Физическая оптика

Квантовая двухуровневая система и классический осциллятор

Двухуровневая система. Состояние квантовой системы. Физические величи­ны и операторы. Измеряемые величины. Уравнение Шредингера. Гамильто­ниан. Изолированный атом. Частица в потенциальной яме. Гармонический осциллятор. Атом в переменном внешнем поле. Матрица плотности. Урав­нение для матрицы плотности. Учет релаксации. Двухуровневая система в резонансном внешнем поле. Система уравнений для поляризации, населенно­стей и поля. Двухуровневая квантовая система и классический осциллятор.

Двухуровневая система — простейшая модель квантового объекта (ато­ма, молекулы или ансамбля частиц). В двухуровневом приближении объект имеет лишь два энергетических уровня с энергиями Ei, Е2 и характеризуется частотой перехода

И, = (Е2 - Ei)/h, (Д10.1)

где h — постоянная Планка. Уровни энергии системы показаны на рис. Д10.1.

Строго говоря, объекта с двумя энергетическими уровнями в природе не су­ществует. Реальные атомы и молекулы обладают значительно большим числом уровней энергии. Однако в резонансных условиях, когда частота света близ­ка к частоте перехода между определенной парой уровней энергии вещества, влиянием остальных уровней можно пренебречь, и мы получаем возможность ограничиться рассмотрением только двух выделенных уровней. Так возникает модель двухуровнего атома. В квантовой физике эта модель играет такую же роль, как гармонический осциллятор в классической физике. В оптике двух­уровневая модель применяется для описания лазера, а также взаимодействия лазерного излучения с веществом.

Прежде чем обсуждать двухуровневую систему, остановимся, коротко, на общих положениях квантовой модели взаимодействия света с веществом. Мы ограничимся рассмотрением полуклассической модели, в которой вещество описывается квантово-механически, а свет — как классическая электромаг­нитная волна.

Состояние квантовой системы. Состояние квантовой системы считается известным, если известна волновая функция системы

ф = ф{гД),

которая в случае одной частицы определяет вероятность найти частицу в точке с радиус-вектором г в момент времени t. Точнее, величина

dp = ip(r, t)2d3r (Д10.2)

есть вероятность того, что в момент времени t частица находится в бесконечно малом объеме с?3г около точки г.

Тио0

Рис. Д10.1. Квантовая двухуровневая система

Обратим внимание на принципиальное отличие способов описания состоя­ния систем в классической и квантовой физике. В квантовой модели состояние физической системы описывается на языке вероятностей.

Физические величины и операторы. Задача об определении стационар­ных состояний атома, характеризуемых определенными значениями энергии, есть задача, в которой определенные состояния системы выделяются из ряда остальных. В математике к такому типу задач относятся задачи на линейные операторы и их собственные значения. Оператор L есть правило, позволяющее по заданной функции ip(x) вычислить другую функцию

ф(х) = L[p{x)].

Уравнение вида

Lf = А/,

где А — постоянная, называется задачей на собственные значения и собствен­ные функции оператора. Решением этой задачи является, вообще говоря, дис­кретный набор собственных значений и собственных функций, т. е. ряд зна­чений некоторой величины сам собой выделяется из всех мыслимых значений. Эти дискретные значения и можно сопоставить дискретным квантовым состоя­ниям атома. Такого рода обоснование идеи квантования осуществляет кванто­вая механика, начиная с основополагающей работы Шредингера 1926 г. о кван­товании как задаче на собственные значения операторов. Квантовая механика сопоставляет каждой физической величине определенный линейный оператор.

Измеряемые величины. Среднее значение физической величины, изобра­жаемой оператором А, вычисляется по формуле

(ДЮ. З)

где ф — волновая функция. Средние вида (Д10.3) сопоставляются с измеряемы­ми величинами. Например, оператор координаты частицы определяется фор­мулой

хф = хф.

Нетрудно видеть, что в этом случае операция, выражаемая формулой (ДЮ. З), есть операция квантово-механического усреднения с плотностью вероятно­сти ф2.

Уравнение Шредингера. Волновая функция подчиняется уравнению Шредингера

(ДЮ.4)

где П — постоянная Планка, t — время, Н — оператор энергии или гамильтони­ан системы. Уравнение Шредингера описывает изменение волновой функции и, следовательно, состояния системы во времени. В квантовой механике это уравнение играет такую же роль, как второй закон Ньютона в классической механике.

Гамильтониан. Оператор Гамильтона определяется формулой

(Д10.5)

где р1 /2т — оператор кинетической энергии, U{r) — потенциальная энергия, т — масса частицы,

р = - ihV,

р — оператор импульса,

(Д10.7)

V — оператор “набла”.

Изолированный атом. Гамильтониан изолированного атома не зависит от времени. В этом случае решение уравнения (Д10.4) можно представить в виде,

(Д10.8)

где сп — постоянные. Подставив (Д10.8) в (Д10.4), получим уравнение

Ер ті — Еп<рп,

которое называется стационарным уравнением Шредингера. Функции <рп(г) есть собственные функции гамильтониана Н, соответствующие собственным значениям (энергиям) Еп. Индекс п нумерует стационарные состояния ато­ма. Каждое такое состояние характеризуется соответствующей координатной волновой функцией tpn и энергией Еп. Систему функций {рп} можно считать ортонормированной, так что

(Д10.10)

где 6тп — символ Кронекера.

10 Зак. 350

U

-1/2 0 1/2 *

Рис. Д10.2. Одномерная прямоугольная потенциальная яма

Частица в потенциальной яме. Рассмотрим в качестве примера движе­ние частицы в потенциальной яме. Потенциальную энергию запишем в виде

Г 0, |х| < 1/2,

ос, М>,А <Д10Л1>

где I — ширина ямы (рис. Д10.2).

Модель (Д10.11) соответствует яме с абсолютно жесткими стенками. По­скольку частица не может выйти за пределы ямы, волновая функция должна удовлетворять граничным условиям.

р(х = ±1/2) = 0. (Д10.12)

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид Нр = Ер или

д2р 2 тЕ

+ = W10'13)

где т — масса частицы, Е — ее энергия. Решение задачи (Д10.12), (Д10.13), удовлетворяющее условиям (Д10.10), есть

2 Г cos(nnx/l), п = 1,3,5,...

Т si InJm. n = 2.4.6......................................................................................................... (Д10Л4>

sin(7r nx/l), п = 2,4,6,.... При этом энергия частицы принимает значения

Е"=(т )s - W10'1S)

На рис. ДЮ. З показаны несколько нижних энергетических уровней частицы и соответствующие им волновые функции.

Гармонический осциллятор. Рассмотрим одномерный гармонический ос­циллятор. Потенциальная энергия частицы в этом случае есть

U = ^то>ож2, (ДЮ.16)

Рис. Д10.3. Волновые функции и уровни энергии частицы в потенциальной яме

где х — координата, т — масса осциллятора, шо — собственная частота коле­баний. Подставив (Д10.16) в стационарное уравнение Шредингера Н<р = Etp, получим уравнение

Ь? d? u> 1 22

“2S^+2m"»1 =Е*'

или

(Д10.18)

где введены обозначения

£ = xy/mwo/h, є =

Решение стационарного уравнения Шредингера дает набор собственных зна­чений энергии

Еп — ( п + — ] hu>о

и волновых функций

где

Ап = тг-1/4(2”гг!)-1/2, (Д10.22)

А„ — нормировочные коэффициенты, обеспечивающие выполнение условия

ОО

J = 1,

Нп — полиномы Эрмита. Индекс п, нумерующий стационарные состояния ос­циллятора, пробегает значения 0,1,2,... .

На рис. Д10.4 показаны потенциал U(x), уровни энергии Еп и волновые функции <рп(0 одномерного гармонического осциллятора. Отличные от нуля матричные элементы координаты х W (

хпк = J V*nxipk dx (Д10.24)

имеют вид

Хп, п—1 — Хп— п —

В частности,

Атом в переменном внешнем поле. Гамильтониан атома, находящегося в переменном внешнем поле, например поле световой волны, запишем в виде

H = H0 + V(t), (Д10.27)

где Но — гамильтониан изолированного атома, V (t) — энергия взаимодействия атома с полем. Волновую функцию запишем как

ф = ^2 Cn(t)<pn(r) ехр Ent) . (Д10.28)

П ' '

Здесь координатные волновые функции tpn(r) и энергии Еп описывают стаци­онарные состояния изолированного атома и подчиняются уравнению

:,:3

H0(fin = Еп<Рп - (Д10.29)

Система функций {<рп} удовлетворяет условию (Д10.10). Формула (Д10.28)

подобна формуле (Д10.8). Однако, в отличие от (Д10.8), коэффициенты с„ в (Д10.28) зависят от времени, что учитывает возможность изменения состояния атома под действием поля. Конкретная зависимость cn(t) определяется видом возмущения V(t).

U

Матрица плотности. Обозначив

bn = сп ехр (~^Entj,

перепишем (Д10.28) в виде

п

Подставив (Д10.31) в (Д10.3), получим

w = EE ЬпЪшАпт^ (Д10.32)

т п

где величина

Апт = J {PnA'-prn d? r (ДЮ. ЗЗ)

называется матричным элементом оператора А.

Обычно на практике мы имеем дело с большим числом частиц (атомов, мо­лекул). В этом случае, для того чтобы вычислить измеряемое значение величи­ны А, нужно выполнить не только усреднение (Д10.3), относящееся к отдель­ной частице и связанное с принципиально вероятностным описанием событий в квантовой механике, но и обычное статистическое усреднение по ансамблю частиц. Обозначая это усреднение чертой над буквой, представим измеряемое значение величины А в виде

W=EE (Д10.34)

т п

ИЛИ

{А) ~ У ^ У ] РтпА ПГПч (Д10.35)

т п

где введена матрица

Ртп — ЬтЬ^, (ДЮ.36)

называемая матрицей плотности.

Используя правило умножения матриц, согласно которому элементы матри­цы-произведения С = АВ выражаются через элементы матриц-сомножителей А и В по формуле

Стп = Y, AmkBkn (Д10.37)

к

и вводя определение следа матрицы как суммы ее диагональных элементов

Ъ(А) = Е (Д10.38)

п

представим (Д10.35) в виде

(I) = Тг(рА). (Д10.39)

Итак, формула (Д10.39) позволяет вычислить измеряемое значение величины

А для большого ансамбля частиц.

Уравнение для матрицы плотности. Подставив (Д10.31) в (Д10.4), по­лучим уравнение

Здесь точка над буквой обозначает дифференцирование по времени. Умножим это уравнение слева на <р*п и проинтегрируем по всему пространству. Прини­мал во внимание условие ортонормированности волновых функций (Д10.10), получим уравнение

гАЬго = £>„Ятп, (Д10.41)

П

где

Нтп = J ip*mH(pn<Pr, (Д10.42)

Нтп — матричный элемент гамильтониана.

Пользуясь формулами (Д10.36), (Д10.41), нетрудно получить следующее уравнение для матрицы плотности:

ifbPrnn ~ - PmkKk), (ДЮ.43)

к

или

ifapmn = ^ '(НупкРкп РткНкп)і (ДЮ.44)

к

где учтено свойство эрмитовости оператора Н, выражаемое формулой

Нкп = н*пк. (ДЮ.45)

Покажем, что оператор Н эрмитов. Для этого запишем выражение для средне­го значения гамильтониана (энергии системы). Пользуясь формулой (ДЮ. З), получим

іф*Нгр(Рг. (Д10.46)

Подставив (Д10.31) в (Д10.46), преобразуем это выражение к виду

*=££ (Д10.47)

ТП П

где матричный элемент гамильтониана определяется формулой (Д10.42). Энер­гия системы должна быть действительной величиной, т. е.

Е = Е*. (Д10.48)

Подставив (Д10.47) в (Д10.48), приходим к равенству (Д10.45). Аналогичным образом можно показать, что любой оператор А, соответствующий измеряе­мой физической величине, эрмитов, а его матричные элементы удовлетворяют соотношению типа (Д10.45). Заметим, что матрица плотности также является эрмитовой:

Ртп — Рпт■ (Д 10.49)

Эта формула непосредственно вытекает из определения матрицы плотно­

сти (Д10.36).

Используя правило умножения матриц (Д10.37) и знак коммутации

[А, В] = АВ - В А, (Д10.50)

можно записать (Д10.44) в более компактном виде

гПр=[Н, р]. (Д10.51)

Это уравнение, описывающее эволюцию матрицы плотности, называется урав­нением Неймана.

Учет релаксации. Тепловое движение атомов и молекул, столкновения между ними приводят к появлению релаксационных процессов, стремящихся привести систему к состоянию термодинамического равновесия, при котором элементы матрицы плотности — постоянные величины. Для того чтобы учесть эти процессы, дополним уравнение Неймана релаксационным членом и пере­пишем его следующим образом

p=l-[p, H)+R. (Д10.52)

Здесь R — релаксационный оператор (релаксационная матрица).

Итоги. Итак, сформулируем окончательно уравнения, описывающие ди­намику квантовой системы в переменном внешнем поле. Эти уравнения имеют

вид

(АУ = Тг(рА) = £ J2 PrnnAnm, (Д10.53)

m п

^ = p=l[p, H]+R. (Д10.54)

Двухуровневая система в резонансном внешнем поле. Применим те­перь общие результаты к случаю двухуровневой квантовой системы, находя­щейся в резонансном внешнем поле.

Выведем уравнение для поляризации двухуровневой среды. Ограничиваясь для простоты одномерной задачей, запишем

Р = Ne(x), (Д10.55)

<х) = TV {рх) РгппХпт, (Д10.56)

771 П

р=^[р, Н). (Д10.57)

Последнее уравнение записано без учета релаксации; соответствующую поправ­ку мы сделаем в конце расчета. В двухуровневом приближении из (Д10.57) получаем

/>11 = ^(/Э12#21 — H12P21),

/>22 = -^(P2lHi2 — H21P12),

І і

/>12 = ^(-^22 — Нц)рі2 + ^Яі2П,

'І і

Р21 — (Я22 — Нц)р2і - ^Ягіп,

где введена величина

п = />11 _ />22,

имеющая смысл разности населенностей уровней, отнесенной к полному числу частиц.

Записав гамильтониан в виде

Я = Я(0> +V{t), где ЯW — гамильтониан невозмущенного атома,

V(t) = - рЕ,

V(t) — энергия возмущения, Е — напряженность электрического поля свето­вой волны,

р = ех,

р — дипольный момент атома, получим

Нтп = Я<°> + Vmn.

Матричные элементы в (Д10.63) вычисляются по системе собственных функ­ций <рп оператора. Эти функции подчиняются стационарному уравнению Шредингера

j7<°Vn = ЕпЧ>п,

где Еп — энергии стационарных состояний, и условиям ортогональности и нор­мировки

J VmVndx — 5тп.

В силу (Д10.64), (Д10.65) матричные элементы оператора

H£l = J'P*mHW<pndx '

равны

гт(0) _ г,__________________________ р їД®) ТТ^ П

Яц —^1, л22 — д<2, Л12 — Л21 —и.

Матричные элементы оператора возмущения, в силу (Д10.61), (Д10.62), выра­жаются через матричные элементы электронной координаты

^ТПП —

—еЕхтп, (Д10.68)

где

= J ip*mxipndx. (ДЮ.69)

Предположим, что волновые функции стационарных состояний атома дей­ствительны

<рп{х) = <(х) (Д10.70)

и являются либо четными, либо нечетными функциями координаты х:

4>п(х) = ±ч>п(-х). (ДЮ.71)

Такими свойствами обладают, например, волновые функции частицы в потен­циальной яме (рис. Д10.3), а также гармонического осциллятора (рис. Д10.4). Поскольку атом обладает центральной симметрией, для него также должно выполняться условие (Д10.71). В этом случае

Жц = Х22 = о, ХУ2 = Х21- (ДЮ.72)

Итак, матричные элементы гамильтониана имеют вид

Нц = Ei, Н22 = Е2, Н12 = Н21 = - еЕх 12. (Д10.73)

Величина (х), согласно (Д10.56) и (Д10.72), определяется формулой

(х) = (рі2 + Р2і)хі2- (Д10.74)

Подставив (Д10.73) в (Д10.58), получим уравнения

2г

Р21 — -гщ

где использованы обозначения (Д10.1), (Д10.59).

Система уравнений для поляризации, населенностей и поля. Скла­

дывая последние два уравнения, и вычитая одно из другого, получим

(Pi2 + Р21) = *a>o(pi2 — Р21), (ДЮ.78)

(pi2 ~ Р21) = iuo(pi2 + P21) + - j^Hi2n, (Д10.79)^

откуда следует, что

(х) + ul(x) = const • Е. (Д10.88)

Таким образом, при не слишком сильном световом поле квантовое уравнение движения электрона переходит в классическое. С точки зрения теории этот факт является главным аргументом в пользу классической модели атома. Как показывает наш расчет, условием применимости классической модели являет­ся отсутствие заметного изменения населенностей квантовых энергетических уровней вещества под действием светового поля. При этом двухуровневая кван­товая система оказывается прямым аналогом классического гармонического осциллятора.