Физическая оптика

Когерентность света

Временная когерентность света. Время когерентности. Длина когерентно­сти. Пространственная когерентность света и радиус когерентности. Мо­дель случайного светового поля. Расчет интерференционной картины в ин­терферометре Юнга. Измерение когерентности. Когерентность излучения реальных источников света.

Лекция посвящена когерентности света. Рассматриваются временная и про­странственная когерентность оптического излучения, характеристики коге­рентности, методы экспериментального измерения и основы теории когерент­ности, когерентность излучения реальных источников света.

В современной оптике важную роль играет понятие когерентности света. Под когерентностью понимают упорядоченность структуры света, степень бли­зости светового поля к идеальной гармонической волне. Когерентность — глав­ное свойство лазерного излучения, принципиально отличающее его от излуче­ния других источников света. Когерентность света играет решающую роль в го­лографии, она важна в таких процессах как запись и обработка информации, оптическая связь, формирование заданных структур светового поля и опти­ческих изображений, передача, световой энергии на расстояние, концентрация энергии света во времени и в пространстве, генерация сверхсильньгх световых полей и т. п.

Исторически понятие когерентности возникло в связи с опытами по интер­ференции света. Когерентностью была названа способность света интерфериро­вать, т. е. давать картину чередования темных и светлых полос при наложении световых пучков. Различают два вида когерентности — пространственную и временную. Начнем с рассмотрения временнбй когерентности света.

Временная когерентность света. Время когерентности. Длина ко­герентности. Предположим, что мы наблюдаем интерференцию света неко­торого источника S с помощью интерферометра Майкельсона, схема которого показана на рис. 12.1, а.

На рис. 12.1,6 показан фрагмент наблюдаемой интерференционной карти­ны, на рис. 12.1, в — распределение интенсивности света в интерференционной картине. Здесь /о и I — интенсивности света соответственно на входе и выходе интерферометра, т = Д/с — задержка, пропорциональная разности хода лучей Д = 1 — 1-2 в интерферометре, с — скорость света.

Для количественной характеристики интерференционной картины вводят параметр 7, называемый видностью и определяемый формулой

7= maxmm) (m)

•*max + J-min

где Ітлх и Jmin — значения интенсивности света, в соседних максимуме и мини­муме интерференционной картины.

Опыт показывает, что видность интерференционной картины меняется при изменении разности хода интерферирующих лучей, причем типичная зависи­мость 7(т) имеет вид, показанный на рис. 12.1, г. В зависимости от величи­ны относительной задержки лучей в интерферометре т, можно выделить две

характерные области: область хорошо выраженной интерференции т < тк и область практического отсутствия таковой т > тк. Значение критического вре­мени тк, разделяющего две эти области, можно определить экспериментально.

В соответствии с данным выше определением, согласно которому когерент­ность есть способность света давать интерференционную картину, можно ска­зать, что при т < тк свет когерентен, а при т > тк свет некогерентен. Время тк, следовательно, характеризует саму световую волну. Это время называют временем когерентности света.

Времени тк соответствует разность хода световых волн Дк = стк, где с — скорость света. Эта величина также характеризует световую волну и называ­ется длиной когерентности света. Обозначив длину когерентности 1К, получим

Таковы характеристики временной или “продольной” когерентности света с точки зрения эксперимента. Теория временной когерентности строится на осно­ве представления о световом поле как стационарном случайном процессе. За­писав поле в виде

£(t) = l£(i)eiWot + к. с. (12.3)

и введя коэффициент корреляции комплексной амплитуды

можно теоретически рассчитать видность интерференционной картины, наблю­даемой с помощью Майкельсона (см. лекцию 11), и показать, что

7 = г(т). (12.5)

Формула (12.5) устанавливает связь между экспериментально измеряемой ве­личиной — видностью интерференционной картины — и статистической ха­рактеристикой света — коэффициентом корреляции амплитуды световых ко­лебаний.

Характерное время спада функции г(т) называется временем корреляции световых колебаний. Обозначим это время ткор. Так как время когерентности света тк мы определили выше как характерное время спада функции 7(т), из соотношения (12.5) вытекает простая связь времен тк и ткор, а именно

Тк — 7кор - (12-6)

Итак, время когерентности света тк, которое может быть измерено экспери­ментально, оказывается равным времени корреляции света ткор — параметру теоретической модели.

В теории доказывается теорема Винера-Хинчина, согласно которой корре­ляционная функция В(т) = (E(t)E(t + т)) связана со спектром мощности G(to) светового поля преобразованием Фурье (см. дополнение 8) :

ОО ОО

В(т) = і J С(ш)е-іштско, G(u) = і J B(r)eiUTdr. (12.7)

Из этой теоремы вытекает соотношение между временем корреляции света ткор и его спектральной шириной Aw, а именно

Ткор = 2-k/Aw. (12.8)

Из (12.6) и (12.8) получаем удобную формулу для оценки времени когерентно­сти света:

тк = 2k/Aw. (12-9)

Данное соотношение, в котором оба параметра тк и Aw могут быть измерены в независимых оптических экспериментах, допускает прямую эксперименталь­ную проверку. Опыт подтверждает соотношение (12.9). Тем самым получает подтверждение теория, основанная на статистической модели светового поля.

Из (12.2) и (12.9) получаем выражение для длины когерентности света

1К = 1/Av, (12.10)

где Av = Aw/2-кс — спектральная ширина света, выраженная в см-1. Напри­мер, для белого света, занимающего весь видимый диапазон от Ai = 0,4 мкм до А2 = 0,8 мкм, получаем Av = 17 —1/2 = 1/Ai — 1/A2 и 104 см-1. Отсюда по фор­муле (12.10) lK = 10-4 см = 1 мкм. Таким образом, длина когерентности белого света оказывается порядка длины световой волны. Эта оценка объясняет ре­зультаты опытов с тонкими пленками, в которых наблюдается интерференция белого света.

Сделаем аналогичную оценку для излучения демонстрационного гелий - неонового лазера. В данном случае спектральная ширина излучения опреде­ляется доплеровской шириной Av = Ді/d = 0,04 см-1 (см. лекцию 6). Сле­довательно, 1К = 1/Av = 25 см. Таким образом, когерентность лазера намно­го превышает когерентность естественного света. Это объясняет результаты опытов с лазерным интерферометром Майкельсона, в которых наблюдаются контрастные интерференционные картины при достаточно большой (порядка нескольких сантиметров) оптической разности хода лучей.

Пространственная когерентность света и радиус когерентности.

Предположим, что мы наблюдаем интерференцию излучения некоторого источ­ника в интерферометре Юнга. Схема интерферометра показана на рис. 12.2, а. На рис. 12.2, б представлен фрагмент наблюдаемой интерференционной карти­ны, на рис. 12.2, в — распределение интенсивности света в плоскости наблюде­ния.

Видность интерференционной картины можно охарактеризовать параме­тром 7, определяемым формулой (12.1). Опыт показывает, что видность зависит от расстояния s между двумя точечными отверстиями (или щелями) в интер­ферометре Юнга. Характерный вид этой зависимости показан на рис. 12.2, г; видность интерференционной картины уменьшается с ростом расстояния s.

Назовем пространственной когерентностью света его способность давать интерференционную картину в интерферометре Юнга. Характер зависимости 7(s) позволяет выделить некоторое критическое значение sK расстояния s, раз­деляющее области сильной и слабой интерференции. В соответствии с данным определением можно сказать, что при s < sK свет обладает пространственной когерентностью, а при s > sK свет некогерентен. Критическое расстояние sK характеризует саму световую волну. Это расстояние называют пространствен­ным радиусом когерентности или просто радиусом когерентности света. Будем обозначать это расстояние гк. Итак, радиус когерентности света гк может быть экспериментально измерен с помощью интерферометра Юнга.

Модель случайного светового поля. Для того чтобы выявить физиче­ский смысл пространственной когерентности света с точки зрения структуры световой волны, необходимо проделать расчет интерференционной картины в интерферометре Юнга на основе некоторой модели светового поля.

Как и в случае временнбй когерентности света, в основу теории простран­ственной когерентности кладется понятие случайного светового поля. Однако в данном случае случайность понимается в смысле зависимости поля от про­странственных координат, а не от времени.

Рассмотрим, для простоты, монохроматическое световое поле. Считая, что колебания поля в каждой точке пространства происходят по гармоническому закону, можно записать

Экран с отверстиями

а)

E{r, t) = е(г )еіш°* + к. с. (12.11)

А

Зависимость £(г) комплексной амплитуды от пространственных координат до­пускает возможность того, что в разных точках пространства световые коле­бания имеют разные амплитуды и разные фазы. В частности, если £{г) — случайная функция, то модель (12.11) описывает случайно неоднородное по пространству световое поле. Такое поле можно охарактеризовать средней ин­тенсивностью

Рис. 12.3. К расчету интерференционной картины в интерферометре Юнга

и пространственным коэффициентом корреляции комплексной амплитуды

(12.13)

где звездочка обозначает комплексное сопряжение.

Используя модель (12.11)—(12.13), можно теоретически рассчитать интер­ференционную картину в интерферометре Юнга. При этом оказывается, что видность интерференционной картины 7 совпадает с коэффициентом корреля­ции b(s):

7 = b(s).

Таким образом устанавливается смысл видности интерференционной картины с точки зрения структуры светового поля.

Расчет интерференционной картины в интерферометре Юнга. Оста­новимся коротко на выводе формулы (12.14). На рис. 12.3 показана схема ин­терференции в интерферометре Юнга и введены обозначения: L — расстояние между экраном с отверстиями и экраном наблюдения, s — расстояние между отверстиями, х — координата точки наблюдения поля Р, отсчитываемая от оси симметрии системы, ІІ И 1-2 — расстояния от отверстий до точки наблюдения.

Световые колебания в точке Р образуются в результате наложения свето­вых волн, приходящих из отверстий О і и 02- Запишем это следующи образом:

Е — Ei 4- Е2.

Обычно в эксперименте хорошо выполняются условия

L » х » s.

Поэтому с точностью до постоянных множителей, зависящих от размеров от­верстий, колебания Ei и Е2 можно представить в виде

1

Ei = -£iexp[iu>o(t-li/c)]+K. c.,

где

£i=£(fr), £2 = £(Г2), (12.18)

г і vi г 2 — радиус-векторы отверстий Oj и 02. Подставив (12.15) в (12.12), для средней интенсивности излучения в точке Р получим

T = 2I0{1 + R), (12.19)

где 1о — интенсивность, соответствующая случаю, когда одно из отверстий открыто, а другое закрыто,

Д = ^П. (1.2.20)

R — пространственный коэффициент корреляции светового ПОЛЯ.

Используя формулы (12.17) и предполагая для простоты, что

{£,£;) = <ад, (12.21)

т. е. что корреляционная функция комплексной амплитуды поля действитель­на, получим

(ЕгЕ2) = i(£i£2>cos(A;oA), (12.22)

где

ко = шо/с, Д = 1 — 12. (12.23)

Положим

fi = г, r2= г + s, (12.24)

где s — вектор, проведенный от отверстия 0 к отверстию 02 (рис. 12.3). Тогда из (12.20), (12.22), (12.24) следует, что

R = b(s) cos(koA), (12.25)

где b(s) определяется формулой (12.13).

Используя рис. 12.3 и принимая во внимание соотношения (12.16), нетрудно показать, что разность хода лучей в интерферометре Юнга есть

Д = {s/L)x. (12.26)

Вводя обозначение

q = (s/L)ko (12.27)

и подставляя (12.25) в (12.19), получим окончательно

I = 2/о [1 + b(s) cos^t] . (12.28)

Итак, формула (12.28) описывает распределение средней интенсивности из­лучения в интерференционной картине, наблюдаемой с помощью интерфероме­тра Юнга. В этой формуле /о интенсивность света в точке Р в условиях, когда одно из отверстий Ох или 02 открыто, а другое закрыто, х — координата в

Рис. 12.4. Демонстрация спеклов: схема экспериментальной установки (о), вид кар­тины спек лов (б)

плоскости наблюдения, отсчитываемая относительно оси симметрии интерфе­рометра (рис. 12.3), q — параметр, определяемый формулами (12.27), (12.23), L — расстояние между экраном с отверстиями и экраном наблюдения в интер­ферометре Юнга, s — расстояние между отверстиями. Функция b(s) в (12.28) имеет смысл пространственного коэффициента корреляции комплексной ам­плитуды светового поля и определяется формулой (12.13).

Исходя из (12.28), нетрудно вычислить видность интерференционной кар­тины. В самом деле, полагая cosqx = 1 и cos qx = — 1, для интенсивностей света в соседних максимуме и минимуме интерференционной картины получим

/max = 27о [1 + b(s )] , 7mjn = 270 [1 - b(s)]. (12.29)

Подставив (12.29) в (12.1), получим (12.14). Тем самым вывод формулы (12.14) завершен.

Формула (12.14) показывает, что видность интерференционной картины в интерферометре Юнга непосредственно связана с пространственной корреля­цией светового поля. При этом радиус когерентности совпадает с радиусом корреляции света.

Используя формулы (12.28), (12.27), (12.23), нетрудно определить период интерференционной картины в интерферометре Юнга (рис. 12.2). Он составля­ет величину

6х = XL/s, (12.30)

где А — длина волны излучения.

На лекции демонстрируется лазерный интерферометр Юнга. В качестве ис­точника света используется гелий-неоновый или аргоновый лазер. Лазерный пучок падает на пластину, в которой прорезаны две узкие щели. Интерференци­онная картина наблюдается на экране, она представляет собой систему темных и светлых линий. Значения основных параметров таковы: L = 5 м, А = 0,5 мкм, s = 0,1 мм. Оценка периода интерференционной картины по формуле (12.30) дает 6х = 2,5 см, что хорошо согласуется с экспериментом.

Хороший образ монохроматического пространственно неоднородного свето­вого поля дает картина спеклов (пятен), которую можно наблюдать на экране, пропустив луч аргонового лазера через матовую пластинку (рис. 12.4).

Проходя через матовую пластинку, лазерный луч приобретает мелкомас­штабную поперечную неоднородность, при этом его угловая расходимость рез­ко возрастает. Картина, наблюдаемая на экране, имеет вид стационарного пят­нистого поля и называется картиной спеклов. Картина спеклов имеет интер-

ференционное происхождение и, следовательно, свидетельствует о простран­ственной когерентности исходного лазерного пучка. При просвечивании мато­вой пластинки некогерентным светом, например пучком дуговой лампы, кар­тина спеклов не образуется и экран выглядит освещенным равномерно.

Используя понятия радиуса когерентности гк и длины когерентности 1К, можно дать наглядный образ когерентности с точки зрения структуры све­тового пучка (рис. 12.5). Параметры гк и 1К характеризуют средние размеры области пространства, в пределах которой свет имеет структуру, близкую к идеальной гармонической волне. Световой пучок состоит из отдельных обла­стей когерентности. Для некогерентного света эти области весьма малы, их линейные размеры порядка длины световой волны. В когерентном свете, на­против, области когерентности велики; можно представить себе идеальный све­товой пучок, когерентный во всем своем объеме (рис. 12.6).

Измерение когерентности. Когерентность излучения реальных ис­точников света. Итак, классические интерференционные опыты Юнга и Май­кельсона оказываются прямыми методами измерения пространственных и вре­менных корреляционных функций; распределение средней интенсивности света в интерференционной картине непосредственно дает корреляционную функцию светового ПОЛЯ.

В качестве примера на рис. 12.7 показаны пространственные корреляцион­ные функции лазерного излучения, измеренные с помощью интерферометра Юнга. Разные кривые на этом рисунке относятся к разным лазерам. Видно, что в некоторых случаях радиус когерентности света приближается к радиусу самого лазерного пучка. Следовательно, свет лазера близок по своей структуре к идеальной гармонической волне.

Точечный источник света. Для наблюдения интерференции света с помощью интерферометра Юнга существенно, чтобы свет, падающий на экран с отверстиями, был достаточно когерентным. В своем опыте Юнг добивался

Рис. 12.7. Пространственные корреляционные функции лазерного излучения, изме­ренные с помощью интерферометра Юнга: s — расстояние между отверстиями ин­терферометра, d — диаметр лазерного пучка. Разные кривые относятся к разным лазерам

этого, пропуская солнечный свет через точечное отверстие (рис. 11.3). Оче­видно, что свет, прошедший через достаточно маленькое отверстие, должен быть близок по своей структуре к сферической волне, т. е. должен обладать пространственной когерентностью.

Оценим размер отверстия в экране Qі (рис. 11.3), необходимый для полу­чения контрастной интерференционной картины в интерферометре Юнга. Для этого рассмотрим случаи, когда экран с отверстиями облучается одним то­чечным источником света (рис. 12.8) и двумя точечными источниками света, разнесенными на некоторое расстояние а (рис. 12.9).

Из рис. 12.8 видно, что при использовании одного точечного источника света интерференционная картина имеет видность, равную единице. Распределение интенсивности света на экране наблюдения имеет синусоидальную форму. Если же экран с отверстиями облучается двумя точечными источниками (рис. 12.9), то на экране наблюдения накладываются два синусоидальных распределения интенсивности, сдвинутые друг относительно друга. В результате образуется интерференционная картина с тем же пространственным периодом, но мень­шей видности. Отсюда следует, что видность интерференционной картины в интерферометре Юнга, вообще говоря, зависит от размера источника света.

Обозначим разность хода лучей от источника А до отверстий 0 и 02 че­рез Ді. Аналогичную величину для источника А2 обозначим Дг- Итак,

Ді — АхОї — А2, Дг = A2Oi — А202.

1

Рис. 12.9. Схема интерференции излучения двухточечных источников в интерферо­метре Юнга. Справа показаны распределения интенсивности света в интерференци­онной картине для каждого источника отдельно и для обоих вместе

Очевидно, что конечность размера источника света не влияет на видность ин­терференционной картины, если будет выполнено условие

|ДХ - Д2КЛ,

где А — длина световой волны. Обозначим размер источника света через а, расстояние между отверстиями в интерферометре Юнга через s, расстояния от источника до экрана с отверстиями через z, как показано на рис. 12.9. Обычно в эксперименте хорошо выполняются условия

а <С s < z. Нетрудно показать, что в этом случае

|Ді - Д2| « as/z. (12.34)

Таким образом, реальный источник света можно считать точечным, если его размер а удовлетворяет условию

as/z - С А. (12.35)

Здесь А — длина световой волны, z — расстояние от источника света до при­емного оптического устройства, s — апертура приемника света. Простая фор­мула (12.35) имеет ряд важных практических следствий. Рассмотрим некото­рые из них.

Разрешающая сила оптических приборов. Предположим, что мы наблюдаем некоторый объект с помощью оптического прибора, например, телескопа (рис. 12.10). Пусть а — размер объекта, d — апертура прибора, z — расстояние от объекта до прибора, А — длина волны излучения. Из вывода формулы (12.35) ясно, что предел разрешающей способности прибора опреде­ляется соотношением

ad/z = А. (12.36)

Если же объект расположен так далеко или настолько мал, что выполняется условие (12.35), то внутренняя структура объекта не может быть разрешена и его изображение будет выглядеть как точка.

С помощью формулы (12.36) можно оценить разрешающую способность при­бора. Предел разрешения по размеру объекта есть amin = z/d, по угловому размеру объекта: втт = ат-т/г = A/d, по расстоянию до объекта: zmax = ad/А. Согласно этим формулам, для увеличения разрешающей способности необхо­димо увеличивать входную апертуру прибора. На рис. 12.11 показано изобра­жение двух близких светящихся точек, наблюдаемых с расстояния много мень­шего zmax (рис. 12.11, а), примерно равного zmax (рис. 12.11,6) и много большего 2тах (рис. 12.11, в).

Приведем несколько примеров и оценок.

Глаз человека. С какого расстояния можно различить глазом две светящи­еся точки, расстояние между которыми а = 5 см? Полагая d = 1 мм (диаметр зрачка глаза), А = 0,5 мкм, получим zmax = 100 м.

Подзорная труба. При наблюдении того же объекта через подзорную трубу с диаметром входного отверстия d = 10 см, оценка по формуле (12.36) дает

Zmax = 10 КМ.

Телескоп. Один из крупнейших оптических телескопов, установленный на Северном Кавказе над долиной реки Зеленчук, имеет диаметр главного зер­кала d = 6 м. Какого размера объект можно рассмотреть в этот телескоп на поверхности Луны? Расстояние от Земли до Луны z — 384000 км. Полагая А = 0,5 мкм, по формуле (12.36) получим amj„ = 30 м.

Микроскоп. Оценивая минимальный размер объекта, который можно раз­глядеть в микроскоп, по формуле (12.36), получим amin = z/d. На практике минимальная величина отношения z/d, составляет порядка единицы. Отсюда получаем оценку ат, п и А и 10~4 см. Опыт подтверждает этот результат — предел разрешающей способности оптического микроскопа действительно име­ет порядок длины световой волны.

Оценка радиуса когерентности света. Формулы (12.35), (12.36) позволяют дать оценку радиуса когерентности излучения нелазерного источ­ника, например, теплового излучения нагретого тела. Согласно (12.36)

d = A zja.

Эта формула дает оценку предельно малой апертуры приемника света d, при которой световая волна, попадающая в приемник, еще содержит в себе инфор­мацию о размере источника света а. Как отмечалось выше, пространственная когерентность света связана с размером источника. Так, точечный источник дает идеально когерентный свет (рис. 12.8), а источник конечного размера — частично когерентное излучение (рис. 12.9). Поэтому размер d, определяемый формулой (12.37), можно принять за оценку радиуса когерентности света. Та­ким образом, получаем

rK = A zja.

В этой формуле z — расстояние от источника света до точки наблюдения, а — размер источника, А — длина световой волны.

Согласно (12.38), радиус когерентности света возрастает пропорционально расстоянию от источника: гк ~ г. Физический смысл этого результата состоит в том, что по мере удаления от источника волновые фронты сферических волн, испускаемых отдельными точками источника, все больше сближаются между собой (рис. 12.12). Структура излучения все более приближается к сферической волне, а радиус когерентности света возрастает.

В качестве примера оценим по формуле (12.38) радиус когерентности прямо­го солнечного света. Для оценки используем следующие значения параметров: расстояние от Земли до Солнца г = 150 млн км, диаметр Солнца а = 0,7 млн км, длина световой волны А = 0,5 мкм. Получим rK = 10-2 см.

Звезда

*

s

Вид

интерференционной

—лл/

Рис. 12.13. Схема звездного интерферометра Майкельсона

Для рассеянного солнечного света, например света, рассеиваемого облака­ми в пасмурный день, следует, очевидно, положить a/z и 1. В этом случае гкйАй 10~4 см.

Для сравнения напомним, что свет лазера может быть когерентным по все­му поперечному сечению лазерного пучка. Так, для получения крупных голо­грамм используют широкие лазерные пучки с радиусом когерентности поряд­ка 1 м.

Звездный интерферометр Майкельсона. Формулу (12.38) можно использовать для оценки размера удаленного источника света. Так, угловой размер звезды можно найти по формуле

a/z = А/гк,

если известен радиус когерентности приходящего от нее света. Эту идею ис­пользовал Майкельсон для оценки размеров звезд. В конце XIX в. он выпол­нил серию измерений с помощью “звездного интерферометра”, схема которого показана на рис. 12.13.

Для измерения радиуса когерентности гк используются два телескопа, на­правленные на звезду, и разнесенные на некоторое расстояние s. С помощью системы зеркал пучки света от телескопов сводятся вместе и дают интерфе­ренционную картину, подобную той, что наблюдается в интерферометре Юнга. Раздвигая телескопы и измеряя видность интерференционной картины в зави­симости от расстояния s, можно измерить радиус когерентности света звезды.

Измерения Майкельсона показали, что радиус когерентности света неко­торых звезд имеют порядок гк » 10 м. Следовательно, угловой размер звезд имеет порядок в — a/z = А/гк = 5 х 10-8 рад. Например для звезды Бетельгей - зе было получено в — 0,0047" = 10~8 рад. Для сравнения укажем, что угловой размер спутников Юпитера составляет в — 1".

Измерив угловой размер звезды и знал расстояние до нее, можно определить линейный размер звезды. Расстояние до звезд измеряют, используя явления па­раллакса. Это явление состоит в том, что из-за годичного движения Земли по орбите вокруг Солнца, взаимное расположение звезд на небе изменяется. Изме­ряя угловые смещения звезд и зная диаметр земной орбиты (около 300 млн км), можно приближенно определить расстояния до звезд. Таким путем Майкель - сону удалось установить, что диаметр звезды Бетельгейзе примерно равен диа­метру орбиты планеты Марс, т. е. составляет около 400 млн км.