ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

О ВЧ СТАБИЛИЗАЦИИ ЖЕЛОБКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Взаимодействие низкочастотных желобковых колебании и высоко­частотных учитывается через изменение частоты и)вч при развитии же­лобковых возмущений. В силу постоянства адиабатического инвариан­та ВЧ колебаний И'вч/швч вариации (оВч вызывают изменения 1Увч.

Учет этого обстоятельства позволяет получить простые критерии стаби­лизации желобковой неустойчивости. Исследуется модель плазмы с резкой границей. Рассмотрены ВЧ колебания, имеющие вид: собствен­ных колебаний вакуумного промежутка между плазмой и стенкой ка­меры; колебаний, поддерживаемых ВЧ антенной; собственных поверх­ностных мод, локализованных у резкой границы плазмы.

Введение

Успешные эксперименты по стабилизации желобковой неустойчивости ВЧ полями на установке РЬаес1ги8 [1] стимулировали теоретическое ис­следование вопроса о влиянии ВЧ колебаний на НЧ колебания плазмы. Было выяснепо, что такое влияние осуществляется посредством: 1) понде - ромоторной силы, включающей в себя как силу, непосредственно действую­щую со стороны ВЧ поля на плазму, так и градиент добавочного давления, возникающего в плазме под действием ВЧ поля; 2) комбинационных по­лей, частота п волновой вектор которых определяются соотношениями а)±=а)=ьО, /г±=А:±д, где со, /с — частота и волновой вектор ВЧ поля, £2, д — частота и волновой вектор НЧ колебаний. Оба эти эффекта являются нели­нейными, и их учет требует довольно громоздких выкладок [2—5]. что мо­жет приводить к противоречивым результатам при анализе конкретных ситуаций (см., например. [6, 7]).

В данной работе показано, что задача о влиянии ВЧ полей на НЧ коле­бания плазмы может быть решена в рамках Линейной Теории. Настоящий анализ основывается на том обстоятельстве, что в силу существенного раз­личия частот ВЧ и НЧ колебаний при эволюции последних должен сохра­няться адиабатический инвариант, характеризующий ВЧ степень свободы. В том случае, когда амплитуда ВЧ колебаний не слишком велика (они Мо­Гут считаться линейными), адиабатический инвариант равен И^/со, где

IV — энергия ВЧ колебаний, ои — их частота. Если развитие НЧ возмуще­ний вызывает изменение частоты ВЧ колебаний на бо). то их энергия ме­няется на &№=(£>Со/со) •УР. Плазма будет устойчивой, если энергия, кото­рая могла бы выделиться при раскачке желобковой неустойчивости ДИ' окажется меньше 61Г. Использование этого критерия позволяет автомати­чески учесть оба аспекта воздействия ВЧ колебаний на НЧ, указанные выше. Хотя при расчете бсо необходимо принимать во внимание искажение профиля плотности плазмы, производимое НЧ колебаниями, во многих случаях задача оказывается значительно проще непосредственного анали­за нелинейного взаимодействия НЧ и ВЧ колебаний, как это делалось ра­нее.

Значительное упрощение задачи, рассматриваемой в настоящей работе, связано также с предположением о резкой границе плазмы. В разд. 1 счи­тается, что ВЧ колебания представляют собой собственные колебания ва­

Куумного промежутка между плазмой и стенкой камеры. Найдено, что для стабилизации желобковой неустойчивости ВЧ давление должно по поряд­ку величины превышать 10ZP0LkLB, Где Р0 — давление плазмы, Ьв — харак­терный масштаб изменения магнитного поля, К — волновое число ВЧ ко­лебаний. Стабилизация существенно облегчается в том случае, когда коле­бания с комбинационным значенпем волнового числа по OY (Kvt±=Kv±Q) Также близки к собственным колебаниям вакуумного промежутка. Здесь У — координата, вдоль которой граница плазмы модулирована желобковы - ми колебаниями, Q — волновое число модуляции. Подобное резонансное усиление воздействия ВЧ колебаний характерно для того случая, когда оно определяется комбинационными эффектами [3—5].

В разд. 2 настоящей работы считается, что ВЧ колебания поддержива­ются антенной. При анализе таких колебаний вакуумный промежуток рас­сматривается как элемент ВЧ колебательного контура. В этом случае для стабилизации желобковой неустойчивости давление ВЧ поля по порядку величины должно превышать PQl±/LB, где 1± — характерный поперечный размер системы. Такой же вид имеет условие стабилизации, полученное В [6].

В плазме с резкой границей существуют ВЧ поверхностные моды. По­верхностные моды локализованы у границы плазмы, и поэтому с их по­мощью удобно воздействовать на ее колебания. К сожалению, оказывает­ся, что энергия поверхностных мод, рассмотренных в разд. 3 настоящей ра­боты, уменьшается при возникновении желобковых возмущений. Это озна­чает, что такие моды непригодны для стабилизации желобковой неустой­чивости, более того, их возбуждение может привести к дестабилизации ус­тойчивой границы плазмы.

1. Собственные колебания вакуумного промежутка (граница плазмы — стенка камеры)

Реальные системы, в которых проводятся эксперименты по ВЧ стабили­зации желобковой неустойчивости, аксиально-симметричны. Для упроще­ния анализа заменим цилиндрическую геометрию плоской. Будем считать, что стенка вакуумной камеры и граница плазмы расположены при х=0 и Х=1 соответственно. В желобковых возмущениях плазма смещается по ОХ, причем амплитуда смещения зависит от координаты У. Внешнее магнитное поле считается направленным по OZ. Предположим, что в вакуумном про­межутке возбуждены ВЧ колебания с электрическим вектором, параллель­ным OZ: Ег(т, T)=E(X, у)ехр(—Mt). Амплитуда электрического поля удов­летворяет уравнению

Еах"+Ет"+(<*1с)гЕ=Ъ. (1)

Будем считать, что частота ВЧ колебаний достаточно велика, и они не проникают в глубь плазмы. Соответственно для электрического поля при­мем нулевые граничные условия как на поверхности камеры, так и на гра­нице плазмы.

Рассчитаем изменение частоты собственных колебаний при модуляции границы плазмы по гармоническому закону (х=/+а Cos Qy). При плоской границе плазмы (а=0) собственные функции уравнения (1) имеют вид E(T)=Sin(Kxx)Exp(Ikvy), Где &*== ((ои/с)2—К/)ч'=ппЦ. По координате У при­мем периодические граничные условия Е(х, У)=Е(х, Y+2Lv), Поэтому Ку= =SnlLy, Q=RnlLy (S, Г — целые числа). Если а^О, то собственные функции представляют собой бесконечные ряды вида

Оо

Е (г)e Xi А"»sin (**.«*) ехР (* (К+Щ) у) 1

Тле кXtm—(((J}/c)г—(кv--mq)г)ъ. Считая амплитуду смещения границы достаточно малой (а<1), оставим в этой сумме слагаемые с номерами т=* =0, =Ы. Учитывая в граничном условии Е(х, У) |х»*+а со» «=0 слагаемые,

Пропорциональные Exp(Ikvy), Exp(I(Awdtg)Y), Получаем систему уравнений (—L)T,,i4e6Д«/+ (а/2) (AtkX., Cos(fcIf XL)+A-kXf cos(fcx, -iL)) ^O,

(a/2) (-i)mA0kx+A±l sin(/^ ±iO=0i

Где 6A*=O)6A)/C:ЈAx, 6O)=(D—A)n, Л„, «п, Ку=с((пп11)г+ку[88])'1г.

Из (2) Получаем

Ба)=а2А)/4/Л^х2(Ах,! Ctg(/Cx, Il)+kXt _t ctg(fc, f _,Z)). (3>

Условие стабилизации можно найти, учитывая соотношения W7A)=const И (П1.2) (см. Введение, а также Приложение 1). Имеем

Po/Lb <^j—(l+2/Nz)Nx2(kx, lctg(kxAl)+kx-ictg(kx-ll)), (4)

Ь4л

Где LB — характерный масштаб изменения магнитного поля, В~ — ампли­туда ВЧ поля, NX4 „=&*, „с/со, N2=NX+Nyz.

Если параметры комбинационных колебаний с Kt, ±I Существенно от­личны от собственных, то условие стабилизации (4) по порядку величины можно представить в виде

Р0<Ю~2В^2кЬв.

Стабилизирующее воздействие ВЧ поля неограниченно возрастает,, если одна из величин /с*, ±I Приближается к собственному значению крае­вой задачи. Предположим, например, что KXt Г»п п/1. Учтем, что частота собственных колебаний вакуумного промежутка, соответствующая набору волновых чисел (п Ky+Q), Также зависит от а. Опустим в правой части (3) второе слагаемое, а в первом заменим Ctg(&X, Il) На (kXt ,Z—П'л+бЛ*, 11)~ ГДе Цfcx. i=ь)ц(ь/czkXf ,, 6Ь> = 0)—0)n, Кш.

Модифицированное дисперсионное соотношение принимает вид

Q4-Я(fcXi Л) (К TL-Nn)-(AlkxkXt ,/2)2=0, (5)

Где Q=coЦaЙ2/сг.

При а=0 (5) позволяет определить значения двух близко расположен­ных собственных частот вакуумного промежутка с гладкой границей плаз­мы о)п, Ку (Q=0) HO)N',*»+Q (Q=—KXt J-(K^ Xl—Nn)). Если A»^_1|A*, TL—N’N, То из (5) Находим 6Co=±AKxkxt 1С2/2/ш. Линейная зависимость бо) от ампли­туды возмущения, как известно, характерна для случая совпадающих час­тот (вырождение спектра). Одно из полученных решений убывает с ростом

А, что свидетельствует о дестабилизирующем воздействии ВЧ поля.

Предположим, что амплитуда возмущений, которые предполагается стабилизировать, не превышает АТах. Если |соп, Co«^+Q|<Ama*&«Fc*, IC2/ /2/со, то из-за неконтролируемых смещений границы при возбуждении ВЧ поля можно попасть на ветку колебаний, дестабилизирующую границу плазмы. Поэтому при выборе колебаний, используемых для стабилизации, их частоту, следует подобрать таким образом, чтобы выполнялось условие Kx~LKXt Il—N'N>Amax- Соответственно величина 6A)ma*~a2C2Ax/aT„a*Z2Ax. t, И при оптимальном подборе частоты условие стабилизации принимает приближенный вид

PJLB<BJIAna Max•

Данное условие может быть очень мягким. Однако его практическое ис­пользование затрудняется как неопределенностью в значениях амплитуд реальных флуктуаций, так и необходимостью чрезвычайно точного подбора параметров плазмы.

Вазложим поле и ток в ряд Фурье по ОУу 5-я компонента Фурье элек­трического поля удовлетворяет уравнению

Е,',!и+Е,((и)/с)2—ку2)— — ^ ^ 16 (х—а). (6)

При плоской границе плазмы решение (6) пропорционально функции Грина

X, sh(x,0 ' Sh(x^r)sh(x,(Z—A)) (X<a)

Где X,E((Ns/Ly)2— (со/C)2)

Предположим теперь, что воздействие желобковых колебаний привело к гофрировке границы плазмы подрайону X—L+A Cos (Nq У ILv+(P). Считая амплитуду гофрировки достаточно малой, учтем лишь составляющие элек­трического поля, пропорциональные Exp (InsylLv), Exp (In(S±Q)Y/Lv). В об­ласти (1>х>а) имеем

(л Sh(X.A)Sh(X.(I-X))

£. — I Л ---------------- —— ----------- + В, Sh (и, х)) Exp (Msi//Ly) +

X* SIlX, Јj

+ А,Л Sh (x, i+x)exp (in (S+q)y/Lv)+Aa- sh (x,,_x)exp (in (s—q)y/LV),

Где х,,±= ((п/Ьу)2(S±Q) 2- ((д/с)2)1,2.

Из условия равенства нулю электрического поля на границе плазмы полу­чаем

А аА ехр(±1Ф)эЬ(х, а)

'•±= 2вЬ(х..±0Л(хЛ ’

„ А 1А. , . . зЬ(х, а)

В, --------- т-[х,>+ с1Ь(хл>+/)+х,,_ сИЦх,,-/)]—г-—

4 эЬ (х,/)

Выражения (7), (8) позволяют определить импеданс проводника

••

£(о))*=£7//, где И=Ьг ^]|£, — разность потенциалов, приложенная

«•*—<»

К проводнику, £* — его длина.

Действительная часть частоты желобковых колебаний в лабораторной системе отсчета отлична от нуля (ф^О). Поэтому составляющие импедан­са, пропорциональные ехр(:Ыф), после усреднения по времени обращают­ся в нуль. В результате получаем

Г=г*+ьг,

(м. а

(9)

LyC2 Х, Sh (X,Z)

О»

62 — ~7~Tr 5И(~Т7^7Г) (».,+ Cth (х.,+0 +х,,_ Cth (х, _I)). (10)

Ic LVВЪМ)'

Предположим, что ВЧ поле поддерживается колебательным контуром, частью которого является рассматриваемый проводник. Добротность кон­тура будем полагать достаточно высокой, так что декремент затухания ВЧ колебаний намного меньше характерной частоты желобковых колебаний. В этом случае при анализе взаимодействия ВЧ и НЧ колебаний система может считаться консервативной. ВЧ энергия, запасенная в контуре, дает-

Рис. 1. Линин уровня величины Г на плоскости переменных (й>//с, ЯУЬу) при а//=0,5

Рис. 2. Положение линии уровня Г=-0, ограничивающей область параметров, в кото­рой возможна стабилизация, при различном положении антенны: 1 — а//=0,75, 2 —

А//=0,5, 3 - А11=0,25

Ся выражением (см., например, [8))

2

Где Ъ! — полный импеданс всей цепи, включая ВЧ антенну.

Частота собственных колебаний контура определяется условием 2/(о))=0, из которого находим изменение частоты при возникновении же - лобковых колебаний. Учитывая также условие постоянства адиабатическо­го инварианта, определяем изменение энергии в контуре

Ъг 1г

(I)

Условие стабилизации желобковой неустойчивости имеет вид

162Г1 /2 Агр0

Будем считать д^1, Ьу&(1—а). В этом случае основной вклад в суммы по 5 в (9), (10) дают слагаемые с |$|<£„/(/—а), и выражение для |б2| удобно представить в виде

Огй)£,Г * * 4я Сг(1-ау'

Где величина Г довольно слабо зависит от параметров а//, <о//с, д, ЦЬЧ (рис. 1, 2). Максимальная величина ВЧ магнитного поля на поверхности плазмы В~ связана с током соотношением 1~с(1—а)В„. Учитывая эти оценки, приводим условие стабилизации к виду

В -*г1Ьу>р01Ьв-

Если данный критерий использовать для реальных аксиально-симмет­ричных систем, то Ьу/п следует заменить на радиус системы — характер­ный масштаб изменения переменного магнитного поля в отсутствие плаз­мы. При этом условие устойчивости означает, что градиент ВЧ давления превышает «выталкивающую силу», действующую на плазму в неоднород­ном магнитном поле. Обычно радиус системы мал по сравнению с харак­терным масштабом изменения магнитного поля, поэтому и ВЧ давление, необходимое для стабилизации, оказывается малым по сравнению с давле­нием плазмы., Это обстоятельство позволяет не учитывать влияние ВЧ поля на равновесное состояние плазмы.

Наиболее существенным эффектом, обусловленным аксиальной симмет­рией реальных систем, является возможность раскачки так называемой первой моды желобковых колебаний. Этой моде отвечает жесткое смеще­ние плазменного шнура без деформации его поверхности. При описании воздействия ВЧ поля на первую моду усреднение по фазе <р оказывается неправомерным. Действительно, можно подумать, что к усреднению долж­но приводить вращение плазмы в самосогласованном электрическом поле. Однако ось вращения совпадает с осью плазменного шнура. Поскольку она смещается вместе с шнуром, то вращение не изменяет значения фазы <р. В результате влияние*ВЧ поля на устойчивость будет определяться эф­фектами первого порядка по смещению а, причем знак радиальной силы, действующей на смещенный шнур, зависит от значения фазы <р. Для того чтобы при всех значениях ф получить силу, возвращающую шнур, необхо­димо, как и в случае постоянного тока, использовать достаточно большое количество проводников (палки Иоффе).

3. Взаимодействие желобковых колебаний с поверхностными модами

Рассмотрим непотенциальные поверхностные моды с частотой порядка ионной циклотронной ах. Как следует из [ 9], уравнение, описывающее та­кие колебания, можно представить в виде

7х(<ГУ±В)+і(Ь[7В^])+В=0.

Здесь В=В(х, Y)exJ)(—шt+iN]]z) — г-компонента возмущенного магнитно­го поля, Ь=В0/£0, ^=(е-А^112)//), /)=(е-^,2)2-^, е=1+соР<7

/(о)<2—<о2), G=(дp^г(д|(Oi((й^г—(i)г), координаты х, У, г обезразмерены посред­ством множителя о>/с. Как и выше, будем считать, что в отсутствие желоб­ковых колебаний плазма имеет резкую границу и занимает область х<0. Воздействие желобковых колебаний приводит к гофрировке границы плазмы по закону х=азт(ду). Считая амплитуду гофрировки малой по сравнению с характерным масштабом изменения возмущенного магнитно­го поля, выражение для В(х, У) выберем в виде

В(хуу) = (В(0) (х) +а(Я(1>+(х)е^+В{ 1)~ (х) е~^) + +а ГВ{г)(х))ешуу.

Функции В{к) (х) (&=0, 1, 2) различны по разные стороны от границы плазмы. Их сшивка осуществляется с помощью условий, имеющих смысл условий непрерывности г-компоненты возмущенного магнитного поля и тангенциальной составляющей электрического поля

Условия сшивки дают

ВГ.-вр =я<0),

В"»=хех&ех+*ы&ы+и#=0.

Последнее соотношение является дисперсионным, определяющим за­висимость частоты поверхностных мод от Л’ц. В предельном случае

Му^&ех'хп дисперсионное соотношение принимает простой вид

Е—2Л^,2=0.

13 следующем (первом) приближении по малому параметру А получаем

(1) + 1*а ±д(^е*-^<п)+х, я(ч^в-х1я±)^,,п+х<?,(хе,±-х, х)^,«

О« ==Ь—1-х« +

2 I ** $ (МУ±д)+&^Кхп±+&'хН>'

(1)± ,1а, ,

В%п =±.—Кы+Кех)+Вех .

9

Выкладки второго приближения по А чрезвычайно громоздки. Однако оказывается, что в предельном случае Ny'>q|Ly дисперсионное соотноше­ние, учитывающее поправки на гофрировку, может быть представлено в компактном виде

0=0'°' - — + —) = 0.

2 'хех х, п'

При выполнении условия Nyг^>&,x'in поправка к частоте, обусловленная влиянием гофрировки границы, дается выражением

Ба) _ /«д2#||2 со+о),

О) 'Ny' 2 а)+2А),

Как и в предыдущих разделах, будем считать, что частота поверхно­стных колебаний значительно превышает частоту желобковых колебаний. Следовательно, при эволюции последних должен сохраняться адиабати­ческий инвариант 1¥/<о, где IV — энергия поверхностных колебаний (см. Приложение 2). В силу этого соотношения отрицательный знак ба) (см. (11)) свидетельствует о дестабилизирующем воздействии поверхностных колебаний на желобковые.

Авторы благодарны Д. Д. Рютову за обсуждение работы.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Энергия желобковых колебаний. Рассчитаем изменение энергии плазмы, вызван­ное смещением ее границы в возмущениях жедобкового типа. Будем считать, что давление плазмы Р0 мало по сравнению с давлением магнитного поля, и соответ­ственно рассмотрим потенциальные колебания. Изменение энергии плазмы при ее смещениях дается следующим выражением:

= — [ *(*У)р0йпг*, (П1.1)

2

Где £—(/с/Во2) [В0УФ], ф — электрический потенциал. Учитывая соотношение

= - В0-1{ЪЧ)Во, преобразуем (П1.1) к виду

— *г-1-(^)Во(^)ро.

2 Во

Если давление плазмы постоянно при х<0, то изменение энергии, приходящееся на единицу площади поверхности плазмы, дается выражением

1 ЙВ0 I

=------------------------------------- РоА2, (П1.2)

2В0 йх I х„о

Где А — амплитуда смещения границы.

Энергия поверхностных мод. Энергию поверхностных мод можно рассчитать, вы­числив, например, работу внешней силы, затрачиваемую на их возбуждение. Коде - банж плазмы, плотность которой зависит только от координаты х, описываются уравнением [9]

D D / to П 4л 1

— # NJ8+X У$х'+ ( — ) В rotz/y, cT» (П2.1)

Dx Dx У V с / J С iV^-1

Где /*, ст — у-компонента плотности стороннего тока, В — z-компонента магнитного поля колебаний.

Помножив уравнение (П2.1) на В* и произведя ряд простых преобразований, получаем

DxjyEv = — ) l*lXV

4ло) с / /

Здесь учтено соотношение (—ic/a>) (1—NV2)-XBX W — «погонная» плотность энер­

Гии. Заменяя в последнем выражении ш на Ы+Idldt и отделяя действительную часть, подучаем

W~~R ) (1в>'12+лг»21«12)+л'Х.|в|2+4-1в1;1У