ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

О ЦИКЛОТРОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ

А. Б. Михайловский, А. В. Тимофеев

Исследована устойчивость неоднородной плазмы в однородном внешнем магнитном поле при частотах, кратных ионной циклотронной частоте. Показано, что возмущения с длиной волны меньшей ларморовского радиуса ионов могут быть неустойчивы.

1. В настоящей работе исследуются продольные (rot Е ^ 0) колебания неоднородной плазмы низкого давления ф = 8лp/Hl <^ 1) при частотах, кратных ионной циклотронной частоте (со ^ тоа). Такие колебания могут быть неустойчивы. Механизм рассматриваемой нами неустойчивости анало­гичен механизму неустойчивостей, подробно исследованных рядом авто­ров I1'3] для случая низких частот (w о)сх) и названных там «дрейфовыми неустойч ивостями».

Нами показано, что неустойчивыми могут быть и колебания с частотой вблизи о ^ п<йы (п Ф 0). Такие колебания являются коротковолновыми, их длина волны меньше ларморовского радиуса ионов.

2. Дисперсионное уравнение дГтя продольных колебаний неоднородной плазмы низкого давления имеет вид I2-4]

{Ыг)е-* +^(1 + i УлхЛ’п)] т

+ /„ (,)*.. V! (1 _ JSL) = 0. (1)

1 По °У ’ ГП(йс 2(ЛС/ k2VT ) V '

Здесь п0 = п0 (у) — плотноСть плАзмы, Т =Т (у) — температура каждой компоненты плазмы, vT = У 2Tlm, г = k2x р2, р = У Tiты] — средний лар - моровский радиус, /„(z)— функция Бесселя мнимого аргумента, к = ~{kx, 0, kz)—волновой вектор, т, е—масса и заряд, о)с = еН0/тс — цикло­тронная частота каждого сорта частиц, Н0 = (0, 0, Н0) — внешнее магнитное поле, IVn = W (хп) — интеграл вероятности от комплексного аргумента:

Х

W (х) = Г*{ + е'! «й); Л-„= (Ш —ЯОсЦгОг.

О

Суммирование в уравнении (1) производится по ионам и электронам и по всем целочисленным п. Предполагается, что зависимость возмущений от координат и времени выбрана в виде

Ехр (— Ш - j - ikxx + ikzz).

В дальнейшем будем считать распределение температур ионов и электро­нов однородным, дТ/ду = 0. Обобщение последующих результатов на слу­

Чай дТ/ду Ф 0 не представляет труда. Не существенный для дальнейшего вклад вторых производных плотности и температуры в уравнении (1) опу­щен.

Уравнение (1) по существу является обобщением дисперсионного урав­нения работы Розенблюта, Кролла и Ростокера Iе] на случай кгф 0 (а также

Ф 0). Если в (1) положить кг — 0, уТ = 0, то получающееся в резуль­тате уравнение, однако, не совпадает с [6], отличаясь членами, не сущест­венными как для целей упомянутой работы Iе 1, так и для нашего дальнейше­го рассмотрения. По-видимому, в [в1 указанные члены опущены, хотя это не оговорено.

3. Рассмотрим сначала раскачку циклотронных гармоник ионами. Бу­дем считать для простоты, что Те = 0 (7- Ф 0) и что волна распространяется поперек магнитного поля. При г, 1 из уравнения (1) получим

TOC o "1-5" h z = (2)

/И| Ч 0) у 2лг1 — '

$ = Г|/4яв2л0, УдР = — х7Ут4о)а-, х = гц1 йп^йу.

Если о не слишком близко к п(оа, то в уравнении (2) можно опустить

Правую часть. Тогда получаем решение для дрейфовой волны:

А>+ = ЬУ [ 1 + кг (<$ + те рУт.) ]. (3)

Если частота о>+ мала по сравнению с циклотронной частотой, то в урав­

Нении (2) можно опустить члены с и£р, и тогда из дисперсионного уравнения получим циклотронную ветвь однородной плазмы [5]

(4)

Таким образом, уравнение (2) описывает «пересечение» двух ветвей: дрейфовой и циклотронной с номером п. Условие такого «пересечения» име­ет ВИД у

Г V1 ..о 4лАю

Ф

Волновые числа, соответствующие «пересечению», примерно равны

К ~ кп = -(<£ + те Р///П,)-1 {Удр/гм)с/ ± Ци^р/по)С1)2 — 4 (^? + тер^/т,.)]"*}. (6)

Вблизи точки пересечения ветвей частота колебаний оказывается комплекс­ной, если

Р>

Достаточное условие неустойчивости определяется уравнением (5), в ко­тором /1=1. Для более плотной плазмы ОНО имеет вид

TOC o "1-5" h z хр4. >2 (те1т^!г. (8)

Разреженная плазма (о>^ может быть неустойчива лишь при еще

Более сильной неоднородности:

Х о. > 2ул/с, V-A = НУ4пп0т^. (9)

Инкременты раскачивающихся волн уже при градиентах, в несколько

Раз превосходящих критические, (8) или (9), по порядку величины равны

7= 1т оз — (те! т1)1!чаы, (10)

а интервалы частот ARe о>, где у =f=0, составляют

ARe о — (те/гП{)Ч*(йа. (И)

4. Рассмотрим теперь случай косого (k2 ф 0) по отношению к магнитно­му полю распространения волны. Если предположить, что |а> — п©Л-|^> ^>k2Vn и что |а> — по)« | то дисперсионное уравнение (1) можно

Привести к следующему виду:

TOC o "1-5" h z, , 4яе*Чо ( 1 , 1 , А „« ч ч,

1 Н----- W~Tt + 7~+ Текг vTt ~ kxV™) х

X 'о (*) - гУ-С) (Ш - = °- (12)

При получении (12) мы считали также, что о>св/£гаГе 1.

Разрешая (12) относительно Д = о> —о)а-, получаем

Д = [I + - р. + + Ш_ х П. Л

/2лг,. L ' ^ 4г«Ге т /*

Х ^ (*тУ 7» «'** - Мр)Г - (13)

Условие Л <дС1- выполняется лишь при zt >> 1, поэтому в уравнении (13) мы заменили /п fa) его асимптотическим выражением.

Из уравнения (13) видно, что если волна идет в сторону дрейфа электро­нов, т. е. кх&лр/(й > 0, то для ее раскачки необходимо, чтобы кх&Др/(и > 1; волна, идущая в сторону дрейфа ионов, раскачивается, если kxv^p/(n > 1. Эти условия удобно переписать в следующем виде:

Х р > п (шеТi! mfTе)'Ч VTe, kxxf Iю > 0,

Л - • О4)

Хр,- fi {meTei tn[TI) 2/кхх?^Ы ^> 0.

Таким образом, в отличие от неустойчивости, рассмотренной в [21, где считалось, что © o)ct и где было показано, что неустойчивыми являются лишь волны, распространяющиеся в сторону дрейфа электронов, в нашем случае (при | о — AiG)ct | ©„•) неустойчивы волны, распространяющиеся

Как в сторону дрейфа электронов, так и в сторону дрейфа ионов.

Авторы благодарны Б. Б. Кадомцеву и В. Д. Шафранову за внимание к работе и полезные советы.

Поступила в редакцию 6 июня 1962 г.