы умножить любое число на другое, представляющее собой единицу с нулями, достаточно просто приписать к множи­мому соответствующее число нулей

17ХЮ=170; 17X 100= 1700 и т. д.

То же и при делении. Только там надо не приписывать нули, а наоборот, соответствующее число знаков делимого отделить запятой:

17:10=1,7; 17:100 = 0,17 и т. д.

Эту особенность удалось использовать в счётных машинах благодаря размещению счётчика на подвижной карет­ке. Если мы сдвинем каретку относительно установленного числа на один разряд вправо, а затем произведём передачу числа в счётчик, в последний разряд ничего не попадёт — там будет нуль. Результат окажется в 10 раз большим, чем установленное число. При сдвиге счётчика на разряд влево результат уменьшится в 10 раз.

Чтобы это было совершенно ясно, возвратимся к нашему примеру:

35 X 12 = 420*

Машина со счётчиком на подвижной каретке решит этот пример так:

I этап — передача числа в счётчик два раза 35-[-35 = 70;

II этап — передвижение каретки на один разряд вправо и передача числа в счётчик один раз. В счётчике произойдёт суммирование: 70 -(-350 = 420.

Таким образом, количество передач числа & счётчик сокра­тилось с 12 до 3. Рисунок 9 наглядно показывает этот процесс.

Замена умножения таким сокращённым сложением при­меняется почти во всех вычислительных машинах и, в част­ности, в арифмометре — одной из самых распростра­нённых, самых портативных и дешёвых счётных машин. С арифмометром можно встретиться в любой бухгалтерии, в конструкторском бюро, в научной лаборатории и даже в палат­ках изыскательской партии, выехавшей в дальнюю экспедицию.

Арифмометр — русское изобретение. Первую машину это­го типа построил ещё в 1874 году петербургский инженер

В. Т. Однер, а в 1891 году на петербургском механическом заводе он начал выпуск арифмометров своей конструкции.

Счётная машина русского изобретателя быстро завоевала признание. Принцип конструкции был немедленно заимствован иностранными фирмами. Компактность, простота в изготовле­нии и в использовании обеспечили арифмометрам распростра­нение по всему земному шару. О совершенстве конструкции

Установка множимого ® ©

Арифмометра Однера говорит тот факт, что за 75 лет своего существования она не претерпела принципиальных измене­ний, а количество арифмометров во всём мире превышает число всех остальных счётных машин, вместе взятых.

Заслуга Однера состоит в новаторском подходе к созда­нию механизма установки и передачи чисел в счётчик, выпол­ненного в виде шестерён. Но эти шестерни, получившие по имени их изобретателя название «колёс Однера» — особые. Число их зубьев можно менять.

Для того чтобы познакомиться с колёсами Однера, взгля­ните на арифмометр «Феликс», выпускаемый нашими заводами. В кожухе его сделаны прорези, вдоль каждой из которых изображено 10 цифр. Из прорезей высовываются установоч­ные рычажки. Совмещением рычажков с нужными цифрами устанавливают требуемое число.

Теперь заглянем внутрь арифмометра. Установочные рычаж­ки оказываются выступами на диске колеса Однера. Этот диск имеет ступенчатую прорезь и примыкает к шайбе. В радиальных канавках шайбы расположены девять выдвижных зубцов. Бородки зубцов входят в ступенчатую прорезь дис­ка. Когда мы поворачиваем установочный рычаг, чтобы со­вместить его с нужной цифрой, мы тем самым поворачиваем

Диск. Ступенька в прорези диска начинает выталкивать зуб­цы. Число выталкиваемых зубцов точно соответствует цифре, против которой останавливается установочный рычаг.

На том же рисунке видна подвижная каретка со счётчи­ком, куда и надо передать установленное число. Передача числа в счётчик выполняется вращением колёс Однера, кото­рое осуществляется с помощью рукоятки, соединённой с осью этих колёс. Поворачивая рукоятку, можно многократно пере­давать в счётчик однажды установленное число.

Работа арифмометра происходит в точном соответствии с рисунком 9. Для перемножения 35 на 12 нужно, установив 35, дважды повернуть рукоятку, а затем, передвинув счётчик на один разряд вправо, сделать ещё один оборот:

35 + 35 350 420

В окошке счётчика можно прочесть ответ.

Мы уже говорили о дополнительном счётчике, считающем количество передач, то-есть число вращений рукоятки (при

Умножении он фиксирует множитель, при делении показывает частное). Такой счётчик есть и у арифмометра. Его называют обычно счётчиком оборотов, хотя это название нельзя считать совершенно точным. Дело в том, что счётчик обо­ротов показывает не суммарное число всех оборотов рукоятки, которое в нашем примере равно 3, а количество оборотов по каждому разряду множителя — 2 в разряде единиц и один в разряде десятков (12):

Как мы убедились на примере арифмометра, шестерня с переменным числом зубьев представляет собой весьма остро­умное устройство.

Однако колесо Однера не исчерпывает возможных кон­структивных вариантов устройства механизма установки и передачи числа в счётчик, позволяющего производить умно­жение и деление.

Другим распространённым вариантом механизма установки и передачи числа является ступенчатый валик.

Ступенчатый валик — это цилиндр, на поверхности которого имеется девять продольных выступов. Все они начинаются у одного края цилиндра, но каждый следующий выступ длиннее предыдущего на определённую величину (одну и ту же для всех выступов, например, 0,5 См).

Достаточно внимательно посмотреть на рисунок 12, что­бы обнаружить, что, несмотря на конструктивное различие, принцип работы ступенчатого валика аналогичен принципу работы колёс Однера.

В самом деле, передвигая шестерню установочного меха­низма до её совпадения с нужной цифрой, а затем поворачивая ступенчатый валик, мы тем самым заставляем шестерню войти в зацепление с соответствующим числом выступов валика и повернуться на тот или иной угол,

Ось, на которой находится установочная шестерня, имеет квадратное сечение, поэтому вращение этой шестерни через промежуточную передаётся цифровому колесу счётчика.

По принципу ступенчатого валика устроены автоматические вычислительные машины «Точмаш», в которых установочная шестерня передвигается от нажатия клавиши установочной клавиатуры. Для того чтобы на этой машине перемножить

Два числа, достаточно установить на одной клавиатуре множи­мое, а на другой — множитель. Вы нажимаете клавишу умно­жения— и в счётчике результатов появляется произведение.

В полуавтоматической клавишной счётной машине «КСМ» ступенчатый валик с девятью выступами разной длины заме­нён двумя гребёнками: левая с пятью одинаковыми выступами, а правая с четырьмя выступами разной длины (рис. 14). От нажатия вилки клавиши на установочные пластины гребёнки сближаются. Величина сближения зависит от набранной цифры. Если набраны цифры 1, 2, 3 или 4, то на соответствующее расстояние сместится лишь правая гребёнка. Во время уста­новки цифры 5 сдвигается только левая гребёнка, в то время как правая остаётся в покое. И, наконец, при установке цифр

6, 7, 8 или 9 взаимно сближаются обе гребёнки.

Между гребёнками установлена промежуточная шестерёнка, соединённая со счётчиком. При сближении гребёнок опреде­лённое число их зубцов (в зависимости от установленной

Цифры) становится под промежуточной шестерёнкой. Поворот гребёнок, и установленная цифра попадает в счётчик. На рисунке вверху слева мы видим передачу цифр 2, вверху справа — цифры 5, внизу — цифры 9.

Совершенно отличен от ступенчатого валика принцип пропорционального рычага, также широко приме­няемый в вычислительных машинах.

Понять его существо нам поможет рис. 16, на котором изображены 10 зубчатых реек и поперечный рычаг. Рычаг имеет прорезь, в которую входят выступы реек. А сами рейки расположены в соответствующих продольных пазах, поэтому они могут совершать лишь возвратно-поступательное движение.

Если закрепить движком нижнюю рейку и повернуть рычаг, то он увлечёт за собой остальные рейки.

Величина перемещения каждой из реек будет зависеть от её положения по отношению к центру качания рычага.

Больше всего сместится верхняя, девятая рейка, несколько меньше восьмая и т. д. Величина перемещения будет тем больше, чем больше расстояние каждой из реек до центра качания рычага, то-есть до закреплённой рейки. Величина передвижения пропорциональна расстоянию рейки до центра качания рычага. Поэтому такой принцип конструкции и полу­чил название принципа пропорционального рычага.

Вернёмся к рисунку. Над рейками, на квадратных осях, находятся установочные шестерни, подобные тем, какие мы видели в машине со ступенчатым валиком. Как и в преды­дущих случаях, они связаны через промежуточные шестерни с цифровыми колёсами счётчика.

При наборе числа на клавиатуре установочные шестерни вводятся в зацепление с соответствующей рейкой. На рисун­ке показана установка числа 152. Как только рейки придут в движение, шестерни повернутся на определённые углы и передадут в счётчик установленное число.

При многократном движении реек число, установленное на клавиатуре, будет многократно суммироваться в счётчике.

Таким образом, создаётся возможность умножения на ма­шинах с пропорциональным рычагом.

Сам процесс умножения ничем не отличается от уже рас­смотренных примеров. Установленное число (множимое) пере­даётся в счётчик столько раз, сколько единиц содержит один разряд множителя; затем каретка со счётчиком сдвигается и опять начинается передача множимого и т. д. до исчерпания всего множителя.

Аналогично умножению произойдёт и деление. Для этого нужно закрепить не нижнюю рейку, а верхнюю, и установ­ленное число будет вычитаться из показаний счётчика. Вы­читание произойдёт путём прибавления автоматически обра­зующегося дополнительного числа. Ведь та рейка, которая в случае сложения смещалась на одну единицу длины, теперь

Сдвинется на расстояние в восемь раз большее, а рейки, пе­редававшие в счётчик пятёрку и двойку, теперь передвинутся соответственно на четыре и семь единиц длины. Поэтому число 152 при закреплённой верхней рейке будет передано, как 847.

Если в счётчике у нас было 177, то произойдёт сумми­рование

177 847 1024

Отбросив единицу высшего разряда, мы обнаружим, что получившийся результат—24, на единицу меньше действи­тельной разности—25, получающейся при вычитании 152 из 177. Это понятно, ибо в счётчик было передано не 848 (дополнительное к 152), а на единицу меньше—847. Недо­стающая единица автоматически прибавляется, а единица высшего разряда уходит за пределы счётчика.

Таким образом, весь процесс вычитания может быть представлен так:

[1]024

_1

25

Теперь, если отвлечься от схемы и учесть, что счётчик расположен в подвижной каретке и что имеется ещё счётчик оборотов, станет ясно: машина, построенная по принципу пропорционального рычага, также удовлетворяет требованиям, предъявляемым к вычислительным машинам.

На рисунках 13 и 17 показаны автоматические вычислитель­ные машины, построенные по принципу ступенчатого валика и пропорционального рычага. Здесь не надо вращать рукоятку и передвигать вручную каретку, как это требовалось в арифмометре. Необходимое количество передач в каждом разряде и передвижение каретки осуществляются автомати­чески. Для этого достаточно нажать клавишу умножения или деления, и электромотор приведёт машину в действие. Электромоторный привод, облегчающий работу вычислителя, имеется у большинства современных счётных машин.

Умножение и деление на автоматических вычислительных машинах делаются со скоростью свыше 500 действий в час. Скорость —довольно большая, но людям хочется считать ещё быстрее. Существуют ли возможности дальнейшего повыше­ния скорости? Да, существуют.

Во-первых, — это применение различных стахановских приёмов и более быстрая установка чисел человеком, обла­дающим достаточным навыком, а, во-вторых, применение машин прямого умножения.

Как мы убедились, умножение в вычислительных маши­нах делается методом последовательного сложения. Поэтому чем меньше будет количество передач установленного числа в счётчик, тем быстрее сработает машина. Поместив счётчик на подвижной каретке, конструкторы уже добились значитель­ного сокращения числа таких передач.

Однако в машинах, с которыми мы познакомились, умножение всё же не делается прямо, за один приём. Оно тре­бует нескольких передач установленного числа в счётчик. Количество таких передач, как нам уже известно, равно сумме цифр множителя.

Разумеется, скорость счёта была бы гораздо выше, если бы удалось создать машину прямого умножения, то-есть машину, «знающую» таблицу умножения.

О такой машине мы и собираемся сейчас рассказать. Но перед этим уделим немного внимания хорошо знакомой нам таблице умножения, напечатанной на обложках школьных тетрадей. Таблица умножения — это свод готовых произве­дений от взаимного перемножения цифр первого десятка. Разумеется, можно было бы не ограничиваться первым десятком и продолжить её, создав таблицу произведений однозначных чисел на двузначные, двузначных на двузначные и так далее. Пределов для такой таблицы нет, как нет их для чисел вообще. Однако, если даже ограничить эту таблицу шестизначными сомножителями, она составит миллионы томов.

Да и запомнить многозначную таблицу умножения невоз­можно, в то время как выучить таблицу умножения первого десятка чисел не составляет большого труда. Запомнив её, человек получает ценного помощника, так как любые мно­гозначные числа состоят из комбинаций цифр 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, 0.

Но запомнить таблицу умножения может только человек. Память — это одно из проявлений сложных физиологических процессов, протекающих в головном мозге. Никакой машиной его не заменить. Даже самая сложная машина не обладает способностью запоминать, как это делает человек.

Однако, несмотря на отсутствие памяти, машину можно заставить вести прямое умножение, но для этого таблицу умножения надо, если можно так выразиться, овещест­вить.

Это можно сделать по-разному. Одним из возможных вариантов являются бруски различной длины. Для выражения каждого из произведений таблицы умножения однозначных чисел достаточно двух таких брусков.

Строку таблицы умножения 3X9 = 27 можно представить в виде двух брусков: одного длиной в два сантиметра (по числу десятков произведения), второго в семь сантимет­ров (по числу единиц произведения). Рисунок 18 пока­зывает, как будет выглядеть в этой системе вся таблица умножения.

Машины, умножающие с помощью «брусковой» таблицы умножения, впервые были созданы ещё в конце XIX века. Они производились в России на Путиловском заводе в Петер­бурге. В некоторых странах они выпускаются и сейчас.

Для того чтобы понять принцип действия этих машин, необходимо вспомнить о так называемой «решётке»—ста­ринном способе перемножения чисел, который вытеснен сейчас знакомым нам способом «столбиком». Чтобы чётко предста­
вить себе умножение «решёткой», проделаем простой число* вой пример:

Х_1

315

Производя это вычисление, мы рассуждаем так: девятью пять — сорок пять, пять пишем, четыре в уме. Девятью

Три — двадцать семь плюс че -

2 2 С ОМ ножи- тыре, тридцать один.

I

Тели Этот же пример при ис -

Д пользовании вместо столбика

Решётки будет решаться так:

О X Л Произведение вычерчивается решетка, по сто -

3 / 1/5 — ронам которой записываются

Сомножители. Произведения

Рис. 19. Счёт «решёткой». каждой пары цифр записывают­ся в соответствующий квадрат решётки, причём десятки отделяются диагональной чертой от единиц.

Результат получается суммированием цифр, расположенных между диагональными линиями.

На пороге XVI и XVII веков шотландский математик Неппер упростил перемножение решёткой, предложив специ­альные палочки, получившие название палочек Неппер а. Каждая из таких палочек представляет собой один из столбцов таблицы умножения. На ней записан ряд готовых произведений без самих сомножителей. Сверху записан результат умножения на единицу (он же одновременно и номер палочки), затем на два, три и т. д.

Достаточно теперь посмотреть на рисунок 20, изобража­ющий решение нашего примера с помощью палочек Неппера, чтобы убедиться в том, что с их помощью можно получить «решётку» для любых сомножителей, причём частные произ­ведения будут уже готовы. Остаётся сложить их. Примене­ние палочек Неппера сводит умножение к суммированию готовых произведений.

Вернёмся к машине. Каждая пара брусков таблицы представляет собой, подобно записи на палочках Неппера, десятки и единицы готовых произведений. На рисунке 21, который нам поможет познакомиться с машиной прямого умножения, изображён один из столбцов таблицы. На нём

Показаны бруски, представляющие произведения от умноже­ния однозначных чисел на 9.

Справа от таблицы умножения находится механизм пере­дачи чисел в счётчик. Он похож на механизм машины с пропорциональным рычагом: такие же зубчатые рейки с установочными шестерёнками на осях квадратного сечения.

Проследим за работой машины на том же примере: 35X9 = 315. Установочные шестерёнки введены в зацепле­ние с третьей и пятой зубчатыми рейками, то-есть установ­лено множимое 35. Против реек множимого оказались бруски в 7 и 5 сантиметров, представляющие количество единиц в произведениях:

3X9 = 27

И

5X9 = 45.

Передвинем мысленно таблицу вправо. Бруски, встретив на своём пути зубчатые рейки, толкнут их на расстояние, соответствующее своей длине. Установочные шестерёнки на третьей и пятой рейках повернутся на соответствующие
углы и передадут в счётчик число единиц—75. Остальные рейки совершат холостой ход.

Теперь возвратим таблицу умножения обратно и одновре­менно сдвинем её вверх так, чтобы против третьей и пятой реек установились бруски, выражающие десятки тех же

"в

.Сдвиг счётчика Передача дест-

'ков произведений Суммирование

Возвращение^чёт - " Чина в исхооное положение

Рис. 21. Схема счёта на машине с брусковой таблицей умножения.

Произведений, то-есть бруски в 2 и 4 сантиметра, а счётчик передвинем на разряд вправо. Если таблицей опять толкнуть рейки, эти 24 десятка передадутся в счётчик и прибавятся к имеющимся там 75 единицам. Ответ готов—315. Таблица умножения и счётчик возвращаются в исходное положение.

Итак, при умножении на однозначный множитель потре­бовалось две передачи чисел в счётчик (передача единиц и десятков). Очевидно, что для умножения на двузначный
множитель потребуется четыре передачи, на трёхзначный — шесть и так далее, то-есть количество передач будет рав­няться удвоенному числу знаков множителя. В то же время мы знаем, что обычным вычислительным машинам для умножения требуется количество передач, равное сумме цифр множителя.

Теперь сравним.

Для умножения на 9 обычная машина делает девять пере­дач, а машина прямого умножения — две; для умножения на 67 количество потребных передач будет соответственно 13 и 4. Из этих примеров видно преимущество умножения на маши­нах, «знающих» таблицу умножения.

Мы всё время говорили об умножении, ибо делить таким же методом, к сожалению, нельзя. Создать машину, произ­водящую деление прямым методом, пока не удалось. Причины этого понятны.

Представив таблицу умножения в виде брусков разной длины, мы тем самым заранее определили количество десят­ков и единиц любого будущего произведения. Оно вытекает из заданного множителя. При делении результат определился бы величиной частного, но его-то нам и надо найти.

Неудобство при выполнении других арифметических дей­ствий, кроме умножения, послужило причиной небольшого распространения вычислительных машин этого типа. Однако принцип прямого умножения с успехом применяется в неко­торых машинах более специального назначения.