ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

Задача об эволюции начальных возмущений

В разд. 2 мы показали, что при выполнении условия (13) диффе­ренциальное уравнение (12) не имеет собственных функций. Эта ситуа­ция довольно необычна в теории колебаний плазмы. В то же время аналогичные эффекты характерны для теории колебаний идеальной жид­кости; так, например, собственные функции отсутствуют в случае куэттовского течения [13]. Как указано в работах [2], это, однако, не озна­чает, что для куэттовского течения задача с начальными данными не имеет решения, поскольку она сводится к задаче на собственные функ­ции далеко не для всякого дифференциального уравнения. Действительно, произвольное начальное возмущение может быть разложено по собствен - нымсфункциям только в том случае, если они образуют полную систему, как, например, в случае самосопряженных несингулярных операторов (теорема Штурма—Лиувилля).

Рассматриваемое нами уравнение (12) не принадлежит к этому классу; следовательно, в нашем случае для решения вопроса об эволюции про­извольного начального возмущения также необходимо непосредственное рассмотрение задачи с начальными данными. Эта задача описывается следующей системой уравнений (см. разд. 1)

Подставляя fj рк из уравнения (23) в уравнение (22), находим

TOC o "1-5" h z [а? ~ 2 л ^ ^ =

]=«. *

= — 2 4*еЛ<Лг/ 4(х, 0, у)0>ч-Л1/0^)-1. (24)

У=е, ♦ •>

Будем считать для простоты, что начальные возмущения имеют гидродинамический характер, т. е. что возмущена лишь плотность за­ряженных частиц, но не форма функции распределения в пространстве скоростей

/.?,*(*. 0, ) = п, к(х, 0)/0, (лг, т) П-) (х),

Где ПП] (.г) = | (х, г). Поскольку не зависит от угла в, интегри-

Рование по этому параметру производится так же, как и в разд. 1. В результате получаем

I j—в, »0 '

____ 00

= - 2 *{х’ °> "5 <*> [о» 1ку»у + {кУ’<>5г)ТЛ- (25)

В разд. 1 показано, что однородное уравнение (25) с правой частью, равной нулю, не имеет решений. Это свидетельствует об отсутствии самосогласованных колебаний плазмы. В этом случае, однако, возможны колебания, связанные с присутствием в начальный момент в плазме модулированных пучков заряженных частиц. Действительно, уравнение непрерывности, которое использовалось при получении уравнения (25),

Можно записать в форме ^---*-<1^ (/0Уг) = 0, откуда следует, что возму­щение плотности заряженных частиц может вызываться как их движе­нием в самосогласованных полях со скоростью у1г так и модулирован­ными пучками с волновым вектором ку = к и скоростью 1/0у (при = к^У^). Для возмущений последнего типа имеем

^г = А = Со (ш — £1/0 (х, V)).

Очевидно, что произвольное возмущение начальной функции распре­деления /у к (х, 0, у) можно разложить по таким пучкам.

Для того чтобы найти решение неоднородного уравнения (25), исполь­зуем функцию Грина—£>**„(*), которая, по определению, удовлетворяет уравнению

■£.£#.»*„(■*) = 8(* — *о).

Здесь Ь — дифференциальный оператор, стоящий в левой части (25). Следуя работам Г2], выразим функцию Грина через решения однородного уравнения Ьурк, (л-)=0 ($=:1, 2)

(—(*/>)?+(*о/>) (х < *■>)•

?„*.(*)-{_ иг-^Лхр)? (чр) {х>х0). (г >

Здесь

?± (хр) - ?рк1 (*) (± °о) — 9рк2(х) <?р|с1 (± оо),

^=^7 ж=х = [?*1(-с°)?*(с°)-?м,(-»)?*(»)]Х

Д'1рк д<?Рк2 1

Ф 5 Журнал технической фнэнкн. N8 Ю, 1966 г.

Определенная таким образом функция Грина непрерывна и ограни­чена. Действительно, в силу отсутствия собственных функций у одно­родного уравнения (25), а также из-за линейной независимости функций Уркя(х) ни ОДИН из сомножителей, входящих в выражение для И?', не обращается в нуль, и, следовательно, величина В^“1 конечна. Функции Урки из которых составлены функции также ограничены повсюду на интервале (—со, со), в том числе и в особых точках, вблизи от кото­рых имеем [12]

?рк. (х) = А,3г}Р (*_,) -+- Вш1 [х, Р (г,) 1п г у ■+- <2 (хД, (27)

Здесь — хеу, i4, В— постоянные величины; Р, (2 — полиномы от

*Гу, начинающиеся с нулевой степени. Выражение (27) для уркй спра­ведливо при |*Гу| ^>г^у. В обратном случае |*у|^глу становятся су­щественными эффекты ларморовского радиуса, при учете которых особенности в уркв устраняются (см. разд. 1).

Используя функцию Грина, запишем решение уравнения (25) в виде •

00 00

TOC o "1-5" h z 9рк (*) = —} <1х^ркХ' (х) 2 (л:, 0) | (и) X

—00 ■]—*' о

X [(/>ЛУ* (Х0))2(кУ0 ^)2]'7’. (28)

Для того чтобы проследить за временной эволюцией начального

Возмущения, необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа

А-4-»оо

?*(*. 0 = и 4**¥м(*>. (29)

А—»00

Причем эту операцию удобно проделать до интегрирования по с1ъ и с1х0 в уравнении (28).

Как известно, асимптотика выражений типа (29) при tсо опреде­ляется особенностями подынтегральной функции. В нашем случае осо­бенности расположены в точках />1у =—Не]/0у(х0), р^ — —/£1/0у(х)»

С

В окрестности которых имеем Чркхъ{х) — “+" ^11п(р--- Рг); Ггркх0 (*> =

= С2(р — —Рг)* Наибольший вклад в асимптотику дает полюс

Первого порядка, учетом которого мы и ограничимся. При гт ^0 вели-

Чину — необходимо заменить на £(/>—/>х)2 Эта замена

Не затрудняет преобразования Лапласа, выполняя которое, получаем [1о]

Со

9к(х, /) = — Г Лг0 2 У-«Гу(*„), *.*.(*) X —00

X 4=ву. д (*„, 0) Е-'к7^‘ Ф, (X, /). (30)

Здесь величина Фу (х, £) равна

00

Фу (х, 0 = 2- | (х, v)Jл(kV0

О

/о— функция Бесселя нулевого индекса. При малых временах

Функция Фу равна Фу(/) = 1. В обратном случае t^(кV'Qr:l) 1 влияние

Эффектов ларморовского радиуса приводит к зависимости асимптотики

Срк(х, t) от вида функции распределения частиц по скоростям. Так,

M —тр3

Например, при f0j (v) = v в 2TJ

1 j

Ф,(t) = exp [_ (kV'r^tn (rlJ.

Если разброс по скоростям Дг>г меньше vT, то обрезание за счет эффектов ларморовского радиуса наступает при больших временах,

Когда kV' 1.

Таким образом, при учете ларморовского радиуса начальные возму­щения затухают со временем, причем затухание усиливается с увели­чением теплового разброса по скоростям. Оно возникает из-за того, что при гХт-7^=0 частицы с одной и той же координатой х имеют, вообще говоря, различные скорости дрейфа по ОК [см. (5)]; в результате моду­лированные пучки, из которых составлено возмущение, расплываются со временем. Заметим, что аналогичную природу имеет затухание Лан- дау И-

Для нахождения асимптотики cpfc (jc, t) нам остается вычислить инте­грал по dx0 в уравнении (30). Если в начальный момент возмущение имело вид модулированного пучка, локализованного в точке х0 = аи rijk(x0, 0) = /1^0 (Х0 — ах), то из уравнения (30) находим

0 = — 2 4ltejg-nT, nlh).k, a,(x)rf, je-ttT‘^t<S>j(x, t). (31)

J=e, i

В этом случае затухание обязано только множителю Фу (/). Однако если начальное возмущение nJk(xQ, 0) является гладкой функцией от х0, то из-за того, что скорость дрейфа по О К зависит от х, отдельные пучки, из которых составлено первоначальное возмущение, будут сме­щаться со временем относительно друг друга. Интерференция возму­щений, связанных с ними, должна привести к дополнительному зату­ханию.

При нахождении асимптотики cpfc (х, t) мы воспользуемся результатами работы [16]. Из рассмотрения проведенного в ней следует, что при (itVoAx)“1, где Ах — область локализации первоначального возмущения, 9к(х> 0 должен стремиться к нулю тем быстрее, чем лучше аналитиче­ские свойства предэкспоненциальной функции ф* (х0) =— ^ g-ikv0Jix.). к. х, Х

J=9, i

X (*) * 4тсвуИу* (*0, 0). В этом легко убедиться, интегрируя в (30) по частям нужное число раз. Так, при наличии скачка у функции ф, когда

У — С'*(хо — Ь), <?к‘—у e~ikY°ib)t. Если скачок испытывает производная ф', то ср* — Наконец, если функция ф аналитична, то cpfc стре­

Мится к нулю быстрее, чем любая степень у.

В нашем случае л°, — гладкая функция и неаналитичность связана с функцией Грина, поскольку ее произйодная должна иметь разрыв при Х = х0, /(х0 + б) — ^'(^0 — ®) = 1- Интегрируя в (30) дважды по частям, получаем

2; Ar-einjAx’ °) .21/,2,2 ф; (*. t). (32)

T-+co. j=e, 0

Из (32) следует, что возмущение потенциала при /->оо в точке х связано с наличием модулированных пучков, находящихся только в этой точке. Вне области локализации пучков интерференция возмущений

Приводит к их уничтожению через время t^(kV„Ад:)-1, где Лд: размер области.

Заметим, что при t (кУ'0гхУ1у когда период пространственных осцилляций величины е~*кУо* много больше гл. (и поэтому эффекты лар - моровского радиуса еще не важны), у функции Грина имеется логариф­мическая особенность вида (*■—jc0) Wi ( jc — д:0— / —l—) [см. (26), (27)].

Ь К) /

Здесь в соответствии с правилами аналитического продолжения решения величина е положительна (г —> 0). Можно ожидать, что эта особенность даст свой вклад в асимптотику <р*(-*, /). Однако нетрудно показать, что вклад логарифмической особенности имеет вид /~2e~‘fc*VQ(—t) (9 = 1 при *<0 и 9=0 при /0), т. е. равен нулю. (При доказательстве полезно ввести функцию gl9 которая является аналитической и отличается от g лишь при xt близком к х0).

Как уже отмечалось, рассматриваемая нами задача близка по струк­туре к задаче об устойчивости плоско-параллельных течений идеальной жидкости. В частности, для куэттовского течения мы также получили бы асимптотику вида t~2e'*klat, которая отличается от асимптотики, полу­ченной в работе [2], t~le-<kV°'. Причина расхождения на наш взгляд связана с неправильной оценкой интеграла типа (30) в этой работе.

Таким образом, нами показано, что если скорость электрического дрейфа меняется с расстоянием по линейному закону, а параметры плазмы определяются условиями (13), то собственные колебания отсут­ствуют и произвольные начальные возмущения потенциала оказываются, затухающими. При этом асимптотика возмущения при оо существен­ным образом зависит от эффектов, связанных с конечной величиной ларморовского радиуса, а через них и от конкретного вида функции распределения заряженных частиц.

Автор благодарен Б. Б. Кадомцеву за внимание к работе и полезные советы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Чтобы получить выражение для возмущенной плотности с учетом эффектов ларморовского радиуса, удобно использовать метод интегри­рования по траекториям (см., например, [п])

О

= dtx*x (t, Г (0) (., ч). (Ш)

— 00

Здесь невозмущенная функция распределения /0 зависит от интегра­лов движения: полной энергии частицы s = -+- ея0 (х) и х-координаты

Vy

Ее ларморовского центра у] = х —. Значения г (/), y(t) берутся на

Траектории частицы, движущейся в скрещенных полях: магнитном и электрическом, направленных соответственно по OZ и ОХ. В дальней­шем нам понадобится только выражение для х-координаты частицы

С точностью до членов : x(t) = x(0)—-g - sin 9|*, где 9 (f) = 9 (0)—Qt—

Угол между осью ОХ и направлением скорости частицы.

Усредняя по времени х-компоненту уравнения движения, нетрудно получить выражение для средней скорости дрейфа заряженной частицы по OY

^ = W (&), = «»• <2П)

Здесь учтено приведенное выше выражение для х(/), а также то

1 т

Обстоятельство, ЧТО <ЛГ/, = 2Г * l-rT^њ^O.

С учетом (2П) выражение для срх (/) принимает следующий вид

Используя его, находим

<зп>

Если разброс по скоростям не слишком мал | V In л01, то

Выражение (ЗП) можно преобразовать к виду

= ТГ J dy ZT v) [~ 1“ — Vw ^ т)] 1 (4П)

Рл dfQ аfQ t а fQ

Здесь учтено равенство -+- вср0 .

В основном тексте мы, пользуясь тем, что /0(x, v) в нулевом при­ближении по ларморовскому радиусу не зависит от угла 0, вычислили в (4П) интеграл по </0, а для интеграла по dv применили следующую форму записи

00 00

I vdv'^F{v) = ^{F(v)/< где <f(«)/ = (^) ‘J vdv^F(v).

О о

В случае больцмановского распределения частиц в электрическом поле

Яю: »(Мх)

А(х< v) = n0(x)e - т, где па(х) = Ал(х) е т .

Последнее выражение принимает особенно простой вид

00 ШИ1

= ^ vdve lT F{v).

О

Для наших целей оказалось достаточным учесть влияние эффектов ларморовского радиуса на скорость невозмущенного дрейфа. Полный учет этих эффектов при наличии электрического поля можно найти в работах [*•п]. Однако уравнение желобковых колебаний, найденное в[8], неприменимо в окрестности особых точек, так как получено в пред­положении I и) — IW-