Фотоприемные устройства и ПЗС. Обнаружение сла­бых оптических сигналов

ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР (АНАЛИЗ ВО ВРЕМЕННОЙ ФОРМЕ)

Анализ переходных процессов в линейных системах можно проводить не только в частотной» но и непосредственно ВО Вре­менной форме. В этом случае входной сигнал задается как функция времени: для ФПУ /с (0 = 5Еса*с (0 (сигнал не надо раскладывать на гармоники). Шум также описывается функ­цией времени — функцией корреляции К{М) (в § 2.2 функция интерпретирована как среднестатистический шумовой импульс), Для усилителя вместо частотной вводят импульсную характе­ристику Н (Ы) либо переходную. Функцией ЁсаМО’ ^(Д/) и Н(М) достаточно, чтобы рассчитать форму выходного сигнала и функцию корреляции выходного шума, а с их помощью отно­шение амплитуды сигнала к среднеквадратичному значению шума на выходе усилителя #с/ш и максимизировать это отноше­ние. В общем случае такой расчет громоздок, поэтому до сих Пор мы все-таки применяли частотный метод. Однако анализ во временной форме значительно упрощается, если воспользо­ваться приближенной методикой — рассматривать последова­тельность выборок сигнала и шума, а шум аппроксимировать последовательностью импульсов случайной амплитуды со сред­ней длительностью тш. Этого будет достаточно» чтобы выве­сти все основные закономерности, которые уже были получены частотным методом в § 3.2 и 3.3, найти правило выбора опти­мального фильтра, достижимые значения отношения Л^ш и его зависимость от длительности сигнала при различном харак­тере шума. Прагматичный читатель может настоящий пара­граф пропустить — принципиально новых формул он не найдет. Но анализ во временной форме дополняет и еще полнее раскры­вает физическую сущность оптимальной фильтрации, понят­ней становится обработка сигнала в матричных ФПУ с на­коплением с точки зрения оптимальной фильтрации (см. § 4.5 и 4.6). Экономней получаются и некоторые методики расчета например формы выходного сигнала (§ 3.6).

Прежде всего напомним определение импульсной характери­стики линейного преобразователя и ее связь с частотной ха­рактеристикой коэффициента передачи, подчеркнем аналогию методов анализа в частотной и временной форме.

Прохождение сигнала через фильтр-усилитель. Для описа - ния инерционных свойств линейного преобразователя использу­ют три простых входных тест-сигнала: гармонический, дельта­импульс, ступенчатый импульс. Реакция на каждый из этих тест-сигналов и определяет соответственно частотную, импульс­ную и переходную характеристики преобразователя. Зная лю­бую из этих характеристик, легко рассчитать отклик линейного преобразователя на входной сигнал произвольной формы. Ме­тодика расчета единая. Надо разложить входной сигнал на

Простых тест-сигналов, найти реакцию преобразователя каждый из них, а она определяется частотной, импульсной либо переходной характеристиками. Складывая эти реакции, олучаем отклик на выходе преобразователя. Именно так по­дпали при частотном методе анализа (фурье-анализе), где в ячестве тест-сигнала используется гармоника. Рассмотрим те - еоь по аналогии метод импульсных характеристик (переход - Пые характеристики не рассматриваются, так как импульсные дают более наглядное представление об оптимальной фильтр а-

ПШразлшсение выходного сигнала на дельта-импульсы. Чтобы представить себе, как из суммы гармоник восстанавливается сигнал произвольной формы, нужна изрядная доля воображе­ния. А разложение на дельта-импульсы куда наглядней. Сиг­нал' как бы составляется из последовательности коротких пря­моугольных импульсов длительности Га«Тс (рис. 3.14, а). Вы­делим один такой прямоугольный элементарный импульс /а (заштрихованная область):

И (*—-т) =5£с(т) еь{1— г) — /с(т)£$(/—т) =

= 1сЬ)Тй{ейу—т)/Ге), (3.132)

Б(/_т) =Нш (е0у—т)1Т6), (3.133)

Тде ей{(—т) —относительная форма элементарного прямоуголь­ного импульса; т — временное положение центра импульса. Устремив 0, получим из такого прямоугольного элементар­ного импульса еь(Т6 дельта-импульс (см. определение в § 2.3), амплитуда которого бесконечна в точке / = т, площадь равна - единице (е6/Т6)Т6 = 1. Графическое разложение сигнала на эле­ментарные прямоугольники (рис. 3.14, а) адекватно следующей аналитической записи:

■* л

Оо

= $ /с(*ж* — 1)с1х. (3.134)

Переход от суммы к интегралу проведен в пределе бесконечно малой длительности элементарных прямоугольных тест-сигна­лов Т(г+(1х. В фурье-анализе сигнал раскладывается на гармо­ники различных частот /, а здесь аналогом частоты выступает положение дельта-импульса на оси времени т. Аналогом спек­тральной плотности /с (0 = ££с ([) является само значение вход - °го сигнала в момент т, /с (т) =5£,с(т), характеризующее ин­тенсивность дельтаобразного сигнала.

Импульсная характеристика. Передаточная характеристика (по определению) есть реакция системы на входной тест-сигнал

Единичной интенсивности. Подавая на вход усилителя дельта - образный тест-сигнал — импульс тока 1Ь{1—т), получаем вы­ходную реакцию——т). Далее следует отнести эту ре­акцию к интенсивности входного сигнала. И тут возникает во­прос: в каких единицах измерять его интенсивность? Казалось бы, здесь не должно быть никаких проблем: раз входной

Сигнал — ток, то его интенсивность необходимо измерять в ам­перах. Именно так поступали в фурье-анализе при расчете коэффициента передачи усилителя К21 (/): относили амплитуду выходного напряжения (В) к амплитуде входного тока (А), по­лучая размерность /С21 (/) в омах (напомним, что речь идет об усилителе-преобразователе тока в напряжение). Однако мерой интенсивности дельтаобразного тест-воздействия является не амплитуда, а его площадь. В самом определении дельта-им­пульса в качестве его меры выступает площадь (она единич­на). Интенсивность импульса 1й{1—%) по (3.132) также харак­теризуется площадью — зарядом /с(т)Гб. Выходная реакция системы Оъ(£—т) оказывается пропорциональной не амплитуде, а площади дельтаобразного входного сигнала. И это нетрудно доказать.

Подадим на вход системы п дельтаобразных элементарных импульсов МО, произвольно наложив их друг на друга — лишь бы все они укладывались на очень малом отрезке вре­мени И форма, и амплитуда такого сложного

Входного импульса будут произвольными, задана только его пло­щадь (заряд). Она в п раз больше площади (заряда) каждого элементарного импульса. По определению длительность дельта - образного импульса Ть> и поэтому пТ6 меньше всех характери­стических времен системы, в том числе и времени релаксации выходного сигнала —т). Следовательно, с точки зрения усилителя все эти элементарные импульсы приходят как бы в один момент времени Реакции на каждый элемен­

Тарный импульс £/#(*—т) оказываются синхронными, они дружно складываются, и выходное напряжение возрастает в те эке п раз, что и площадь входного импульса. Что и требовалось доказать.

Определим импульсную характеристику системы Н(I—т)* отнеся выходную реакцию к площади входного дельтаобразно - го импульса /с(т)Га:

Я(*-т)~Г/в(*—т)//с(т)Гв. (3.135)

Сопоставив это определение с определением коэффициента передачи К23 (?) ~£МШМП» видим, что их размерности раз­личаются — в размерности Н появилась «лишняя секунда»:

Размерность Я —[размерность /С2]]/секунда = Ом/с = 1/Ф.

Если на вход системы подан дельта-импульс, то выходной сигнал непосредственно является импульсной характеристикой. Полагая в (3.129) — (3.132) площадь /с(т)Тв=1, получаем

1,(0 - б (*—т); Я (*—т) эз ий (/—т). (3.136)

Но можно ли считать площадь токового импульса равной единице (безразмерной величины), если эта площадь представ­ляет собой заряд (Кл)? Можно, но только при переходе к без­размерным величинам, когда /б) Т6, и& обозначают не собствен­но физическую величину, а ее численное значение в выбранных единицах измерения, например (А), (с), (В). В дальнейшем выражении типа (3.133) встретятся, но специально оговаривать безразмерность величин больше не будем.

И завершим настоящий раздел, примером импульсной ха­рактеристики (рис. 3.14, б, в). Эта характеристика зависит от интервала времени —% между моментами опроса ( и при­хода т входного дельта-импульса. На рис. 3.14,6 в качестве пе­ременной выбрано время т, а на рис. 3.14, в — время I. Ясно, что построенные на этих рисунках функции зеркальны, по­скольку переменные т и / входят в функцию Н(1—т) с разными знаками. Функция Н(т) понадобится в дальнейшем при расчете выходного сигнала в фиксированный момент времени ti когдз на вход приходят дельтаобразные импульсы в различные мо-

Тленты т. А функцию текущего времени обычно

Получают экспериментально, подавая на вход дельта-импульс в некоторый момент т.

В общем случае усилитель искажает сигнал. На примере рис. 3.14,5 затягивается спад, вносится задержка (максимум отклика сдвинут относительно момента прихода входного сиг­нала т). В фурье-анализе этим двум искажениям можно по­ставить в соответствие амплитудно- и фазочастотные иска­жения.

Связь импульсной и частотной характеристик легко1 просле­живается на следующем опыте. Подадим на вход фильтра-уси­лителя дельта-импульс — на выходе получим импульсную ха­рактеристику Я(*—т) = £/*(*—т) (рис. 3.15). Спектр дельта - импульса белый, поэтому с точки зрения фурье-анализа на вход поданы гармоники всех частот / одинаковой амплитуды, каждая из этих гармоник усиливается в Ku{f) раз, так что на выходе получаем спектр гармоник K2{f). Итак, с выхода усилителя снимаем сигнал U6(t—т)=H(t—т), а на языке фурье-анализа — это спектр /С21 (f) - Так доказывается известное положение теории линейных систем: частотная характеристика такой системы Knif) является спектром ее импульсной харак­теристики H(t—т). Отсюда следует, что если частотная харак­теристика известна, то импульсная рассчитывается с помощью обратного фурье-преобразования:

Оо

И (ДО =5 (/) К21 (/) cos (соДt + яру) df=

О -

2 5 К-а (/) COS (ыМ 4-^)у) df.

Фильтрующие свойства усилителя характеризуются не абсо­лютными, а относительными характеристиками передачи. Ло­гично определить относительные характеристики (импульсную и частотную) применительно к одному и тому же усилителю.

Его коэффициент усиления (передачи) в Ко раз меньше, чем в реальном, т. е. в области плато частотной характеристики он равен единице. Для такого усилителя

К(1)=К21(П1*<0, Н(М)=Н{М)1Ко. (3.138)

Согласно этому определению и (3.135) характеристика Н(М) остается размерной — ее размерность с-1. Из (3.137) и

(3.138) вытекает следующая связь между относительными ха­рактеристиками.

Оо

А'(Д0 = 2 (/)с°8(й>Л#-Ьфу)^/. ' / (3.139)

О

Форма выходного сигнала. Итак, выходной сигнал /с (т) разложен на дельтаобразные импульсы /а (т) =/слес(т)б (/—т) и определены отклики на каждый такой импульс 0й (7—г) ~ ~Н(7—т). Они одинаковы по форме и различаются лишь ам­плитудой и положением во времени (поскольку различны пло­щади и моменты прихода входных дельтаобразных импульсов). Теперь остается сложить все эти отклики и получить искомый сигнал на выходе усилителя

Со

= § /с(т)//(<-т)^т, (3.140)

—оо '■

{ ... . /

^ — х)йх ис{£)= ^ ес(т)А(* — т)(3.141)

— оо —сс

Здесь использовано определение импульсной характеристи­ки (3.135), переход от суммы к интегралу проведен в пределе Ть^с1 т-*0.

Полученный интеграл свертки (3.140), (3.141) заменяет

При анализе во временной форме обратное фурье-преобразование и позволяет ПО известным входному сигналу /с (т) =5£'сА^с (т) и импульсной характеристике Я(Д£) найти выходной сигнал. Применяют обе приведенные формы записи интеграла свертки. Физически реализуемая система не может реагировать на вход­ное воздействие, которого еще нет, поэтому в такой системе при т>(, Л£<0. В этом случае в (3.140) верхний предел (бесконечность) изменяется на значение t, и автомати­чески приходим к (3.141). Она представлена как для абсолют­ных ис, /с, Я, так и относительных ис, ес, к величин.

Приведенных сведений об импульсной характеристике до­статочно для дальнейшего анализа. Прежде всего попытаемся найти импульсную характеристику оптимального фильтра, ис­пользуя знания о его частотной характеристике.

Импульсная характеристика оптимального фильтра при бе­лом шуме повторяет форму сигнала. Анализ начнем с белого шума и сигнала симметричной формы. Частотная характеристик ка оптимального фильтра k (/) является не только спектром импульсной характеристики h(At), но одновременно и спектром сигнала ez(t) (см. § 3.2). А раз спектры функций h(А/) и ec(?) совпадают, то совпадают (по форме) и сами эти функции:

H(At) =Bec(t-t^)=ez(At-t3aa)jTCi (3.142)

Где В = const.

Как видим, константа пропорциональности выбрана здесь равной эффективной длительности сигнала. Иной она и не мо­жет быть. Спектральная плотность h(At) на нулевой частоте есть k(f)=k(0)=1. А в § 2.1 было показано, что она должна быть равна площади импульса — в данном случае импульса h(At), и лишь при указанном значении константы это требова­ние будет соблюдаться:

00 со

^ H (t)dt = ес(Ы — t3B!,)dt =^7’с=1. (3.143)

—со О

В (3.142) и (3.143) фигурирует время задержки? зад, которое (см. § 3.2) произвольно и не влияет на отношение сигнал-шум,, определяет только момент, когда это отношение достигает мак­симума.

Получили еще одно замечательное свойство оптимального фильтра: форма его импульсной характеристи­

Ки в точности повторяет форму входного сигнала, на который настроен этот фильтр, — точно так же, как частотная характеристика фильтра повторяет спектр сигнала.

Этот вывод сохраняется и при асимметричной форме вход­ного сигнала, но с одним уточнением. Поскольку частотная характеристика фильтра комплексно сопряжена со спектром сигнала x(f) = ес* (f) (см. § 3.2), то импульсная характеристика является зеркальным отражением входного сигнала:

H(At)=ec(—At-Ua! l)/Tc. (3.144)

К сожалению, этот «красивый» результат справедлив только при белом шуме, так как при произвольном спектре шума ча­стотная характеристика оптимального фильтра уже отличается от спектра сигнала и K(f) =ес* (f)jQ(f). Подставляя эту харак­теристику в (3.137), получаем

Оо

H (ДО = 2 ^ k (/) cos (а>Дt — t|)c) df =

О

ОО

= 2 jj!^c°s(c^_^c) df. (3.145)

При ВЧ-шуме спад подынтегральной функции начинается на низких частотах fв<Cfc, где спектральная плотность сигнала ■еще постоянна, ес(?) = 1, ^(О^О - Поэтому импульсная харак­теристика не зависит от спектра сигнала.

Оо

Т+ЦШ 005 аШ/“2^ЄХР ("1 At 1/Та)'

(3.146) ,

При вычислении (3.146) использованы таблицы интегралов |79]. Низкочастотный спад обусловливает и большую эф­

Фективную постоянную времени фильтра тв-

Теперь остается получить импульсную характеристику опти­мального фильтра при НЧ-шуме. Форму входного сигнала принимаем колоколообразной, так как постановка задачи опти­мизации при прямоугольном сигнале и НЧ-шуме некорректна (см. § 3.3). Постараемся угадать форму импульсной характери­стики А(Д?)- Чем, собственно говоря, отличается наш фильтр от рассмотренного оптимального фильтра при белом шуме? Частотная характеристика и того и другого фильтра повторяет ■спектр сигнала — в данном случае косинусквадратного, только при НЧ-шуме усиление фильтра на низких частотах падает ■обратно пропорционально ©(/). Утрируя, можно сказать, что этот фильтр отличается только тем, что не пропускает посто­янную составляющую (и очень низкочастотные гармоники, ког­да /н<С1/2Гс). Но если совладают частотные характеристики фильтров к:(И, то должны совпадать и их импульсные характе­ристики к (А/). Форму характеристики к{Ы) при белом шуме. знаем — это форма колоколообразного сигнала. Следовательно, импульсная характеристика Л(Д/) оптимального фильтра при НЧ-шуме есть тот же входной колоколообразный сигнал. А как отражается на импульсной характеристике фильтра Л(Д/)~ '"'^(Д/) его особенность — то, что он не пропускает постоян­ную составляющую? На языке формулы (3.141) это выражает­ся так: при постоянном входном сигнале ес{1) = 1 на выходе Должны получить мс = 0:

Оо

(/)= jj ес(т) h (^т) dt= ^k{t~~i)dx=0.

Следовательно, кривую h(t—x)~ec(t—т) надо сместить вниз таким образом, чтобы площадь под этой кривой стала равна нУлю, Так пришли к импульсной характеристике оптимального фильтра (кривая 1 на рис. 3.16). Здесь площадь под кривой

H[&t) приравнена нулю условно на интервале [—Тс, Тс].

Угадали или нет? Подставляя в (3.141) спектр шума 0 (0 =/н//=*н/* и сигнала Јc(f)=n2 sinлг/j:(іг3—хг), x=2jxfTc^

Хн~2л[нТс, получаем

ОС

H (Дt) = 2 jj ес cos (2я/Д0<^/ =

О

СО

П С я2 sin х і At х, --

/ 2д2 Р sin х [At .

= [ЪЯГ7) J 1ІПГЇГ COS

(3.148>

Напомним, что при НЧ-шуме коэффициент усиления (и, следо­вательно, ^(ДО) нормируется дополнительно на значение ^с//н = [1/2^нТ’с] (3.65). При такой нормировке

Оо

A(A<)=T7S^=IrCosf^JC)rfJi:-

Импульсная характеристика по (3.149) также построена на рис. 3.16, кривая 2. Численный расчет подтверждает угаданное поведение характеристики Л(Д/): она совпадает по форме с ко - синус-квадратным импульсом сигнала ес(і). Правда, смеще­ние вниз оказывается несколько меньше (ср. кривые }~3)г

И указанное совпадение наблюдается не при всех временах (но все же на весьма широком интервале 1Лг|<0,75Тс порядка времени действия сигнала). При больших временах (|Д/|>‘ *>0 75Гс) характеристика медленно релаксирует к нулю. Такое поведение не было предсказано, и понятно почему: большим

Временам соответствуют низкие частоты, а именно на низких частотах в большей степени мы отклонились от реальной зави­симости к{!) =ес(/)/©(/), когда при качественном построении

Полагали, что к(/)^£с(/Ь

Принципиальное отличие полученной импульсной характе­ристики от рассмотренных — это наличие в ней отрицательных выбросов. Следовательно, входные воздействия на соответ­ствующих интервалах суммируются с отрицательным весом. Фильтр осуществляет не только арифметическое сложение, но я вычитание.

Еще раз о правиле принятия решения о наличии или от­сутствии сигнала. Рассматривая в § 3.1 это правило, мы обо­шли молчанием вопрос; почему это решение принимается реша­ющим устройством только по одной выборке, хотя бы и в мо­мент достижения сигналом своего максимума? Казалось бы, такой алгоритм неоптимален, не используется остальная инфор­мация, содержащаяся во входном сигнале, который отличен от нуля на достаточно большом отрезке времени (около (I. ..2)7^). Из общих соображений выбираем следующий алго­ритм для решающего устройства: брать выборки на всем ин­тервале действия сигнала Uc. it), составлять по определенно­му правилу их суперпозицию и принимать решение уже с помощью этой суперпозиции. Тогда действительно будет пол­ностью использована информация о сигнале (вся его мощ­ность) .

Временная форма — интеграл свертки (3.141) показывает, что нет нужды выполнять такой алгоритм в решающем устрой­стве, так как необходимую операцию суперпозиции выборок сигнала выполняет сам оптимальный фильтр. Он складывает все выборки со взвешенным коэффициентом /г(Дт). Вот поче­му решающему устройству достаточно сравнивать максималь­ное значение выходного сигнала с некоторым пороговым уров­нем (см. § 3.1).

При анализе во временной форме задача оптимальной филь­трации сводится к оптимизации взвешенного коэффициента — импульсной характеристики Н(Ах)—таким образом, чтобы Из смеси сигнала с шумом выбрать «побольше» сигнала и «поменьше» шума. Выполним эту оптимизацию последователь - Но для хорошо известного нам набора шумов (белого, высо­кочастотного и низкочастотного).

Белый шум. Пусть на вход приходит сигнал прямоугольной Формы (рис. 3.17,а). Для белого шума используем аппроксима­цию (см. § 2.2) в виде последовательности импульсов случай -

Выброса), поэтому при сложении этих выборок в одинаковое число раз увеличивается и сигнал /аН-^сп = 25£са> н шум

*ш1-ИшП=2*ш; + = /(2^)2 =2■ так Что

Отношение сигнал-шум, к сожалению, не улучшается. все-таки

На практике следует устанавливать очень малый интервал между выборками, много меньше времени Хотя отношение

Л^с? ш не улучшается, но мы освободимся от условности модели. При столь частых выборках их надо не синхронизировать с шумовыми выбросами (это можно нарисовать на рис. <5Л7,в, г, но нельзя осуществить на практике), а автоматически усред­нять по шумовым импульсам разной длительности и наложен­ным друг на друга.

Каково правило суперпозиции выборок при сигнале произ­вольной формы £с(0? Сложим при таком сигнале выборки с весом А*. Тогда (3.151) — (3.154) модифицируются:

^к^ск— ’“Г ■ 1 (3.156)

'Т'4 ” V - ■ ". •

(3,157)

2 4л = 4(Аі+А2+...А«)

*=1

= 2?/„,(Аі+АІ+...а5)/2тш; (3.158)

Л'с/ш=-4=-У2т^г - (3.159)

' У2 Ма»! +*»» + ••• + ЛЛ

Точно такая же дробь (последний множитель правой части) была получена при анализе соотношения Ач/’ш в частотной форме (3.43), только там вместо кп, есп фигурировали кл, еСп(їп). По аналогии с (3.43) следует, что максимум рассматри­ваемой дроби достигается при Ьк = ек, т. е. при /г(АО ~ес(Л0* Еще раз доказали, что импульсная характеристика оптималь­ного фильтра при белом шуме повторяет форму обнаружива­емого сигнала, но доказали уже «честно», совсем не пользу­ясь результатами частотного анализа, вовсе не привлекая ча­стотную характеристику фильтра.

Высокочастотный шум. ВЧ-сосгавляющая шума появляется при емкостном входном импедансе (рис. 3.17,ж), когда гене­ратор ЭДС шума замещается генератором шумового тока, подключенным параллельно фотоприемнику (см. § 2.4). Теперь будем непосредственно оперировать схемой на рис. 3,17,^- Реализацию ЭДС-шума £/ш(0» как и токового шума, аппрокси­мируем последовательностью прямоугольных импульсов

(рис. 3.17, По аналогии с (3.150) среднеквадратичное значение (выборки в любой момент времени) связано

Со спектральной ПЛОТНОСТЬЮ (/) соотношением

£/^2/2тш. (3.160)

Как видно из рис. 3.17, ас, ток сигнала /с накапливается на входной емкости и создает постоянное напряжение Uc = IcTcfCsx (рис. 3.17, д). Именно процессу накопления на емкости обяза­ны тем, что выходной сигнал и его отношение к шуму зависит от площади (энергии) входного сигнала ЕсаТс Конкретная форма сигнала никак не влияет на результат накопления. Об этих особенностях также говорилось при частотном анализе и отмечалось, что при бесконечно длинном импульсе отношение JV A стремится к бесконечности (см. § 3.3). На язык фор­мул сказанное переводится следующим образом:

U^nSEoJJC^. - (3.161)

Uш ~ Uт - f - £/Ш2 - f - ... + f/щ п< (3*162)

Ьi^nЬl, = n? ml 2тш, . (3.163)

ЛГС/Ш= uJVUl= VnSE, ATJC, x

= SE ch T c V2xmпijCBXem, (3.164)

Lim Ncim-+ со. (3.165)

Tl-*- oo

Опять повторение результата § 3.3: при наличии только ВЧ - шума полоса усилителя должна выбираться бесконечно узкой (следовательно, время наблюдения бесконечно большим 1/2/у), тогда обеспечивается бесконечно большое значение ^с/шоф. В § 3.3 было также показано, что реально значение ^с/щоф ограничивается белой составляющей шумов, так что уч­тем ее теперь и в схеме рис. 3.17, ж. Рассмотрим вновь реали­зацию 1щ(0 (рис. 3.17,6). Шумовые импульсы imK накаплива­ются на входной емкости СВх точно так же, как и сигнальный импульс, создавая на входе усилителя после своего прихода случайный скачок напряжения 1пшТш/Свх. Это напряжение оп­рашивается при каждой последующей выборке. Поскольку оп­тимальный фильтр, настроенный на прямоугольный сигнальный импульс, суммирует все выборки за время Гн, то первый шумо - Е°й импульс (нумерация на рис. 3.17,6) к моменту отсчета Та °просится и просуммируется п раз, второй импульс п—1 раз и

Последний — только один раз. Поэтому при опросе к концу ин, тервала наблюдения сумма выборок напряжений будет равна

(п—1) /Свх+

“Ь*1шТш(я. 2)/Свх+ ■ • • Ч-^шпТш/Свх. (3.166)

А дисперсия этой суммы п независимых слагаемых определит­ся выражением

{Ж=гшт»[гег + (гс~ 1)г + (я-2)г+ .. .2з + 1Гу с2п. (3.167)

Оценим ряд в правой части полученного уравнения. Если бы все п слагаемых были одинаковыми и равными п2, то сумма ряда составляла бы пг. Первые члены ряда мало отличаются от м2. Они самые большие и определяют значения всей суммы, поэтому можно ожидать, что сумма по своему порядку приб­лижается к значению п3 (оставаясь меньше). Из таблиц рядов [79] следует, что сумма рассматриваемого ряда равна пэ/3. И (3.167) с учетом (3.150) преобразуется к виду

£/ш = Свх - 3 = 2д1шх2шп?/2^шС2м-3 =

= 2д1штшпэ/С1,-2-3. (3.168)

В результате двойного накопления на входной емкости и в самом оптимальном фильтре компонента мощности токового шума возрастает с ростом времени наблюдения значительно сильнее /г3~7’н3> чем компонента мощности электродвижущей силы шума (п~Тп формула (3.163)). При некотором значении п=т обе компоненты сравниваются

2 <7/штшю3/Свх* 2- 3 = е2щт(2хш> Тщ т2 = е2тс1к -3/2д/ш,

= УдетС9Л1У2яй = >аЗ/2я/в. (3.169)

В (3.169) использовали определения частоты [в (2.139). (Учет дробового шума привел к тому, что время наблюдения стало конечным, но все равно оно значительно превышает дли­тельность сигнала Тс. Это следует из (3.169), если учесть, что рассматривается случай, когда ВЧ-шумы преобладают в диапа­зоне частот сигнала:

/.«/*= 1/27'с; Т„-(/3/л2/„»7'с. (3.170)

Полученные значения т и 7’н являются оптимальными. При меньшем числе выборок (/г<т) преобладает ЭДС шум, а при таком шуме для повышения отношения Мс/Ш следует увеличи­вать число выборок (3.164). Но как только число выборок пре - высит значение т (3.169)’ отношение сигнал-шум начнет па­дать, поскольку здесь преобладает белый шум и при накапливается только дополнительный шум.

Определив оптимальное время Тн, легко рассчитать и отно-

Шение сигнал-шум. Для сигнала воспользуемся формулой

(3.138) . Для определения дисперсии шума используем форму­лу мощности дробового шума (3.165), но только удвоим эту мощность, поскольку при выбранном времени Тп и дробовой, И ЭДС-шум дают равный вклад в общий шум. Подставляя в эти формулы значение Тн^тхш из (3.169), получаем ц 5£сАт/Свх

Д/-°Ф_ . ____ — —

™ с/ш — 77Т

2 (2^/ш) -гштэ/бС

SHAPE \* MERGEFORMAT

5£_сА^ т/ 3 Г~Ъ~

2,

^ > %т У2?/ш I/ УЗ

Т

= (ЗЛ71)

V 2<7/ш

Сравним этот результат с точным выражением (3.77), по­лученным частотным методом. В (3.171) появился «лишний» множитель > 3=1,31, так что ошибка составляет всего 31%. А ведь были сделаны серьезные упрощения и в части модели шумов (представляли его последовательностью прямоугольных импульсов длительностью тш), и в части обработки сигнала (складывали выборки на интервале Гн без веса Л(А£)).

Низкочастотный шум. В этом случае сам источник шумов отличается от рассмотренных до сих пор (дробового, теплово­го): в его спектре преобладают низкочастотные гармоники, по­этому и шумовая реализация 1ш(0 является медленно изме­няющейся случайной функцией. Во всяком случае, ее измене­ния малы за период действия сигнала Тс (рис. 3.18, а, б). Все выборки шума в течение действия сигнала Тс оказываются почти ПОЛНОСТЬЮ коррелированными, Гцн^ша'» а мы

Видели, что при сложении таких выборок шум растет точно так же, как сигнал:

0с=п5Еса, (3.172)

Иш = п1ш, и1 = ПЧгш. ' (3.173

Поэтому их отношение

N1^= п!!1± - = (3.174)

У пч2ш У 4

Не зависит от числа выборок и, следовательно, от длительности импульса Тс. Так физически объясняется одна из важных осо­бенностей оптимальной фильтрации импульсного сигнала на фоне НЧ-шума.

Сложность дальнейшего расчета заключается в том, что теоретически дисперсия НЧ-шума стремится к бесконечности:

Как избежать этой расходимости? Еще раз обратимся * рис. 3.18. Реализацию шума £ш(0 можно рассматривать как случайную величину, почти постоянную в течение времени дей­ствия сигнала — его эффективной длительности Тс - Очевидно, что из смеси сигнала с шумовой «подставкой», выбранной на интервале [—0,5 Тс, 0,5 7С], надо вычесть эту «подставку». Последнюю надо измерять, когда сигнала нет или почти нет при —0,5 Тс, />0,5 Тс’ И оптимальный фильтр выполняет именно эти необходимые операции, что следует из его им­пульсной характеристики, которая усердно перенесена на рис. 3.18,5 с рис. 3.16: этот фильтр складывает выборки с по­ложительным весом на интервале [ — 0,56 Гс, 0,56 Гс] и с отри­цательным— вне этого интервала. __

Для дальнейшего расчета — определения дисперсии 1Ш2 —- надо знать функцию корреляции. К сожалению, ее расчет достаточно громоздок. Когда будем анализировать матричные ФПУ с накоплением и вычитанием кадров (см. § 4.5) —опера­циях, идентичных только что рассмотренным, вернемся к опре­делению /щ* И отношения А'суш - При этом также будут получе­ны формулы для ЫС/ш, подобные формулам для оптимального фильтра (§ 3.3).

Оптимальный фильтр-накопитель как элемент памяти. Анализ во временной форме позволяет глубже раскрыть сущность про­цесса оптимальной фильтрации. Из правила «Импульсная ха­рактеристика оптимального фильтра повторяет форму сигнала» вытекает, что в классическом случае белых шумов и прямо­угольной формы сигнала импульсная характеристика тоже пря­моугольна (рис. 3.19, а). Фильтр с такой импульсной характе­ристикой можно интерпретировать как элемент памяти: корот­кое входное б-воздействие вызывает на выходе постоянный от­клик длительности Тв, т. е. в течение Ти фильтр как бы помнит об этом воздействии. Время Гн можно назвать глубиной памя­ти. Оптический сигнал прямоугольной формы состоит из суммы элементарных б-воздействий на интервале Тс. Глубина памяти оптимального фильтра выбрана в точности такой, чтобы за­помнить все эти воздействия, Тц=Тс. Все запоминаемые на ин­тервале Тп выборки складываются, так что время Т„ — это и время наблюдения, в течение которого берутся выборки, и глу­бина памяти, и интервал интегрирования, накопления, сложе­ния. То, что оптимальный фильтр интегрирует (накапливает) сигнал, следует и из интеграла свертки (3.141) при подстанов­ке в него прямоугольной импульсной характеристики:

Г I

Ис= 5 * 6с ^ (3.176)

*~ГН

В накоплении на интервале ТН=ТС — суть, железная логика оптимальной фильтрации: именно при таком времени накопле­ния (глубине памяти) полностью используется информация о входном сигнале и не накапливается (не запоминается) лиш­ний шум.

Оптимальный фильтр можно рассматривать и как накопи­тель при произвольной форме сигнала. Только он накапливает (суммирует) входные воздействия с весом к, и можно гово­рить о некотором эффективном времени накопления Тн: им­

Пульсную характеристику произвольной формы Л(Д£) можно заменить на эквивалентный прямоугольный импульс кд(М) так, как это было сделано с сигналом (см. § 2.1). Длитель­ность эквивалентного импульса кь{М), равная площади под кривой /г(ДО, и будет эффективным временем накопления Гн— эффективной глубиной памяти (рис. 3.19,6). Для оценки вы­ходного сигнала импульсную характеристику в интеграле свертки (3.139) можно заменить эквивалентной (прямоуголь­ной) , сводя алгоритм обработки к накоплению:

Ис(0 = ^ к (*— т)£с(т) ^ ес(х)с1т. (3.177)

—°° "г— т..

Поскольку при белом шуме Л (ДО ~ес(Д0> то эффективное время накопления, как и при сигнале прямоугольной формы, равно эффективной длительности сигнала Тн= Тс.

Оптимальный фильтр фактически остается накопителем и при ВЧ-шуме, только эффективное время накопления стано­вится значительно больше длительности сигнала. Именно опе­рацию накопления (сложения выборок) выполнял фильтр при ВЧ-шуме. При оптимизации времени накопления было получе­но значение ТшгЗ/2л? вч==,7ту^>Тс (ЗЛ69), Строго говоря, в оптимальном фильтре выборки должны складываться с ве­сом к, но, заменяя функцию Л (ДО эквивалентным прямоуголь­ником Лэ(Д0 (рис. 3.19, в), сводим такую обработку к накоп­лению. Так как фронт и спад импульса Л (ДО экспоненциально релаксируют с постоянной времени тэ (3.147) (рис. 3.19, в), то длительность этого импульса, определяющая и эффективное время накопления, равна

7н=2тэ=2/2я/в=1/я/в. (3.178)

Полученное значение по (3.169) отличается от последнего все­го на 15%.

Оптимальный фильтр при НЧ-шуме также выполняет опе­рацию накопления, но не ограничивается этим. Импульсную характеристику (рис. 3.19, г) нельзя заменить одним эквива­лентным прямоугольником: поскольку постоянная составля­ющая не пропускается, то площадь под кривой Л (ДО и, следо­вательно, интервал Тп равны нулю. Каждый из трех участков характеристики Л (ДО (один положительный I и два отрица­тельных II, III) следует заменить соответствующими прямо­угольниками тех же знаков. Возможны различные варианты подобной эквивалентной замены. Но больше всего должна понравиться читателю аппроксимация Лэ(Д0 (рис. 3.19,г, штриховая линия), потому что она особенно наглядно демон­стрирует особенности оптимальной обработки сигнала при НЧ - шуме. Прототипом здесь является стандартный способ обработ­ки при белом шуме: на основном интервале I точно так же проводится накопление сигнала в течение времени, почти рав­ного его длительности. Модификация способа заключается в появлении побочных интервалов II, III - Расположены они непосредственно около основного так, чтобы накапливаемая на этих интервалах шумовая «подставка» не успела сильно изме­ниться. Эффективное время накопления такое же, как и на основном, а значение Лэ(Д0 вдвое меньше. Поэтому сигналы, накопленные от постоянной составляющей на интервалах I, а также П+Ш, равны и при вычитании полностью компенси­руют друг друга. Это и есть основная особенность фильтра при НЧ-шуме. Рассмотренной аппроксимации Аа(Л0 соответствует следующая запись интеграла свертки:

Таким образом, при любом характере шума устройство вы­полняет накопление (эффективное накопление), обладает па­мятью. И это неудивительно; память — необходимое свойство разума, а обнаружитель все-таки является «разумным» устрой­ством (хотя бы и самым элементарным) — самостоятельно при­нимает решение о наличии или отсутствии сигнала. Вообще обнаружитель может запоминать следующую информацию: текущие выборки смеси сигнала с шумом; форму обнаруживаемого сигнала при белом шуме, пред­ставленную в частотной (переходной) характеристике:

КШ)=ес{Ы)/Тс;

Информацию о спектре шума к (/) —ес (/)/© (/), которая при­сутствует в частотной характеристике при небелом шуме;

Значение порога £/пор. при сравнении с которым выходного отклика и принимается решение — пришел или не пришел сиг­нал.

Представление об оптимальной фильтрации как процессе накопления (при НЧ-шуме в сочетании с вычитанием) особен­но полезно при анализе обработки сигнала в многоэлеМентных ФПУ, ПЗС, ПЗИ. Накопление в этих приборах является оп­тимальной (почти оптимальной) обработкой сигнала. Впрочем, этот вопрос столь важен, что он специально будет рассмотрен в § 4.5 и 4.6.

Подведем итог. Имупльсная характеристика оптимального фильтра в случае белого шума повторяет форму обнаруживаемого сигнала (при не­симметричном импульсном сигнале является его зеркальным отражением). Следовательно, при прямоугольной форме сигнала импульсная характерис­тика тоже прямоугольна. А это значит, что оптимальный фильтр является накопителем с временем накопления Тп = Тс. Но и в самом общем случае оптимальную обработку можно в первом приближении аппроксимировать операцией интегрирования. При белом шуме эффективное время накопления (интегрирования) Тл остается равным эффективной длительности обнаружи­ваемого сигнала Тс при любой его форме. В случае ВЧ-шумов время ТЛ много больше длительности сигнала и определяется граничной частотой ВЧ - шума Гн—^я/в. При НЧ-шуме накопленные на соседних временных интер­валах сигналы вычитаются, что устраняет медленную низкочастотную флук­туацию шума.

Обнаружитель как логическое устройство (ведь оно принимает решение 0 наличии сигнала и его отсутствия) должно обладать памятью. Накопление
в оптимальном фильтре, позволяющее запомнить всю необходимую теку, Шую информацию о смеси сигнала с шумом, является одним из элементов такой памяти.

Анализ во временной форме позволил вывести уже известные по частот­ному анализу основные закономерности оптимальной фильтрации: правила выбора фильтра в зависимости от характера шума, формы сигнала, дости­жимые значения отношения сигнал-шум.