ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ВЛИЯНИЕ РЕЗОНАНСОВ МЕЖДУ ВОЛНОЙ И НЕВОЗМУЩЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПЛАЗМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЖЕЛОБКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ

А. В. Тимофеев

Институт Атомной Энергии им. И. в. Курчатова Академии Наук СССР, Москва

Рассмотрены желобковыс колебания плазмы с горячими ионами в неоднородном магнитном поле. Показано, что наличие резонансных точек, в которых фазовая скорость волны совпадает со скоростью ларморовского дрейфа ионов, может оказать стабилизирующее воздействие. В частности, при тщатель­ном подборе характеристик резонансов может быть застабилизирована наиболее опасная «1 мода» желобковых колебаний. Рассмотрены также резонансные точки второго типа, которые возникают только в присутствии электрического поля. В этих точках фазовая скорость волны совпадает со скоростью электрического дрейфа плазмы. Найдено, что при наличии таких резонансов собственные частоты желобковых колебаний с необходимостью становятся комплексными и, соответственно, сами колебания нарастающими либо затухающими.

1 Как известно в плазме, находящейся в не­однородном магнитном поле, возможна желобко - вая неустойчивость. Этот результат может быть получен в наиболее простом-гидродинамическом приближении. Однако на развитие желобковых колебаний в достаточно плотной квазинейтраль - ной плазме оказывают существенное влияние кинетические эффекты, связанные с конечной вели­чиной ларморовского радиуса ионов — гл. В работе 1 показано, что под влиянием этих эффектов желобковые колебания стабилизируются. Неустой­чивой остается лишь т. н. «1 мода» желобковых колебаний, электрическое поле которой постоянно внутри плазмы.

В настоящей работе рассматривается влияние резонансов между волной и невозмущенным дви­жением плазмы на желобковые колебания. Такие резонансы появляются при локальном совпадении фазовой скорости волны и гидродинамической ско­рости ионов, т. е. скорости их ларморовского дрейфа. При наличии электрического поля в резо­нансной точке фазовая скорость волны должна равняться сумме скоростей электрического и лар­моровского дрейфов. Нами найдено, что возму­щенные электрические поля в окрестности резо­нансных точек сильно искажаются, в частности нарушается пространственная однородность элек­трического поля «1 моды». В результате при тщательном подборе характеристик резонансов все моды желобковых колебаний могут быть застаби - лизированы.

Рассматриваемым резонансным точкам соот­ветствуют особые точки дифференциального урав­нения желобковых колебании. Для того, чтобы найти решение в окрестности этих точек в диффе­ренциальном уравнении оказывается необходимым учесть члены четвертого порядка малости по гл1г, здесь г — расстояние от оси. содержащие четвертую производную по радиусу. Следует отметить, что обычно при исследовании крупномасштабных же­лобковых колебании использовалось дифферен­циальное уравнение второго порядка, которое учитывало только квадратичные члены по г см. работы /, Г.

Особые точки подобного типа исследовались в работе 7 в связи с задачей о трансформации волн в плазме, а также в работе 6, где в частности рас­сматривалась устойчивость мелкомасштабных же­лобковых колебаний в квазиклассическом прибли­жении.

Если в плазме имеется электрическое поле, то возможно появление резонансных точек второго типа, в которых фазовая скорость волны совпадает со скоростью электрического дрейфа плазмы. Резо­нансы второго типа рассмотрены в приложении 2 на частном примере колебаний плазмы малой плот­ности при специальном распределении электри­ческого поля. Найдено, что при наличии таких резонансных точек собственные частоты с необхо­димостью становятся комплексными. Действи­тельно, заряженные частицы, находящиеся в окрест­ности резонансных точек второго типа, обменива­ются энергией с волной, поэтому амплитуда коле­баний, вообще говоря, не может оставаться по­стоянной. (Сходные эффекты рассматривались в работах 8—0.)

В приложении 1 дан вывод дифференциального уравнения желобковых колебаний в присутствии электрического поля методом интегрирования по траекториям, с помощью которого сравнительно просто учитываются члены высших порядков малости по >|/г, существенные в окрестности осо­бых точек. (Это уравнение иным способом было получено в работе 2.)

В приложении I, кроме того, получено выраже­ние для скорости дрейфа заряженных частиц в скрещенных полях при учете конечной величины ларморовского радиуса.

2 Мы рассмотрим влияние резонансов на же­лобковые колебания на простейшем примере плазмы, у которой повсюду кроме окрестности резонансных точек температура постоянна, а распределение плотности по радиусу Гауссовское

«о(О = ^«(-'а2)ехр( _ г2-а2)

Здесь Л’0 — полное число частиц на единицу длины установки. Устойчивость гауссовского распределе­ния плотности рассматривалась в работе /. В настоящем разделе для этого случая будет дан более детальный анализ граничных условий, что существенно для дальнейшего.

Если особые точки отсутствуют, то для описания желобковых колебаний можно использовать диф­ференциальное уравнение второго порядка, кото­рое получено при учете только членов второго порядка малости в разложении возмущенной функ­ции распределения ионов по малому параметру г л/г. Это уравнение удобно записать в следующем компактном виде, см. работу 2 и приложение 1 к настоящей работе

H - [-*-■5+КЧ'-0

ID

Здесь <Tiir - <Ti — возмущение потенциала, т — азимутальное волновое число, со — частота рас­сматриваемых колебаний, g = (MR)~x(d pjdn0) — эффективное ускорение силы тяжести, имитиру­ющей кривизну силовых линий магнитного ПОЛЯ. Обычно в экспериментальных установках кривизна силовых линий пропорциональна г (Лгъ constant), если при этом температура плазмы T0=d pjdn0 постоянна, то gfrxs constant. Величина S в ур. 1 равна: S = co(a> — т шл) г*п0. Заметим, что при гауссовском распределении плотности и постоян­ной температуре плазмы угловая скорость лармо - ровского дрейфа

- 1 DPo

Шл — М Q г nQ dr

Постоянна. Здесь Q = eHJMc — циклотронная частота ионов.

Введем в ур. 1 новую переменную 2 = (г/а)2 и новую неизвестную функцию y = ze~*l*y)(z). Для функции у при этом получаем следующее урав­нение

+ + + (2) где величина А равна

^ _ (т: д/г) — (и1 ш(ш — т oj. i)

Решение ур. 2, обращающееся в нуль в начале координат, имеет следующий вид [5]

У(:) = J/Mm (=) = Г(т+ 1) + t)

X Wk, im (г) e<t" - Я - г - i) (:)}

(3)

Здесь — — функция Уиттекера, к=— А.

При z> 1 (г>а) используя асимптотические выражения для функций Уиттекера, получаем

У=r<m + l){r-,(’=ii +i-)*-‘exp[| 4- + 1)тг i]

—<■•)(—г)~*exp (4)

Это выражение может быть получено непосред­ственно из ур. 1, которое при (и07мо) г>1 (в случае Гауссовского распределения это имеет место при гра) принимает следующий вид

• , ^ > , I * {1 I. А I ^ о /1 / —

V - г V — (wi - г т *•>-) г - ч у = 0 (о)

Оно имеет два независимых решения. Одно из них - медленно меняющееся, получается при учете двух последних членов в ур. 5. В этом случае член со второй производной в ур. 5 несущественен

Г

Vi * exp {- | (w2 - (o“j r2 dr} ((>)

Для того чтобы найти второе — быстро меня­

Ющееся решение необходимо, наоборот, учесть только два первых члена в ур. 5

Г

(7)

Более точное выражение для щ может быть полу­чено, например, из формулы

Посредством которой связываются независимые решения дифференциального уравнения, см. ра­боту 4, причем медленно меняющаяся функция щ, может быть вынесена из-под знака интегрирова­ния:

^ТгЯг (8)

Нетрудно видеть, что яри гауссовском распределе­нии плотности функция у>1 и хрг соответствуют первый и второй слагаемые в ур. 4.

Обычно в экспериментальных установках плазма окружается металлическим кожухом. Мы будем считать, что он расположен при г=г1. Поэтому в качестве граничного условия необходимо потребо­вать ^(гО^О, где г1 = (г1/а)2. Поскольку отношение второго слагаемого к первому в ур. 4 экспонен­циально растет с увеличением г, то граничное усло­вие может быть удовлетворено лишь в том случае, если множитель, стояший перед рг — Г~1($т + ^ — Л) достаточно мал. Используя формулу

Г(х) Г{1 — х)]= тс/зт тс х

Находим, что аргумент гамма-функции должен быть близок к нулю или отрицательному целому числу

~~~ь--- к = —п + х (|х<1)

При этом

+ +!-[*) ^ ( - 1)"х

Таким образом второе слагаемое в у р. 4 мало в основной части плазмы и становится существен­ным только вблизи границы.

Частоты собственных колебаний определяются условием Л т — 1 +-4 ^ — //, где т = 1, 2, .. .;

Л. = 0, 1, 2, ..., из которого получаем

1 (о т о. м|—т> — — +т2 ~ = О

Из ур. 9 следует, что при о)Лг>д/г у*/г).

Все колебания, кроме моды т— 1, и = 0 устойчивы, причем каждой моде соответствуют два значения частоты. Если условие устойчивости выполнено с большим запасом — ш. г^>д1г, то больший корень ур. 9 по порядку величины равен частоте лармо - ровского дрейфа — тш. и а меньший

При о)л->д! г неустойчивость возможна лишь в том случае, если в ур. 9 выпадает член линейный по со, т. е. для колебаний с п=0, т=1. Частота колебаний при этом равна со = ±( — д/г)*, ш V« Такое выражение для частоты желобковых коле­баний может быть получено в гидродинамическом приближении, когда не учитываются эффекты ко­нечного ларморовского радиуса. При кинетическом рассмотрении оно получается лишь в случае

1 моды, когда электрическое поле волны постоянно, и поэтому стабилизирующие эффекты конечного ларморовского радиуса выпадают, см. работы У, 2, 11.

3 Пусть теперь к гауссовскому распределению, начиная с некоторого значения радиуса г0$>а до­бавлена плазма малой плотности п01> п0 и давле­ния р01 < р0. Однако, если давление добавочной плазмы нарастает достаточно резко, величина ((1/(1 г) (р0 + р01) может в некоторой малой области с характерным размером порядка Ь

Ъ ~ (1/Р01) (Артюха

Изменить знак. Будем считать, что за точкой г0 давление добавочной плазмы плавно спадает, по­этому в силу условия р0>р01 его можно не учиты­вать. Пусть также температура добавочной плазмы много больше, чем температура основной плазмы. Это обстоятельство, как мы увидим ниже, позво­ляет существенно упростить рассмотрение.

Двум значениям частоты для каждой пары зна­чений тип соответствуют, вообще говоря, раз­личные собственные функции. Они совпадают лишь в частных случаях, как например, при гауссов­ском распределении плотности. Мы рассмотрим сначала низкочастотные колебания (ишп< тол л. Не­трудно показать, что и при наличии особых точек только такие колебания могут быть неустойчивы. Действительно, и в этом случае, при г<г0 решение выражается через функцию Мк^т(г), см. ур. 3, ко­торая конечна в нуле. Для определения собствен­ных индекса к(о). необходимо это решение про­должить через особые точки до границы плазмы. Однако каков бы ни был вид граничного условия и выражения для к, см. у р. 2, следует, что комплекс­ные значения частоты могут появиться лишь при £-^0, когда о) — —{ — д! г)К., ш < сал:.

При величина. V равна: — (ото>.1 г3п0.

Она обращается в нуль вместе с угловой скоростью ларморовского дрейфа

, _ I <П/>отР<и)

Л~'.ИГгп9 иг

Как известно, см. например 4, в точке, где коэффи­циент при старшей производной в уравнении вто­рого порядка равен нулю одно из двух независи­мых решений имеет особенность. Такое решение в данном случае представляется быстро меняющейся функцией у>,, см. ур. 7, 8. Из этих уравнений сле­дует, что порядок полюса функции у>, повышается при ее дифференцировании. Теперь уместно вспом­нить, что само ур. 1 было получено разложением в ряд по малому параметру г л/г и учитывает лишь два первые члена этого разложения, причем отбро­шенные члены содержат высшие производные по радиусу. Поэтому поблизости от особых точек ур. 1 необходимо дополнить членами четвертого порядка малости по гл/г, см. приложение 1

+ [-Ч-*+("'£+Иг-^]*“° а«»

Здесь

= ТЛ~о* г*^в “ т

_ 1 <1тт0

(°‘п 2 МОгр„ Аг

*

-Р — функция распределения ионов. При со < тем. и величина 51Т равна

^ — (3/43/ О2) г3 р0 О) т со. и

Поскольку температура добавочной плазмы выше температуры основной плазмы, точки, в которых величина 5, обращается в нуль, располо­жены в интервале между нулями 5^ Причем, если расстояние между нулями величины 5 мало, ^ в этой области можно считать постоянным. Побли­зости от особых точек оставим в ур. 10 два первых- наибольшнх члена и, воспользовавшись постоянст­вом проинтегрируем ур. 10 по г

Vя-Т-р-(х)Т] — С (11)

Здесь ;; = с! у/(1 г, х—г — г0, р2(х)= ^х)/^. Особые точки будем считать расположенными при х = ±х0, а функцию р-’(-г) симметричной функцией х. Она положительна в области между особыми точками, и отрицательна вне её. Из ур. 11 следует, что члены с четвертой производной существенны в 6 — окрест­ности особых точек, где дъ(гл2Ь)Ъ. 6 — характер­ный размер изменения величины »9 поблизости от особых точек.

Решения однородного ур. 4 при С = 0 нетрудно найти применяя метод ВКБ. Они имеют следую­щий асимптотический вид

Т7~1 еХ1>(~/(Lc) (*>*и)

*•

*•

4i(x)= fh(-x)=-^rsin([pdx + i“) (x0>x>>xv)

(12)

-jre jt0

-|yrexp(j >!d*)siii(Jpd* + (-x0>x)

X - ЛГ,

Формулы связи для выражений 12 можно полу­чить, рассматривая при х близком к ±х0 точные решения, выражающиеся через функции Бесселя индекса 1/3. Так для г}х вблизи х0 имеем (см. на­пример 5)

При

Х>х0

X X

''■<*>=(-.гН> 4е)1[_/‘(.1Р llx)

■*0 х9

X

+ /-l(j р dr)]

*0

При

Х< Х0

.гв дгв хв

4i(*> = (l^fp^)i[Ji(jp^) + '/-i(j;’dj:)] (13)

XX X

Решение неоднородного ур. 11 выражается через Т}х, Г]2 по формуле

-Г оо

(14)

— оо X

В ур. 14 пределы интегрирования выбираются из условия ограниченности функции г] на ^оо. Здесь и в дальнейшем под бесконечностью вблизи осо­бых точек понимаются расстояния порядка Ьрд. Функциональный определитель A — constant мо­жет быть найден, например, по асимптотическим выражениям для г]1г щ. Он равен

Х0

Пг Vi - ni »;s = - siii(ji»dr + i? r)

Во внешней области для 7} имеем следующее асимптотическое выражение: г)ъС/р'г(х). Из усло­вия сшивки с быстро меняющимся решением у2, см. ур. 7, определяем константу интегрирования С = Сг!$1. Во внутренней области решение осцилли­рует, причем длина волны уменьшается при уда­лении от особых точек. Мы будем считать, что во внутренней области выполнено неравенство r. rS<l s’i, следовательно pt-=S}Sl^ г. г2, и поэтому в ур. 11 можно ограничиться членами четвертого порядка малости относительно гл/г. Для нас су­щественна величина скачка функции у* при про­хождении через особые точки

Оо

Лц)2 = jr}dx

— оо

Во внутренней области преобладающий вклад в этот интеграл дает неосциллирующая часть функ­ции )], асимптоти ка которой, как нетрудно видеть также равна г]<ыС1рг(х). Из ур. 12 — 14 следует, что если величина рг во внутренней области доста­точно мала р*^х0/гл26, то скачок Агр2 определя­ется именно ею и по порядку величины равен

А у>2 ^ (@„хо(Ръ) ^ (^а/^о) хи (15)

Здесь £0 — характерное значение 5 при х*зх0, х — х0рЪ.

Уравнение 15 получено при условии примени­мости квазиклассического приближения, т. е. при рх0>1. Рассмотрение показывает, что в обратном предельном случае, когда рх0<£ 1, скачок функции у>2 меняет знак, становясь положительным при С3>0. Это как мы увидим ниже, нежелательно, следовательно, минимальное допустимое значение р по порядку величины равно х0-1.

Теперь вспомним, что неустойчивое решение имело место лишь в том случае, когда значения функции у>2 на границе плазмы существенно пре­вышали её значения внутри плазмы. Однако, если величина скачка Ащ на особых точках близка к значению интеграла

5

И если эти величины обратны по знаку, то значения функции у>2 на границе плазмы имеют тот же поря­док величины, что и внутри плазмы. Интеграл

Определяется областью вблизи границы плазмы, где величина — сотсолг3/пп минимальна, по порядку величины этот интеграл можно считать равным [СуЗ^)] а. Величину скачка оценим взяв оптимальное-минимальное значение при

Этом 5^ р2ъ 50 г. 12/х0- и Ау>2ъ С^х03/80га2. Усло­вие стабилизации находим, сравнивая Ащ с

0./-Г

В результате получаем

Н0(го)/>го(г1) ^ *03/>‘-12а (16)

Следует отметить, что для стабилизации требу­ется высокая степень точности взаимной ком­пенсации скачков функции рг на границе плазмы и в особых точках. Из ур. 4, 9 следует, что допусти­мая величина раскомпенсации должна быть не больше чем

УМг1)/Л 1

Укажем еще на одно ограничение, использован­ное при настоящем рассмотрении. Мы пренебрегли частотой со по сравнению стсол в выражении для 8=а)((о—т(л)л)г3п0. Между тем, если предполо­жить, что частота комплексна, то особые точки не возникают. Для того чтобы наше рассмотрение осталось справедливым члены с четвертой произ­водной в окрестности особой точки должны пре­вышать добавку, связанную с учетом частоты из в выражении для 5. Как следует из ур. 10 при этом должно выполняться условие здесь

Ь$ — добавка к £ равная Ыъ = глп^ог. Поскольку в

6 — окрестности особой точки, где существенна четвертая производная, Ь % (г. г 6)* а

8Х1Ь8 > г.г о>л(д{г)-* ъ га,-'1 {г В.)Ь

То наше рассмотрение останется верным при вы­полнении условия гл, в'3>(а*/гД) ЬЧ Для сравне­ния укажем, что условие «розенблютовской» ста­билизации [У] имеет вид гл2>аА/гН.

Рассмотрим теперь вкратце колебания, соот­ветствующие большему корню дисперсионного ур. 9. Поскольку частота колебаний в этом случае велика шъпиил > т(д/г)*, то член с силой тяжести в ур. 1 и других в первом приближении можно опустить. Собственные функции, соответствующие большему корню, не совпадают с рассмотренными нами, поскольку особые точки ур. 1, определяемые нулями величины 5 смешаются. Уравнения 1, 10 при мяатшл по существу определяют дрейфовые колебания, которые при к_[_Н как известно устой­чивы. Малую добавку к частоте дрейфовых коле­баний за счет силы тяжести можно найти из усло­вия ортогональности к первому приближению. Не­трудно видеть, что и она будет действительна.

В настоящем рассмотрении мы ограничились длинноволновыми колебаниями, считая т, пъ 1. При наличии двух близко расположенных особых точек возможна неустойчивость на колебаниях с т<£ 1. Однако, как показано в работе 6 и эти коле­бания стабилизируются при выполнении условия Гл2> (г/Д)* г*/т2.

Таким образом нами показано, что при наличии двух близко расположенных резонансных точек, в которых фазовая скорость волны равна скорости ларморовского дрейфа ионов возникает стабили­зирующий эффект. В результате желобковые коле­бания квазинейтральной плазмы можно сделать устойчивыми. При этом в окрестности точек диф­ференциального уравнения, соответствующих ре­зонансным точкам, необходим учет членов с чет­вертой производной по радиусу, которыми обычно пренебрегают в силу малости величины (гл^/уО сМу>/с! г*.

Автор благодарен Б. Б. Кадомцеву за внимание к работе и полезные советы и С. С. Моисееву за обсуждение работы.

Приложение 1