ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

А. В. ТИМОФЕЕВ

Институт Атомной Энергии им. И. В. Курчатова Академии Наук СССР, Москва

В работе в квазилинейном приближении рассмотрена конвективная неустойчивость разреженной плазмы, наступающая, когда плотность плазмы превышает определенное критическое значение. Показано, что уравнения, определяющие частоту и амплитуду нелинейных колебаний, допускают введение эффективной потенциальной энергии. Причем сами колебания оказываются в определенном смысле эквивалентными колебаниям нелинейного, двумерного, аксиально-симметричного осциллятора (ротатора), движущегося без трения. Учет нелинейных эффектов позволил существенно уточнить кри­терий неустойчивости, найденный в линейном приближении. Показано, что устойчивость плазмы по отношению к колебаниям с конечной амплитудой зависит от величины с^п/сЦг*)*, здесь п — плотность плазмы, г — расстояние от оси системы.

Введение

В настоящей работе рассматриваются колебания плазмы низкого давления, когда /3 = 8 Tzp/H2<4.1 и, более ТОГО, 4тг Q С*1Нг<^ 1, где Q — плотность плазмы, р — ее давление. Устойчивость такой сильно разреженной плазмы, помещенной в не­однородное магнитное поле, в линейном прибли­жении была рассмотрена в работе 7. В этой работе показано, что при плотности числа частиц меньше критической, л< Пс, в плазме возможны два типа колебаний с различными частотами. Критическая плотность определяется из условия r^=aRt здесь U — дебаевский радиус ионов, а — характерный размер, на котором меняется плотность плазмы, R — средний радиус кривизны магнитных силовых линий. При плотности больше критической ста­ционарные колебания бесконечно малой ампли­туды невозможны — плазма становится неустой­чивой.

Нами в квазилинейном приближении рассмо­трены колебания малой, но конечной амплитуды при плотности плазмы, близкой к критической |п— пс<^пе. Показано, что спектр возможных колебаний плазмы несравненно богаче найденного в линейном приближении. А именно, при плот­ности плазмы больше критической возможны стационарные колебания, с другой стороны, при плотности меньше критической могут существо­вать колебания, амплитуда которых меняется со временем. Показано также, что при учете нелиней­ных эффектов поведение плазмы, в частности ее устойчивость, определяется не только величиной плотности я, но зависит также и от производной d*n/d(r*)3, где г — расстояние от оси системы. Оказывается, что колебания плазмы эквивалентны колебаниям двумерного, аксиально-симметрич - ного, нелинейного осциллятора, движущегося без трения.

1 Основные уравнения

Предполагая, что неоднородность магнитного поля невелика, будем приближенно считать его однородным (см. работы 7, 2, 5, 4), а малую не­однородность учтем, вводя эффективную силу тяжести Мд,= Т/R, действующую на ионы. Здесь R — средний радиус кривизны магнитных силовых линий, Т — температура ионов. Отметим, что в большинстве установок по адиабатическому удер­жанию плазмы используется только приосевая область, где приближенно можно считать г Л-const.

Условие 4tzqc*IH*<^ позволяет пренебречь инерцией в уравнении движения для ионов (см. работы 7, 2, 4). В этом приближении можно счи­тать, что в электрическом поле как электроны, так и ионы дрейфуют со скоростью У =(с/Я*) Н хУ7<р. При рассмотрении колебаний желобкового типа потенциал <р естественно считать постоянным вдоль магнитного поля (см. работы 1—4). При этих предположениях уравнения непрерывности для электронов и ионов принимают следующий вид

^ + -gr-V{n«HxV9>}=0 (1)

1£-<»>-Ж + -£гЧ{[11]ХЧ'г} = 0 (2)

Здесь учтено, что под действием эффективной силы тяжести ионы дрейфуют по азимуту в с угловой скоростью — oj0=gJrQi=(TlMQi)(Rr)~1 = const, Qi=eHtMc — циклотронная частота ионов.

Перейдем в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью — ш0/2. Это позволит запи­сать уравнения непрерывности в более симметрич­ном виде

~т(4г + ^1в)”' =-/V(3)

"Г(it -^le)m = ~L*m <4)

Где

Г > _ W_Јr _£_ _ ъ

9 г сг св £6 сг)

Потенциал (f, входящий в уравнения непрерыв­ности, определяется из уравнения Пуассона

А<р = 4-е{пе — щ) (5)

При квазилинейном рассмотрении помимо ли­нейных членов удерживаются также члены более высокого порядка малости в ур. 5,6. Очевидно, что их учет существенен там, где линейная теория предсказывает границу области неустойчивости, т. е. при плотности, близкой к критической. 2 Линейное приближение Отбросив в ур. 7 нелинейные члены, для потен­циала получаем следующее уравнение
(6)
1 2 Я д
<Ря
4 7Т в
P+4-k
P+4 + r — к
(7)
Я / а. шв а н с С Ur, + Т~дв)Пс4- С let, п"
S+m=q
+ 2
Пет	(8)
I+m-4
(»)

(14)
(20)
(22)
1 Я	Й дг л Л dn 2------ Л <рг + 2 ш
= ~2~іІв ^Пе1 + Лі1)
(17)
Из ур. 16 нетрудно найти, что сумма л€1 + пи равна нулю. При этом из ур. 17 следует, что <рг = 0. Таким образом в критической точке с точностью до членов второго порядка малости вторая гар­моника потенциала не возбуждается. При к= 3 ур. 15 принимает следующий вид

Последние два члена в ур. 22 содержат лишь вторую гармонику по 0 и поэтому не дают вклада в условие разрешимости.

Введем обозначения =у(р)р, = <5с«(р)

Я выразим а>ь с помощью рав. 13. Это позволяет записать условия разрешимости в следующей форме

+ - Т<4*е8Л'с)-'<Ш + 7Г/*>г

Г-^-(р2М =0

Нетрудно видеть, что при р -*• 0 из ур. 25, 26 сле­дуют результаты линейного приближения, см. ур. 14

<5а> (0) + * У (О) = ±((о012)(-дХ1Хс)112 (27)

2 Рассмотрение механической модели

Прежде чем анализировать условия разреши­мости, исследуем простую механическую модель рассматриваемых колебаний. Рассмотрим дву­мерный, аксиально-симметричный осциллятор еди­ничной массы. Силу, действующую на него, будем считать консервативной и, вообще говоря, нели­нейной. Уравнение движения такого осциллятора может быть записано в виде

<а*/<т г = <* (г) (28)

Здесь <*(г) = е,<г(г), «(0) = 0, -1-г=е, ^ + е, г ;

Бг, е# — единичные вектора, направленные по радиусу — г и азимуту — 0. Расписывая векторное ур. 28 в компонентах, получаем

- г ((10/(10* = Я (Г) (29)

(а/а«) (г* а0/а«) = о (зо)

Уравнения 29, 30 полностью эквивалентны ур. 23,

.Г1 ЛЛ’ , 1 / с 2

24, если в последних заменить со02 — т "о I 7И

Х ^Х'^Х Р' Р - V на <г(г)-

Г и 0 соответственно.

Уравнение 30 выражает закон сохранения мо­мента количества движения осциллятора, из него следует, что М = гг <10/(1« = сопб1. Колебания осцил­лятора удобно классифицировать по угловой ско­рости и сохраняющемуся моменту.

А) М = 0. При этом с10/си = О и из ур. 29 полу­чаем

(12Г/(1^ = (?(Г) (31)

Это уравнение описывает колебания в консерва­тивной системе с потенциальной энергией?*(г)

Г

= —|(?(г)(1г. Движение осциллятора при задан -

Ной потенциальной энергии и (г) полностью опре­деляется начальными значениями г и dr/d«. Урав­нение 31 в силу консервативности системы до­пускает интеграл энергии:

-5-(dr/dO* + и (г) = Я

Уравнение 32 удобно для определения зависимости dr/d* от г. На рис. 1 приведены некоторые воз­можные типы зависимости потенциальной энер­гии от радиуса. Очевидно, что положение равно­весия г - 0 неустойчиво в системах с потенциальной энергией м4, мв. Системы с потенциальной энергией Mi. из устойчивы при любой амплитуде колебаний. Системы с потенциальной энергией и, метаста - бильны, поскольку колебания достаточно большой амплитуды будут раскачиваться. В системах с потенциальной энергией иг положение равновесия г=0 неустойчиво, однако амплитуда колебаний ограничена. Отметим, что в двух последних слу­чаях м2, м5 для суждения об устойчивости системы недостаточно рассмотрения бесконечно малых возмущений.

Б) Мф 0, d0/df = const. Из закона сохранения момента при этом получаем г = const и ур. 29 принимает следующий вид

-r(d0/d/)2 = C?(r)

Уравнение 33 является условием взаимной ком­пенсации центробежной силы и силы, стремя­щейся вернуть осциллятор к положению равно­весия. Очевидно, что такое движение возможно лишь когда Q(r)< 0, т. е. для систем с потенциаль­ной энергией ulf и3, а также при некоторых значе­ниях г в системах 2 и 5.

В) М Ф 0, ddjdt ф const. Используя ур. 30, ур. 29 принимает следующий вид

D2r/dl2 = Q (г) + J/2/r»

Уравнение 34 описывает колебания осциллятора при учете центробежной силы М-!г*. В случае М ф 0

Осциллятор нс может подойти к положению равно­весия г — О, т. к. центробежная сила при этом неограниченно возрастает. По этой причине коле­бания с М ф 0 не могут быть рассмотрены в линей­ном по г приближении. Из уравнения 34 нетрудно найти следующий интеграл энергии

4- (dr/dl)2 + u (г) + M*lr* = Е

Отметим, что если М Ф 0, то устойчивость системы ухудшается, поскольку появляется добавочная цен­тробежная сила, стремящаяся удалить осциллятор от положения равновесия.

3

Анализ условий разрешимости

Ввиду полной эквивалентности ур. 23, 24 и 29, 30 все результаты, полученные при исследовании движения осциллятора, могут быть перенесены на случай колебаний плазмы. При этом, как уже от­мечалось, координатам осциллятора г ив соот­ветствуют амплитуда колебаний р и их фаза у. Аналогом нелинейной силы является величина

Где Л =тШ!

X</2~^TZ>1' Очевидно, что эквивалентная потенциальная энергия при этом равна

"«■-••'[тж + Нт (3в)

Для определения величин у(р) = (1/р) dp/dfj и фco(p) =dy/df1 удобно использовать первые инте­гралы ур. 25, 26

Ю <*,

0Ш = Jf/p*

Здесь постоянные интегрирования по аналогии со случаем колебаний осциллятора обозначены через Е и М. Ввиду обратимости движения каждому значению амплитуды р соответствуют две волны

— нарастающая и убывающая (различные знаки у).

Влияние нелинейности на развитие колебаний определяется знаком и величиной третьей произ­водной от плотности d3F|d(rг)*. (Отметим, что поскольку в реальных установках плотность спа­дает по радиусу, величина dF|d(r2) всегда отри­цательна).

Возможный вид эквивалентной потенциальной энергии для случаев различного знака d3F|d(r2):i и дХ изображен на рис. 1. Учет нелинейных эффектов особенно существенен в двух случаях (м2, м5), когда при исследовании колебаний с конечной амплиту­дой можно получить результаты прямо противо­положные тем, которые следуют из линейного рассмотрения.

Так, например, при <5ЛТ<0, d3 Fjd(r2)3 < 0

(-■Ий’<'•«»“)'

Когда линейная теория предсказывает устойчивость, колебания с достаточно большой амплитудой (р > р«шп) будут неустойчивы. Величина Ртт определяется при помощи ур. 37 из условия у(ртт) = 0. В том случае, когда постоянная инте­грирования М = 0, для рпип из ур. 37 получаем следующее простое выражение

Pmin2=-f {ФNIXJA-'

При дХ>0, diF|d(rг):i>0, когда положение равновесия г = 0 в линейной теории неустойчиво, амплитуда колебаний, развивающихся вследствие неустойчивЪсти, не может превысить

Pnux*=-i-(аNlNc)A-^

Эта величина определяется ИЗ условия w(pmax) = 0, поскольку в случае колебаний, как угодно близко подходящих к положению неустойчивого равно­весия р=0, у = 0, нужно положить Е=М = 0.

Стационарные колебания у = 0 возможны лишь в том случае, когда эффективная сила Q= — dujd р отрицательна. При этом частота дш равна

(Лео)* = - о>0* [(1/4) (SN/Nc) + Лр*] (41)

Настоящее рассмотрение произведено с точ­ностью до членов третьего порядка малости по 6NINC112. В приложении 1 показано, что при рассмотрении установившихся колебаний с посто­янной амплитудой р = const можно сравнительно просто учесть следующие члены разложения по малой амплитуде колебаний pocdNINcli*. Рас­смотрение только стационарных колебаний поз­воляет определить вид потенциальной энергии, которой, как мы видели, определяется развитие произвольных колебаний. Потенциальная энергия может быть найдена из условия равенства центро­бежной и возвращающей сил p(<5co)2=dw/dp.

В приложении 2 рассмотрен случай, когда коле­бания развиваются в присутствии постоянного электрического поля <р0 Ф 0, я,* Ф я*о. Показано, что с точностью до величин первого порядка малости по |(псо — riio)/(rico + nio)!<^ 1, полученные резуль­таты остаются в силе, если л0 повсюду заменить на (/ieo+nio)/2. Другими словами, устойчивость плазмы определяется суммарным числом частиц безотносительно к знаку их заряда. (Наличие при яеоФя4о постоянного электрического поля не оказывает заметного влияния на развитие коле­баний, если 4 тс ХМ с2/Н2<^ 1; см. также работу 2.)

Возможно, что с этим обстоятельством связан положительный потенциал плазмы, наблюдаю­щийся в установках по адиабатическому удержа­нию плазмы. Действительно, когда плотность ионов, задаваемая током инжекции, превысит критическое значение, плазма может самостабили - зироваться, выбрасывая электроны и заряжаясь положительно [8, 9. Обычно имеющиеся при этом регулярные колебания естественно ассоциировать с рассмотренными нами нелинейными решениями.

В настоящем рассмотрении мы пренебрегли эффектами, связанными с конечностью ларморов - ского радиуса ионов. В нашем случае, когда 4icNM с*/Я*^ 1, это приближение вполне оправ­дано [4]. Учет этого эффекта при 4tz NM с*/Нг<^ 1 привел бы к некоторой дополнительной стабили­зации.

Автор благодарен Б. Б. Кадомцеву за внимание к работе и полезные указания.

Приложение 1

Нелинейные стационарные колебания

Установившиеся колебания должны представ­лять бегущие по азимуту волны постоянной ампли­туды, когда все величины зависят лишь от 0— cut. Это обстоятельство позволяет записать уравнения непрерывности 1, 2 в следующем виде

+ <>•»

+ (1.2,

Так же как и в основном тексте, мы пользуемся системой координат, в которой ионы и электроны вращаются в противоположные стороны с рав­ными угловыми скоростями Ш0/2.

Очевидно, что ур. 1.1 и 1.2 удовлетворяют Пе и *4, являющиеся произвольными функциями от <р - (Я/2 с) (ш - Ш./2) Г* и <р-(Я/2 с) (ш + ш0/2) г* соответственно

Пс — Пе [г2 — (2с/Я) (со — Шо/2)“1 <р] (1.3)

Wi = wi [г* — (2с/Я) (ш + шо/2)“1 <р] (1.4)

Такие решения описывают колебания линий

Уровня плотности в поле волны.

Подставляя выражения для плотности электро­нов и ионов в уравнение Пуассона, получаем одно нелинейное уравнение для определения <р

А<р = 4ize {ne[r* — (2с/Я) (ш — ш0/2)-1 <р]

— щ[гг — (2с1Н)(а) + ш012)-1<р]} (1.5)

Рассмотрим случай, когда колебания проис­ходят на нейтральном фоне — постоянная состав­ляющая потенциала — <р0 равна нулю. При этом, как следует из ур. 1.5, должно выполняться соотно­шение n«(r*) = ni(r2)= п(г*). Разложим яе и щ в ур. 1.5 в ряд по отношению (Л г/г)2, где (Arfjr ос(cJrH) ш0~1 <р — перемещение заряженных частиц из-за дрейфа в поле волны

Оо

А<р = 4п [(" - шо/2)'к

Jt-0

- (ш + ш0/2)-Ч ( - 2схр1Н)к (Ijkl) (1.6)

Уравнение нулевого приближения, когда из всей суммы оставляется лишь член с к** 0, удовлетво­ряется автоматически в силу выбора (ро = 0, пс = п.

В первом приближении по <р получаем ур. 11, где теперь со должно считаться действительным

А<рх+±ъе{2с (oJH) (со*-------- <о02) xV[dJT/d(r)[*9?1=0

(1.7)

Интересно отметить, что в случае параболического распределения невозмущенной плотности я (г*) (устойчивость такого распределения рассматри­валась в линейном приближении в работе 1) все члены, кроме первого, в разложении ур. 1.6 выпа­дают, и поэтому уравнение линейного прибли­жения 7 справедливо при рассмотрении ста­ционарных колебаний произвольной амплитуды.

Мы ограничились рассмотрением наиболее ин­тересной первой гармоники я» = 1. Стационарные колебания бесконечно-малой амплитуды, которые описываются ур. 1.7, возможны лишь, если N<NC см. ур. 13. При N=NC их частота равна нулю. Вблизи от критической точки, т. е. npnN=Nc + dN, |<5iVj<^Arc, оставляя в ур. 1.6 члены третьего порядка малости (члены второго порядка выпа­дают), получаем

Л л ®с | цг &F а 8 с (., 7 d. F

Асръ— 4тсе <рг = 4тсе - д-рт<рх

. / <5ш &F. 8 .(el„ d*F.

+ ( а,, ) *Nc d(r*) + з ( Я ) d(r*)*

8«5а> с хт d*F Л..

+ ш* Я Nc d(r*)‘ V' } (L8)

Это уравнение совпадает с ур. 20, 22, где в случае стационарных колебаний =дсо tlt djdtx

= дш д/дд. Как следует из ур. 1.8, амплитуда вто­рой гармоники по азимуту пропорциональна бCDCpj*, т. е. является величиной третьего порядка малости по |SNjNcl11*.

Условие разрешимости ур. 1.8 имеет следующий вид

<гШ)* = -

.2 J с 2/ d*F 4 / dF м

+ 3 ( Я ) d(г*)5 V' / r. e d(rJ) (1Л>)

Стационарные колебания возможны, когда выра­жение, стоящее в правой части, положительно (эффективная сила, см. ур. 41, отрицательна)

<Э(р)= — (дш)гр=ш0г 4- А рг^р < 0, здесь как

И в основном тексте обозначено <рх = р / (г) cos

(Е+ш),А=.

Отметим, что хотя стационарные колебания воз­можны лишь при таких значениях амплитуды р% когда эффективная сила Q(p) стремится уменьшить отклонение от положения равновесия, выражение для силы, полученное в этом случае, ввиду его аналитичности, можно использовать при рассмо­трении колебаний с произвольной амплитудой.

Так, например, оставляя в ур. 1.6 члены пятого порядка по />ocj<5iV/2Vc!1/2, получаем следующий добавок к эффективной силе Q(p)

ПНР) = P/flt,^)X‘,{^rP"’°,(p)

- 1в(тг)* OW'Cw ’’•‘X.

+ -&(-гГ“*-<^г <>,..} ,110)

Здесь через <Рз=<Рз, з+ <Рі, г обозначено решение неоднородного ур. 1,10, в котором <р3гЛ пропорцио­нально сое 3 (0 + <5 ш*), а <рл>,=дш <р3г,+ содержит вторую гармонику и часть, не зависящую от ази­мута.

І Пряложеше 2

Колебания плазмы в присутствии

ПОСТОЯННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО поля

Рассмотрим теперь случай, когда колебания развиваются в присутствии постоянного электри­ческого поля <р0, ПРИ этом пео Ф піо. Потенциал <р0 определяется невозмущенным уравнением Пуас­сона:

Лд?0/4тсе = Псо — п,-о (2.1)

Основные уравнения для возмущений потен­циала — <р, плотности электронов — 71«, плотности ионов — пі удобно Записать в следующем виде

Л д?/4тсе — пс — щ

Dri^o ё<р

Г 0 I ш0 2с d<p„ ц 1 2с

ГгГ + Т" " ~Н d(r*j/"00 J ”с ■ ~Н

(2.3)

TOC o "1-5" h z [ д ( со„ 2с d<р0 д 2с dnio д<р с Т, _

[~0Г + ~1Г + Я d(г*)/ 06jni" Я d(г*) 06 ~~Н * Щ

(2.4)

_ Т, {д<р д &Р д ^

Здесь по-прежнему Ьр = 7 ^ В ур.

2.2,2.3 отделены линейные по возмущениям члены. Введем для удобства обозначения

Ё д I / "о I 2с 5

d(r») /"06

0_______ 0 . / а>„ I 2с D??e 0

~ ~di + Г + ~н ~d(^)l~de

Действуя на ур. 2.2 произведением операторов (д/ди) {d/dti) и используя ур. 2.3, 2.4, получаем следующее уравнение для определения <р

1

Я с*

4-е с ctc С(,

В линейном приближении возмущение <р можно выбрать в виде <рх= р / (г) е-‘“, + ‘в (мы рассматри­ваем первую гармонику по в). При этом

TOC o "1-5" h z с с с _ / <ов 2г а<г* ^

0* ~ ш дв • дь~ ш 2 Я Фг») / 00 *

Ё _ / _ ^ , 2с_ Эу, ё

0* “ 2 Я 0(г*) / 00

Отбрасывая в ур. 2.5 нелинейные члены и инте­грируя его дважды по 0, получаем

Где сумма п«| + ни определяется из ур. 2.12 Я 0

0t,

(2.14)

(2.15)

Л.

4^-"г ir +2 dk -1т

P+q-k НГ 0 0

(2.16)

P + 4-rr-k 0

P-«—k

(2.11)

+ 2Ъ<

I+m-4

(2.12)

_____________ 1 2Н _с_ с 4-е с cta ctx У1

4-е

(2.13) (Рукопись получена 4 августа 1964 г.)

УДК им